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重庆市巫山中学2014-2015学年高二数学上学期期末考试试题 理


重庆市巫山中学 2014-2015 学年高二上学期期末考试 理 科 数 学

满分 150 分 时间 120 分钟 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将正确选项答在机读卡上) 1.直线 2 x ? y ? 3 ? 0 在 x 轴上的截距为( A. ? ) C.

3 2
2 2

B. ?

2 3

2 5
)

D.2

2.命题“? x∈R,x -2x+4≤0”的否定为( A.? x∈R,x -2x+4≥0 C.? x∈R,x -2x+4>0
2

B.? x ? R,x -2x+4≤0
2

D.? x ? R,x -2x+4>0
2

3.几何体的三视图如图所示,则此几何体的侧面积是( A.

) D. 7

2? 6

B.

2

C.

2 ? 10

4.已知

1 1 的是( ? ? 0 ,则下列结论错误 .. a b
B.

) C. ab ? b 2 D. lg a 2 ? lg(ab)

A. a 2 ? b 2

b a ? ?2 a b

5.设 ? 表示平面, a, b 表示两条不同的直线,给定下列四个命题:

(1)a // ? , a ? b ? b ? ? , (2)a // b, a ? ? ? b ? ? , (3)a ? ? , a ? b ? b // ? (4)a ? ? , b ? ? ? a // b 其中正确的是(
A.(1)(2) B.(2)( 4) ) C.(3)(4) D.(2)(3)

6.经过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线,交双曲线与 A, B 两点,交双曲线的渐近线于

P, Q 两点,若 PQ ? 2 AB ,则双曲线的离心率是(
A. 2 B. 3 C.

)

3 2 2

D.

2 3 3
-1-

7.已知 x ? 0, y ? 0,若2 y ? 8 x ? ? m ? 2m) xy ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围是
2 2 2

A. ?2 ? m ? 4 B. ?4 ? m ? 2 C. 2 ? m ? 4 D. ?4 ? m ? 4 0 8.用一个与圆柱母线成 60 角的平面截圆柱,截口为一个椭圆,则该椭圆的离心率为( A.



2 2

B.

2 3

C.

1 2

D.

1 3
) 1 D.y= x+1 2

9.光线沿直线 y=2x+1 射到直线 y=x 上,被 y=x 反射后的光线所在的直线方程为( 1 A.y= x-1 2
2

1 1 B.y= x- 2 2

1 1 C.y= x+ 2 2

10.抛物线 y ? 2 px ( p > 0 )的焦点为 F ,已知点 A 、 B 为抛物线上的两个动点,且满足

?AFB ? 120? .过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ,垂足为 N ,则
值为 ( A. )

| MN | 的最大 | AB |

3 3

B. 1

C.

2 3 3

D. 2

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,请将正确答案写在答题卡上) 11.不等式|x+3|+|x-2|≥7 的解集为_______; 12.棱长为 3 的正方体内有一个球,与正方体的 12 条棱都相切,则该球的体积为 13.在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线共 有 条; 14.已知椭圆 ;

x2 y 2 ? ? 1 上一动点 P,与圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 上一动点 Q,及圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 4 3
;

上一动点 R,则 PQ ? PR 的最大值为

15.过抛物线 y =4x 的焦点作直线与其交于 M、N 两点,作平行四边形 MONP, 则点 P 的轨迹方程为________. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 13 分)如图将长 AA ? 3 3 ,宽 AA1 ? 3 的矩形沿长的三等分线处折叠成一
'

2

个三棱柱,如图所示:

-2-

(1)求异面直线 PQ 与 AC 所成角的余弦值 (2)求三棱锥 A 1 ? APQ 的体积

17.(本小题满分 13 分)已知圆 x +y -6x-8y+21=0 和直线 kx-y-4k+3=0. (1)若直线和圆总有两个不同的公共点,求 k 的取值集合 (2)求当 k 取何值时,直线被圆截得的弦最短,并求这最短弦的长.

2

2

18.(本小题满分 12 分)设命题 p:实数 x 满足 x -4ax+3a <0,其中 a>0.
? ?x -x-6≤0, 命题 q:实数 x 满足? 2 ?x +2x-8>0. ?
2

2

2

(1)当 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分)设 A、B 是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点,满足 OA⊥OB(O
为坐标原点). 求证:?(1)A、B 两点的横坐标之积为 4 p ;? (2)直线 AB 经过一个定点.?
2

-3-

20.(本小题满分 13 分)如图,在底面是菱形的四棱锥 P ? ABCD 中,点 E 在 PD 上,且满足

PE∶ED ? 2∶ 1, PA ? AB ? 2 , PA ? 底面ABCD , ?ABC ? 600
(1)在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF (2)求二面角 P ? AE ? C 的余弦值

? 平面AEC ,若存在,求出 PF 的长度

21.(本小题满分 12 分)以椭圆 C :

ab y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的中心 O 为圆心,以 为半径 2 2 a b
1 3 ,且过点 ( , 3) . 2 2

的圆称为该椭圆的“伴随”. 已知椭圆的离心率为 (1) 求椭圆 C 及其“伴随”的方程;

(2) 过点 P ? 0, m? 作“伴随”的切线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点, 记 ?AOB (O 为坐标原点) 的面积为 S?AOB , 将 S?AOB 表示为 m 的函数, 并求 S?AOB 的最大值.

-4-

2016 级理科数学参考答案 一、选择题: ACACB DACBA 二、填空题: 11. {x | x ? ?4或x ? 3} 14. 6 三、解答题: 16.解: (1)由已知,三棱柱 ABC ? A1B1C1 为直三棱柱, PB ? 1, QC ? 2 在 B1 B 上取一点 D,使得 B1 D ? 1 ,连结 A1 D, C1D , 所以, A 1C1 D ? 1 1 D 中, cos ?A 1D ? C 1D ? 2, AC 1 1 ? 3 ,在ΔAC 12. 9 2? 15. y 2 ? 4( x ? 2) 13. 2

3 4

所以直线 PQ 与 AC 所成的夹角的余弦值为

3 4

(2) VA1 ? APQ ? VQ ? A1 AP ?

1 3 1 1 1 3 3 SΔA1 AP ? ? SΔA1 AP ? ? ( ? 3 ? 3) ? 3 2 2 2 2 4
2 2

17.解: (1)已知圆的方程为(x-3) +(y-4) =4,其圆心(3,4)到直线 kx-y-4k+3=0 的距 离为 |

3k ? 4 ? 4k ? 3 1? k
2

|?

| k ?1| 1? k
2

.

直线和圆总有两个不同的公共点,所以

| k ?1| 1? k
2

<2,即(k+1) <4(1+k ) ,

2

2

即 3k -2k+3>0.而 3k -2k+3=3(k-

2

2

1 2 8 ) + >0 恒成立.所以 k 的取值集合为 R 3 3

(方法二:直线过定点(4,3) ,可以判断点(4,3)在圆的内部,从而确定直线和圆总有两个 不同的公共点,所以 k 的取值集合为 R) (2)由于当圆心到直线的距离最大时,直线被圆截得的弦最短, 而 d=

| k ?1| 1? k 2

?

(k ? 1) 2 2k 1? k 2 ? 1 ? ? 1 ? ? 2 ,当且仅当 k=1 时, “=”成立, k 2 ?1 k 2 ?1 k 2 ?1

即 k=1 时,dmax= 2 . 故当 k=1 时,直线被圆截得的弦最短,该最短弦的长为 2 2 ? ( 2 ) ? 2 2
2 2

(注:由(1)可以确定圆心到直线的距离最大为圆心与点(4,3)的距离,从而确定最短弦; 在上面的解法中对 k 的分类讨论用对勾函数求解也可.) 2 2 18.解 (1)由 x -4ax+3a <0,得 a<x<3a(a>0).

-5-

当 a=1 时,1<x<3,所以 p:1<x<3.
?x -x-6≤0, ? 由? 2 ?x +2x-8>0, ?
2

解得 2<x≤3,所以 q:2<x≤3.

若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是{x|2<x<3}.
2 ? ?? ?x -x-6<0, ? (2)设 A={x|x -4ax+3a <0,a>0}={x|a<x<3a,a>0},B=?x? 2 ?x +2x-8>0 ? ?? 2 2

? ? ?

={x|2<x≤3}. 根据题意可得 B ? A ,则 0<a≤2 且 3a>3,即 1<a≤2. 故实数 a 的取值范围是{a|1<a≤2}. 19.证明:(1)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则?y1 =2px1、y2 =2px2. 2 2 2 2 ?∵OA⊥OB, ?∴x1x2+y1y2=0, ?y1 y2 =4p x1x2=4p ·(-y1y2). 2 2 ?∴y1y2=-4p ,从而 x1x2=4p 也为定值.? (2)∵y1 -y2 =2p(x1-x2),?
2 2 2 2



y1 ? y 2 2p = . x 1 ? x 2 y1 ? y 2
2

y 2p 2p 2p ∴直线 AB 的方程为 y-y1= (x-x1), 即 y= x· 1 +y1, y1 ? y 2 y1 ? y 2 y1 ? y 2 2p
y=

yy 2p 2p x+ 1 2 , 亦即 y= (x-2p). y1 ? y 2 y1 ? y 2 y1 ? y 2

∴直线 AB 经过定点(2p,0). 20.解:连结 BD与AC相交于点O,以O为原点,OC为x轴,OD为y轴 建立空间直角坐标系 O ? xyz 则 O(0, 0, 0) , A(?1, 0, 0) , B(0, ? 3,0) , C (1, 0, 0) , D(0, 3,0) , P(?1, 0, 2) .

??? ? ???? ? 2 2 3 2 ???? ??? ? 1 3 2 ??? CP ? (?2, 0, 2), DE ? (? , ? , ), AE ? ( , , ), AC ? (2, 0, 0), AP ? (0, 0, 2), 3 3 3 3 3 3
设棱 PC 上一点 F , CF ? ?CP(0 ? ? ? 1) ,所以 BF ? BC ? CF ? (1 ? 2?, 3, 2? )

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

-6-

所以 F 为 PC 的中点时, BF

? 平面AEC ,并且此时 PF ? 2

(2)设平面 PAE 的法向量为 n ? ( x2 , y2 , z2 )

?

? ? n ? (? 3,1,0) { ? ?? ? ?? n?m 1 cos n, m ? ? ?? ? ? 4 n ?m
1 4 3 21.解析:(1) 椭圆 C 的离心率为 , 则 a = 2b , 2 y2 x2 设椭圆 C 的方程为 2 + 2 = 1 ?????2 分 4b b 1 3 1 ? 1, ∵椭圆 C 过点 ( , 3) ,∴ 2 ? 2 4b 4b 2 ∴b ? 1, a ? 2 ?????.???..4 分 2 y ? x2 ? 1, ∴椭圆 C 的标准方程为 4 2 2 椭圆 C 的“伴随”方程为 x ? y ? 1. ???..6 分 (2) 由题意知, | m |? 1 . 易知切线 l 的斜率存在,设切线 l 的方程为 y ? kx ? m, ? y ? kx ? m, ? 由 ? y2 得 (k 2 ? 4) x2 ? 2k mx ? m2 ? 4 ? 0 ???..8 分 2 ? ? x ?1 ?4 设 A , B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , 则
故二面角 P ? AE ? C 的余弦值为 ?

? ??? ? n ?AP ?0 ? ??? ? n ?AE ?0

m2 ? 4 2km x1 ? x2 ? ? 2 , x1 x2 ? 2 . k ?4 k ?4
又由 l 与圆 x + y = 1 相切, 所以 所以 | AB |=
2 2

|m| k +1
2

= 1 , k 2 = m2 - 1 .

1+ k

2

( x1 + x2 ) - 4 x1 x2

2

=
S?AOB ?
S ?AOB

(1 + k 2 )[

4k 2 m 2 4(m2 - 4) 4 3 |m| ??10 分 ]= 2 2 2 (k + 4) k +4 m2 + 3

2 3m 1 , m ?1. AB ? 2 2 m ?3 2 3 2 3 ? ? ? 1 (当且仅当 m ? ? 3 时取等号) 3 3 m? 2 m m m
???..12 分

所以当 m ? ? 3 时, S?AOB 的最大值为 1.

-7-


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