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不等式的恒成立与存在性问题


高三数学复习研究

函数中的一类恒成立、存在性问题

【引入】

(1)在此次考试中,我们班有同学数学分数高于140分 “最高分大于140分” 存在性问题

(2)在此次考试中,我们班每位同学数学分数都高于70分 “最低分大于70分” 恒成立问题

【预备知识】
1、恒成立问题的转化: 若函数 f ? x ? 在 D 上存在最大值(或最小值),则
① 符号语言: 对任意 x ? D

,不等式 f ? x ? ? M (或 f ? x ? ? M ) f ( x)max ? M (或f ( x)min ? M ) 恒成立,当且仅当 ___________________

②图形语言:f ? x ? ? M x ? D 恒成立 ?_________________________ 2、能成立(有解、存在性)问题的转化: 若函数 f ? x ? 在D 上存在最大值(或最小值),则 ①符号语言: 存在 x ? D ,使不等式 f ? x ? ? M (或 f ? x ? ? M ) 成立,当且仅当 ___________________ 存在 x ? D ,使 f ? x ? ? M 成立? ②图形语言: ______________________

【复习探究】
【问题1】设函数 f ( x) ? mx 2 ? (m ? 3) x ? 3

①若任意 x ? ?1,3? ,不等式f ? x ? ? 0 恒成立,求实数 m 取值范围; ②若任意 x ? (1,3) ,不等式f ? x ? ? 0 恒成立,求实数 m 取值范围;

【复习探究】
2

【问题1】设函数 f ( x) ? mx ? (m ? 3) x ? 3 ①若任意 x ? ?1,3? ,不等式f ? x ? ? 0 恒成立,求实数 m 取值范围;
③若对于 x ? ?1,3? ,不等式 f ? x ? ? 0 有解,求实数m 取值范围; ④若存在 x ? ?1,3? , 不等式 f ? x ? ? 0 成立,求实数 m取值范围;

②若任意 x ? (1,3) ,不等式f ? x ? ? 0 恒成立,求实数 m 取值范围;

【问题1】设函数 f ( x) ? mx 2 ? (m ? 3) x ? 3 ①若任意 x ? ?1,3? ,不等式 f ? x ? ? 0 恒成立,求实数 m 取值范围;

【复习探究】

②若任意 x ? (1,3) ,不等式 f ? x ? ? 0 恒成立,求实数 m 取值范围; ③若对于 x ? ?1,3? ,不等式 f ? x ? ? 0 有解,求实数m 取值范围; ④若存在 x ? ?1,3? , 不等式 f ? x ? ? 0成立,求实数 m取值范围; ⑤若任意 m ? ?1,3?,不等式 f ? x ? ? 0 恒成立,求实数 x 取值范围; ⑥若存在 m ? ?1,3?, 不等式 f ? x ? ? 0 成立,求实数 x 取值范围.

故x ? ?1, 或x ? 1.

【归纳小结】
解决恒成立、能成立问题-----化为最值(或值域)的问题 (1)常见方法: ①分离参数法 ②主元变更法 ③数形结合法 (2)基本类型: ①一次函数型 ②二次函数型

【复习探究】
g ? x ? ? 2 x3 ? 4 x 2 ? 40 x 【问题2】已知两函数 f ? x ? ? 7 x2 ? 28x ? c ,

①对任意x ? ? ?3,3?,都有 f ? x ? ? g ? x ? 成立,求实数 c的取值范围; ②对任意 x1 , x2 ? ? ?3,3?,都有 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,求实数 c的取值范围;

【复习探究】
g ? x ? ? 2 x3 ? 4 x 2 ? 40 x 【问题2】已知两函数 f ? x ? ? 7 x2 ? 28x ? c ,

①对任意x ? ? ?3,3?,都有 f ? x ? ? g ? x ? 成立,求实数 c的取值范围; ②对任意 x1 , x2 ? ? ?3,3? ,都有 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,求实数 c的取值范围; ③存在 x ? ? ?3,3? ,使 f ? x ? ? g ? x ? 成立,求实数 c 的取值范围; ④存在 x1 , x2 ? ? ?3,3? ,都有f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,求实数 c 的取值范围;

【复习探究】
g ? x ? ? 2 x3 ? 4 x 2 ? 40 x 【问题2】已知两函数 f ? x ? ? 7 x2 ? 28x ? c ,

①对任意x ? ? ?3,3?,都有 f ? x ? ? g ? x ? 成立,求实数 c的取值范围; ②对任意x1 , x2 ? ? ?3,3? ,都有 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,求实数 c的取值范围; ③存在 x ? ? ?3,3? ,使 f ? x ? ? g ? x ? 成立,求实数 c 的取值范围; ④存在 x1 , x2 ? ? ?3,3? ,都有f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,求实数 c 的取值范围;
1 2 1 2

⑤对任意 x1 ? ? ?3,3? ,总存在x2 ? ? ?3,3?,使得 f ? x ? ? g ? x ? 成立,求实数c的取值范围; ⑥若存在 x1 ? ? ?3,3? ,对任意x2 ? ? ?3,3?,使 f ? x ? ? g ? x ? 恒成立,求实数c的取值范围.

【归纳小结】
[ f ( x) ? g ( x)]min ? 0 ; ① ?x ? D , f ( x) ? g ( x) 恒成立 ? ______________ f ( x)min ? g ( x) max ② ?x1 ? D, ?x2 ? D, f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立? ____________ ; [ f ( x) ? g ( x)]max ? 0 ; ③ ?x ? D ,使得 f ( x) ? g ( x)成立? ____________ f ( x)max ? g ( x)min ; ④ ?x1 ? D, ?x2 ? D, 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立? __________ f ( x)min ? g ( x)min ; ⑤ ?x1 ? D, ?x2 ? D, 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立? __________ f ( x)max ? g ( x)max . ⑥ ?x1 ? D, ?x2 ? D, 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立? __________

【高考链接】

【主题练习】
1.存在实数 x ,使得不等式x ? 3 ? x ? 1 ? a 2 ? 3a 有解,求实数a 的取值范围. 2.对满足 p ? 2 的所有实数 p ,求使不等式 x2 ? px ? 1 ? p ? 2x 恒成立的x 的取值范围

1 a 1 h ( x ) ? 10 x ? [ ,1] 恒成立, 3.设函数 h( x) ? ? x ? b,对任意a ? [ ,2] ,都有 在 4 x 2

求实数 b 的取值范围. x g ( x) ? ln x ? m,下列五个命题: 4.设函数f ( x) ? e , ①对于任意 x ?[1, 2],不等式 f ( x) ? g ( x)恒成立,则m ? e ; 2 ②存在x0 ?[1, 2], 使不等式f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,则m ? e ? ln 2 ; ③对于任意 x1 ?[1, 2], x2 ?[1, 2] ,使不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,则m ? e ? ln 2 ; ④对于任意x1 ?[1, 2] ,存在 x2 ?[1, 2] ,使不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则 m ? e ; 2 ⑤存在x1 ?[1, 2] ,存在 x2 ?[1, 2] ,使不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则 m ? e . 其中正确命题的序号为_____________(将你认为正确的命题序号都填上)


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