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2009概率统计A答案


2008-2009 学年 拟题学院(系) : 适用专业: 数理系 全校各专业

1 学期

概率论与数理统计 A 卷 试题标准答案 拟 题 人: 翟富菊 翟富菊

书写标准答案人:

(答案要注明各个要点的评分标准) 一、填空(每题 3 分共 15 分)

1.0.5
<

br />?3 2 ? x 2。 f ( x) ? ? 8 ?0 ?

0? x?2 其他
5. C

, 3。N(12,53) 4.

4

5.

1 6

二、选择(每题 3 分共 15 分) 1.D 2. A 3. C 4. B 三、计算 1. (12 分) P{ X ? 200} ? P{

X ? 220 200 ? 220 ? } 25 25

? ?(?0.8) ? 1 ? ?(0.8) ? 1 ? 0.79 ? 0.21
P{ X ? 240} ? P{ X ? 220 240 ? 220 ? } ? ?(?0.8) ? 1 ? ?(0.8) ? 1 ? 0.79 ? 0.21 25 25

P{200 ? X ? 240} ? ? 1 ? 0.21 ? 0.21 ? 0.58 …………………………………4 分
令 A ? {X ? 200}, A2 ? {X ? 240}, A3 ? {200 ? X ? 240} 1 B={电子元件损坏},则 (1) P( B) ?

? P(B | A ) ? 0.21? 0.3 ? 0.21? 0.2 ? 0.58 ? 0.1 =0.163……………4 分
i ?1 i

3

(2) P( A2 | B) ?

P( B | A2 ) P( A2 )

? P( B | A ) P( A )
i ?1 i i

3

?

0.2 ? 0.21 ? 0.25 8…………..…………4 分 0.163

2.(1)

?

??

??

f ( x)dx ? 1 ? ? ax(1 ? x)dx ,得 a=6.…………………3 分
0

1

(2)当 x ? 0 时,F(x)=0;当 0 ? x ? 1 时, F ( x) ?

??

?

x

f (t )dt ?? 6t (1 ? t )dt ?3x 2 ? 2 x3 ;
0

x

当 x>1 时 F(x)=1,所以………………………………5 分

x?0 ?0 ? 2 3 F ( x) ? ?3x ? 2 x 0 ? x ? 1 ………………………………2 分 ?1 x ?1 ?
3.解: FY ( y) ? P{Y ? y} ? P{X 2 ? y} ,当 y<0 时, FY ( y) ? 0. ,………………………3 分

当 y ? 0 时,

FY ( y) ? P{? y ? X ? y} ? FX ( y ) ? FX (? y ) 。……………………………3 分
fY ( y ) ? dFY ( y) 1 1 ? fX ( y) ? f X (? y ) dy 2 y 2 y
?? y

= ?e

1 2 y
y

………………………………3 分

? ?? ?? e 所以 fY ( y ) ? ? ?0 ?
4. (15 分) 解:

1 2 y

y?0 y?0

………………………………1 分

??
R
2

f ( x, y )dxdy ? 1 ? ?

1 1

0 0

? cxydydx ,得 C=4………………………………3 分

(2) f X ( x) ?

?

??

??

f ( x, y)dy ,

当 0 ? x ? 1时, f X ( x) ? 所以 f X ( x) ? ? 因为

? 4xydy ? 2x
0

1

?2 x 0 ? x ? 1 其它 ?0

同理 fY ( y ) ? ?

?2 y 0 ? y ? 1 其它 ?0

f ( x, y) ? f X ( x) fY ( y) ,所以 X

Y 独立·………………………………6 分
2

(3) EXY ?

?? xyf ( x, y)dxdy ? ?
R2

1 1

0 0

? 4x

y 2 dydx ?

4 ………………………………3 分 9

(4) P{ X ? Y } ?

? ?
1 0

x 0

4 xydydx ?

1 。………………………………3 分 2

5. (10 分)
fZ ( z ) ?

???

??

f ( x , z ? x )dx ,当 z<0 时, fZ ( z ) =0;………………………………4 分

当 z ? 0 时 fZ ( z ) = 2

?0 e? ( z? x )dx =2 e

z

?z

(1 ? e

?z

) ;…………………………4 分

所以

?z ? ?z f Z ( z )??2e (1? e ), z ? 0 z?0 ?0,

。………………………………2 分

6.解: (1) EX ?

?

xf ( x, ? )dx ? ? x? x? ?1dx ?
0

1

? ? ?1

,………………………………4 分

__

EX ?? , 1 ? EX

, 所以? ?

^

X 1? X
__

, ………………………………2 分

(1) 设 x1 , x2 ? xn是样本X1 , X 2 ? X n 的观测值,

L( p) ? ? P{ X ? xi } ? p n (1 ? p) i?1
i ?1

n

? xi ? n

n

,………………………………2 分

ln L( p) ? n ln p ? (? xi ? n) ln(1 ? p)
i ?1 n d ln L( p) n 1 ? ? (? xi ? n) ? 0 , dp p 1 ? p i ?1
^

n

………………………………2 分

得p?

n

?x
i ?1

n

?

1
__



…….………………………………2 分

i

X


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