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讲义18:抛物线的标准方程及其性质


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学员编号: 学员姓名:

年 级:高二 辅导科目:数学

课 时 数:3 学科教师:





抛物线的标准方程及其性质

授课日期及时段

掌握抛物线的定义,掌握抛物线的四种标准方程;抛物线的对称性、顶点、范围、焦点坐标 和准线方程;应用抛物线定义解决一些与焦点 弦长有关的问题。 教学内容

教学目的

上次课知识回顾:

一、知识梳理 1、抛物线的定义
定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l (定点 F 不在定直线 l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点 F 叫做 抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线。 思考:如果定点 F 在定直线 l 上,动点的轨迹是什么? 2、抛物线的标准方程和性质 标准方程 图形 顶点 (0,0) 对称轴 焦点 ( 准线

y 2 ? 2 px

x轴

p ,0) 2

x??

p 2

y 2 ? ?2 px

(0,0)

x轴

(-

p ,0) 2

x?

p 2

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x 2 ? 2 py

(0,0)

y轴

(0,

p ) 2

y??

p 2

x 2 ? ?2 py

(0,0)

y轴

(0,-

p ) 2

y?

p 2

我们把上述四种位置的抛物线方程都称为抛物线的标准方程。 3、直线与抛物线 它们的位置关系无外乎三种情况,即相切、相交、相离。具体来说: (1)相离的问题常转化为二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决; (2)只有一个公共点,对抛物线表示直线与其相切或表示与其对称轴平行; (3)有两相异的公共点,表示相割,此时直线被截线段称为圆锥曲线的弦。 4、抛物线的特殊性质 (1) 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0 ) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y 2 ) 两点, 设 FA ? m , FB ? n , O 为原点,则有: (1) x1 x 2 ?

p2 1 1 2 2 ; (2) y1 y2 ? ? p ; (3) k OA k OB ? ?4 ; (4) ? ? 。 4 m n p

2 (2)直线 l 交抛物线 y ? 2 px( p ? 0 )于 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) 两点,O 为原点,若 OA⊥OB,则直线 l 经过定点

(2p,0), y1 y2 ? ?4 p ,反之亦然(证明略)。
2

二、典型例题解析
考点 1 求抛物线的标准方程 1、抛物线 y ? ?2x 2 的准线为_______ ,焦点坐标为______

2、以原点为顶点,x 轴为对称轴且焦点在 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 上的抛物线方程是 3、以椭圆 x ?
2



y2 ? 1 中心为顶点,右顶点为焦点的抛物线的标准方程为_____________。 5

4、已知圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 7 ? 0 ,与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线相切,则 p ?

_______

5、点 M 与点 F (4, 0) 的距离比它到直线: x ? 5 ? 0 的距离小 1,则点 M 的轨迹方程是

___________

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中国领先的中小学教育品牌 类题 若动点 P 到点 F(2,0)的距离与它到直线 x ? 2 ? 0 的距离相等,则点 P 的轨迹方程为______ 若动点 P 到定点(0,-3)的距离比它到 x 轴的距离多了 3,则点 P 的轨迹方程是

6、在平面直角坐标系内,到点 F ?1 , 0?和直线2 x ? y ? 2 ? 0 的距离相等的点的轨迹是 ( A.圆 小结: B.抛物线 C.射线 D.直线



考点 2

利用定义解题

1、抛物线 y

?

1 2 x 上一点 P 到焦点 F 的距离为 5 ,则 P 点的坐标是 4
B. (?4, 4) C. (

(

)

A. (4, ?4)

79 79 ,? ) 16 8

D. (?

79 79 , ) 8 16

类题 抛物线 y ? ?2 px( p ? 0) 上有一点 M 的横坐标为 ?9 ,它到焦点的距离为 10 ,则抛物线方程为
2

.

2、若一动圆的圆心在抛物线 y ? 8x 上,且动圆总与直线 x ? 2 ? 0 相切,则动圆必过定点
2





(4,0)

B.(2,0)

C.(0,2)

D. (0,-2)

2 3、抛物线 y ? x 上一点到直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的距离最短的点的坐标是(



A. (1,1) 4、已知抛物线 y ?

B. (

1 1 , ) 2 4

C. ( , )

3 9 2 4

D. (2,4)

1 2 x 的焦点为 F,定点 A(-1,8) ,P 为抛物线上的动点,则 PA ? PF 的最小值为_______。 4

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中国领先的中小学教育品牌 考点 3 焦点弦有关的问题 已知 P( x0 , y0 ) 是抛物线 y 2 ? 2 px 上的点, F 是该抛物线的焦点,求证: | PF |? x 0 ?

p . 2

巩固训练 1、过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线,交抛物线于 A(x1, y 1) ,B(x2, y 2)两点,如果 x1+ x2=6,那么|AB|= ( A.8 2、过抛物线 y ? ax 于( A
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B.10
2

C.6

D.4

(a ? 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若 PF 与 FQ 的长分别为 p、q,则

1 1 ? 等 p q


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2a

B

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1 2a

C 4a
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D

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4 a

3、抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )上有 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) 、 C( x3 , y3 ) 三点, F 是它的焦点,若 AF 、 BF 、 CF 成等差数列,则( ) A x1 , x2 , x3 成等差数列
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B x1 , x3 , x2 成等差数列
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C y1 , y 2 , y3 成等差数列
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D y1 , y3 , y 2 成等差数列
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类题 设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点, A 、 B 、 C 为该抛物线上三点,若 ?ABC 的重心与抛物线的 焦点 F 重合,则
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AF ? BF ? CF 的值为

4、 AB 是抛物线 y ? x 的焦点弦,若 AB ? 4 ,则 AB 的中点到直线 2 x ? 1 ? 0 的距离是________
2

5、过抛物线 y ? 4 x 的焦点作倾斜角为
2

? 的直线与抛物线交于点,则 AB = 3

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中国领先的中小学教育品牌 考点 4 直线与抛物线 1、若过点 (0, ? 1) 的直线 l 与抛物线 y 2 ? 2x 有且只有一个交点,则这样的直线 l 共有( A 1条 类题 已知直线 y ? ax ? 1 与曲线 y 2 ? 2 x 只有一个交点,则实数 a ? . B 2条 C 3条 D 4条 )

2、 y ? kx ? 2 交抛物线 y 2 ? 8x 于 A、B 两点,若 AB 中点的横坐标是 2,则 AB ? ________ 类题 在抛物线 y 2 ? 8x 中,以 (1. ? 1) 为中心的弦所在的直线方程为_________

3、直线 y ? x ? m 交抛物线 x 2 ? y 于 A 、 B 两点,若 OA ? OB ,则 m ? _______

4、过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A,B 两点,他们的横坐标之和等于 5,则这样的直线( A.有且只有一条 小结: B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在



考点 5 对称问题 已知抛物线 y=ax2-1 上恒有关于直线 x+y=0 对称的相异两点,求 a 的取值范围。 答案: a ?
3 4

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中国领先的中小学教育品牌 综合题 1、已知抛物线 C : y 2 ? 4 x ,求经过 A(?1,?6) 的直线 l ,使直线 l 与 C 有两个交点 P 、Q ,且以 PQ 为直径的圆过 C 的顶点。

2、已知抛物线 y 2 ? 4 x ,F 是焦点,直线 l 是经过点 F 的任意直线. (1)若直线 l 与抛物线交于两点 A、B,且 OM ? AB (O 是坐标原点,M 是垂足),求动点 M 的轨迹方程; (2)若 C、D 两点在抛物线 y 2 ? 4 x 上,且满足 OC ? OD ? ?4 ,求证直线 CD 必过定点,并求出定点的坐标.

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中国领先的中小学教育品牌 3、已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在 y 轴上,抛物线上一点 M (a, ?4)(a ? 0) 到焦点 F 的距离为 5 。 (1)求抛物线的方程与实数 a 的值; (2)直线 l 过焦点 F,且点 M 到直线 l 的距离为 4 ,求直线 l 的方程; (3)O 是抛物线的顶点,在抛物线弧 OM 上求一点 P,使△FPM 的面积最大。

三、总结与反思

四、课后作业
1、抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,焦点在直线 3x ? 4 y ? 12 ? 0 上,此抛物线的方程是____________ 2、抛物线 x ? 2 y 的准线方程为______________.
2

3、若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点恰好是双曲线 x2 ? y 2 ? 2 的右焦点,则 p ?
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中国领先的中小学教育品牌 4、已知 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上的动点, F 是抛物线的焦点,则线段 PF 的中点轨迹方程是

5、若倾斜角为

? 的直线通过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点且与抛物线相交于 M、N 两点,则线段 MN 的长为________。 4

6、过抛物线 y 2 ? 4 x 焦点的直线交抛物线于 A 、 B 两点,若 AB ? 10,则 AB 的中点 P 到 y 轴的距离等于

7、直角坐标平面上点 P 与点 F (2, 0) 的距离比它到直线 x ? 4 ? 0 的距离小 2,则点 P 的轨迹方程是

8、设抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 P 到该抛物线准线与直线 l: 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 的距离之和为 d ,若 d 取到最小值,则点 P 的坐标为 .

? 1) 的直线 l 与抛物线 y 2 ? 2x 有且只有一个交点,则这样的直线 l 共有 9、若过点 (0,
A 1 B 2 C 3 D 4



(

)

10、抛物线顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上一点 P(m,1)到焦点距离为 5,则抛物线方程为( A. x 2 ? 8 y B. x 2 ? ?8 y C. x 2 ? 16y D. x 2 ? ?16y )



11、一个正三角形的顶点都在抛物线 y 2 ? 4 x 上,其中一个顶点在原点,则这个三角形的面积是(

(A) 48 3

(B) 24 3

(C)

16 3 9

(D) 46 3

12、若点 A 的坐标为(3,2),F 为抛物线 y2=2x 的焦点,点 P 在抛物线上移动,为使|PA|+|PF|取最小值,P 点的坐标 应为 ( ) A.(3,3) B.(2,2) C.(

1 ,1) 2

D.(0,0)

2 13、已知直线 l:y ? x ? m 与抛物线 y ? 4 x 交于 A、B 两点, 2 (1)若直线 l:y ? x ? m 经过抛物线 y ? 4 x 的焦点,求:弦长 AB

(2)若 OA ? OB ,求 m 的值.

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中国领先的中小学教育品牌 14、已知抛物线 y=x2 上存在两个不同的点 M、N,关于直线 y=-kx+

9 对称,求 k 的范围. 2

15、已知点 A(2,8) ,B(x1,y1) ,C(x2,y2)在抛物线 y 2 ? 2 px 上,△ABC 的重心与此抛物线的焦点 F 重合(如图) (1)写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标; (2)求线段 BC 中点 M 的坐标; (3)求 BC 所在直线的方程.

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