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一元二次不等式与线性规划


一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C=0 某 一侧所有点组成的平面区域我们把直线画成虚线,以表示区域不括边界。 不等式 Ax+By+C ? 0 表示的平面区域包括边界,把边界画成实线。

1.已知点(-3,-1)和(4,-6)在直线 3x-2y-a=0 的两侧,则 a 的取值范围为( A.(-24,7)

B.(-7,24) C.(-∞,-7)∪(24,+∞) D.(-∞,-24)∪(7,+∞) 解析:根据题意知(-9+2-a)(12+12-a)<0, 即(a+7)(a-24)<0,∴-7<a<24. 答案:B
? ?x+y≥3 2.设变量 x,y 满足约束条件? ,则目标函数 z=y+2x 的最小值为( ?x-y≥-1 ?

)

)

A.1 C.3

B.2 D.4

解析:在平面直角坐标系中,画出可行域,如图中阴影部分, 平移直线 2x+y=0,当经过点(1,2)时,直线在 y 轴上的截距最小, 其最小值为 4. 答案:D

?0≤x≤2, ? 3.已知不等式组?x+y-2≥0 ?kx-y+2≥0 ?
A.1 C.1 或-3

,所表示的平面区域的面积为 4,则 k 的值为(

)

B.-3 D.0

解析:由题意知不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,由 1 阴影部分的面积为 ×BC×OC=4?BC=4,则 B(2,4),即直线 kx-y+2= 2 0 过点(2,4),代入可求得 k=1.

答案:A

?x-y+6≥0 ? 4.(2011· 番禺模拟)已知实数 x,y 满足?x+y≥0 ?x≤3 ?
小值为 3a-3,则实数 a 的取值范围为________.

,若 z=ax+y 的最大值为 3a+9,最

解析:作出 x,y 满足的可行域,如图中阴影部分所示,则 z 在点 A 处取得最大值,在点 C 处取得最小值.又 kBC=-1,kAB=1,∴-1≤ -a≤1,即-1≤a≤1. 答案:[-1,1]

5.给出平面区域(包括边界)如图所示,若使目标函数 z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有 无穷多个,则 a 的值为( )

1 A. 4

3 B. 5

C. 4

5 D. 3

解析:由题意分析知,目标函数 z=ax+y(a>0)所在直线与直线 AC 重合时,满足题意, 22 -2 5 3 则由-a=kAC= ,得 a= .故选 B. 5 1-5

6.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界),若目标函数 z=x+ay 取 y 得最小值的最优解有无数个,则 的最大值是( x-a )

2 A. 3

2 B. 5

1 C. 6

1 D. 4

1 1 解析:目标函数 z=x+ay 可化为 y=- x+ z, a a 1 1 由题意 a<0 且当直线 y=- x+ z 与 lAC 重合时符合题意. a a 1 此时 kAC=1=- ,∴a=-1. a y y 2 2 的几何意义是区域内动点与(-1,0)点连线的斜率. 显然 = = 最大. 故 x-a x-a 4-(-1) 5 选 B.

?0≤x≤2, ? 7.若 x,y 满足?0≤y≤2, ?x-y≥1, ?

则(x-1)2+(y-1)2 的取值范围是________.

解析:可行域如图:(x-1)2+(y-1)2 表示点(1,1)到可行域内点的距离的平方,根据图象 1 可得(x-1)2+(y-1)2 的取值范围是?2,2?. ? ?

8.

?7x-5y-23≤0, ? 13.已知 x,y 满足条件:?x+7y-11≤0, ?4x+y+10≥0. ?
y+7 (1) 的取值范围; x+4

M(2,1),P(x,y).求:

M 的最大值; O (2) O ?P
(3)| O P |cos∠MOP 的最小值.

?? ? ?? ? ???
????

?7x-5y-23≤0, ? 解:如图所示,画出不等式组?x+7y-11≤0, ?4x+y+10≥0 ?

所表示的平面区域:

其中 A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2). (1) y+7 可以理解为区域内的点与点 D(-4,-7)连线的斜率.由图可知,连线与直线 x+4

1 BD 重合时,倾斜角最小且为锐角;连线与直线 CD 重合时,倾斜角最大且为锐角.kDB= , 3 y+7 1 kCD=9,所以 的取值范围为?3,9?. ? ? x+4

M =(2,1)· O (2)由于 O ?P (x,y)=2x+y,令 z=2x+y,则 y=-2x+z,z 表示直线 y=
-2x+z 在 y 轴上的截距,由可行域可知,当直线 y=-2x+z 经过 A 点时,z 取到最大值, 这时 z 的最大值为 zmax=2×4+1=9.

?? ? ?? ? ???

? ?? ? ? ? ? ?? O O c s? O M P o MP ?? (3)OP cos∠MOP= ? ?? ?? O M

????? ???? O M ?O P 2x+y = = , 5 5
令 z=2x+y,则 y=-2x+z,z 表示直线 y=-2x+z 在 y 轴上的截距,由(3)可知,当 直线 y=-2x+z 经过 B 点时,z 取到最小值,这时 z 的最小值为 zmax=2×(-1)-6=-8,

?? -8 8 5 所以OPcos∠MOP 的最小值等于 =- . 5 5
评析: 本题是一道求解线性约束条件下非线性目标函数的最优解问题的题目, 这类问题

有比较典型的解析几何背景和平面向量的意义, 一般地, 在解答时常常借助几何图形的直观 性求解,体现了数形结合思想的应用. 9.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个,生产一个卫兵需 5 分钟,生产一个骑兵需 7 分钟,生产一个伞兵需 4 分钟,已知总生产时间不超过 10 小 时.若生产一个卫兵可获利润 5 元,生产一个骑兵可获利润 6 元,生产一个伞兵可获利 润 3 元. (1)用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 W(元); (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少? 解:(1)依题意每天生产的伞兵个数为 100-x-y, 所以利润 W=5x+6y+3(100-x-y) =2x+3y+300. (2)约束条件为:

?5x+7y+4?100-x-y?≤600 ? ?100-x-y≥0 ?x≥0,y≥0 ? ?x+3y≤200 ? 整理得?x+y≤100, ?x≥0,y≥0 ?



目标函数为 W=2x+3y+300,

如图所示,作出可行域.

初始直线 l0∶2x+3y=0,平移初始直线经过点 A 时,W 有最大值,
?x+3y=200 ?x=50 ? ? 由? ,得? , ? ? ?x+y=100 ?y=50

最优解为 A(50,50), 所以 Wmax=550 元. 答:每天生产卫兵 50 个,骑兵 50 个,伞兵 0 个时利润最大,为 550 元.


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