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§7


§7
7.1
7.2

正切函数

正切函数的定义

正切函数的图像与性质

常见的三角函数除正弦函数、余弦函数外还有正切 函数,在前两次课中,我们学习了任意角的正、余弦函 数,并借助于它们的图像研究了它们的性质. 今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法,在直角 坐标系内学习任意角的正切函数 .

一、正切函数的定义

y
在直角坐标系中,
如果角α 满足:α ∈R,
? α ≠ +kπ (k∈Z),那么, 2

P(a,b)

角α 的终边与单位圆交于点P (a,b),唯一确定比值
b a

α x M x(1,0) O

.

1、正切函数的定义
根据函数定义,比值
b a

是角α 的函数,

我们把它叫作角α 的正切函数,记作y=tanα ,
α ? R, α ? kπ ? π ,k?Z 2

比较正、余弦和正切的定义,不难看出:
sin a tanα = cos a

由此可知,正弦、余弦、正切都 是以角为自变量,以比值为函数值的

函数,我们统称为三角函数.

2、正切线
如右图,单位圆与x轴 正半轴的交点为A(1 ,0),

任意角α 的终边与单位圆
交于点P,过点A(1 ,0)作 x轴的垂线,与角的终边或

终边的延长线相交于T点.

从图中可以看出:

当角α 位于第一和第三象限时,T点位于x轴的上方;
当角α 位于第二和第四象限时,T点位于x轴的下方.

不论角α的终边在第几象限,都有 ?MOP ? ?AOT , 使得角α的正切值与有向线段AT的值相等.因此,我们称

有向线段AT为角α的正切线.

三角函数 正弦函数
sin?=MP
cos?=OM tan?=AT

三角函数线 正弦线MP 余弦线OM 正切线AT P
T

余弦函数
正切函数

y ?

-1

O

M

A(1,0)

x

3、正切函数的周期

由于 tan(x ? k? ) ? sin(x ? k? ) ? sin x ? tan x
cos(x ? k? ) cos x

所以

k? (k ? Z , k ? 0) 是正切函数的周期.

? 是它的最小正周期.

思考探究
1.想一想正弦函数是如何借助其正弦线做出的图像?
2.我们能否借助正切线做出正切函数的图像?如何做?

二、正切函数的图像与性质

? ? ?? y ? tan x x ? 利用正切线画出函数 , ? ? , ? 的图像: ? 2 2? 把单位圆右半圆分成8等份。 作法: (1) 等分: ? ? ? 3? 3? ? (2) 作正切线 ? , , , ? ? , , 8 8 8 4 8 4 (3) 平移 (4) 连线

o

? 3? ? ? 0 ? ? ? ? 2 8 4 8

? 8

? 4

3? 8

? 2

1、正切函数的图像

?

3? 2

? ? 2

?
?

3? 2

正切曲线简图的画法:
“三点”:
? ? ? ? (0,0)、( , 1 )、 ? 1? ?? , 4 ? 4 ?

“两线”:x ? 2 和x ? ? 2

?

?

y

1 3 π/ 2 -π - π/ π/2 4 O π/ - 4 π/ 2 π 3π/ x 2

1

y

正切函数y=tanx的性质
⑴ 定义域: { x | x ?
⑵ 值域:R

?
2

P(x,y)

·
?
0

? k? , k ? Z }
3? ? 2

⑶ 周期性:T ? ? .

?? ? 2

?
2

? 3?
2

x

tan (x ? ?) ? tan x
P′ (-x,-y )

⑷ 奇偶性: 奇函数, 图象关于原点对称。tan-x=-tanx (5) 对称性:对称中心: (6)单调性:在每一个开区间 (?

·

无对称轴
?
? k? ,

?

2 ? (7)渐近线方程:x ? k? ? , k ? Z 2

? k? ), k ? z 上是增函数 2

?? ?? y ? tan x ? ? ? 例1 .求函数 3? ?2

的定义域.

解:原函数要有意义,自变量x应满足

? x ? ? ? ? ? k? , k ? Z
2 3 2


x ? 1 ? 2k , k ? Z 3

所以,原函数的定义域是 {x | x ?

1 ? 2k , k ? Z }. 3

例2. 不通过求值,比较下列各组中两个正切函数 值的大小.

(1)tan167 与 tan173
解:
0 0 0

o

o

tan((2)
0

13π 11π )与 tan() 4 5

?90 ? 167 ? 173 ? 180
0

y ? tan x在( 90?, 180?)上是递增的 .

? tan167 ? tan173

0

说明:比较两个正切值大小,关键是把相应的角 化到 y=tanx的同一单调区间内,再利用y=tanx的单调递增性 解决。

例3. 解不等式: tan x ? 3

解:

y

3
0 ?

? x
2

3

? ?? ? 由图可知:x ? ?k? ? , k? ? ?(k ? Z ) 3 2? ?

1. 已知 a ? tan1, b ? tan 2, c ? tan 3, 则( c )

A.a<b<c

B.c<b<a

C .b<c<a

D. b<a<c

2. 已知? 是三角形的一个内角,且有 tan ? ? ?1,
则?的取值范围是 ( c )
?3 ? ? , ? ? A. ? ?4 ?

B

? ?? 0, ? .? ? 2?

C.

? ? ? ?3 ? ? 0, ? ? ? ? , ? ? ? 2 ? ?4 ?

D.以上都不对

3.解不等式 1+tanx ? 0
? ? ? ? x ? ? x k? ? ? x ? k ? ? , k ? Z ? 4 2 ? ?

1. 正切函数的定义 2. 正切函数的图像 3. 正切函数的性质 1.定义域:
全体实数R 2.值域:
? 3? 2

?

?
2

?
?

3? 2

3.周期性: 正切函数是周期函数,最小正周期T=
4.奇偶性: 奇函数
正切函数在开区间 (k? ? 5.单调性:
?
2 , k? ?

p

?
2

)( k ? Z )内都是增加的.


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