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江苏省盐城中学2015届高三10月月考数学(理)试题含解析


高三年级阶段性检测 数学试题(理)
命题人:陈健 审核人:蒋涛 【试卷综析】突出考查数学主干知识 试卷长度、题型比例配置与《考试说明》一致,全卷 重点考查中学数学主干知识和方法; 侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查; 侧 重于知识交汇点的考查。高中数学的主干知识如函数、导数、圆锥曲线、等仍然是支撑整份 试卷的主体内容,尤其是解答题,涉及内容均是高中数学的重点知

识。明确了中学数学的教 学方向和考生的学习方向. 一、 填空题: 【题文】 1. 设全集为 R , 集合 A ? {x | 1 ? x ? 4} , 集合 B ? {x | x ? 3 ? 0} , 则 A ? (? R B )

=
【知识点】交、并、补集的混合运算 A1 【答案解析】{x|3<x<4} 解析:解:∵集合 B={x|x﹣3≤0}={x|x≤3},全集为 R, ∴?RB={x|x>3},又∵A={x|1<x<4},∴A∩(?RB)={x|3<x<4}, 故答案为:{x|3<x<4} 【思路点拨】根据已知中,全集为 R,集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x﹣3≤0},进而结 合集合交集,并集,补集的定义,代入运算后,可得答案. 【题文】2. 命题“对 ? x ? R ,都有 x 2 ? 0 ”的否定为 【知识点】命题的否定 A2 2 【答案解析】“存在 x∈R,有 x <0”解析:解:∵全称命题的否定是特称命题, 2 2 ∴命题“任意 x∈R,都有 x ≥0”的否定为:“存在 x∈R,有 x <0”. 2 故答案为:“存在 x∈R,有 x <0”. 【思路点拨】根据全称命题的否定是特称命题即可得到命题的否定 【题文】3. 对于函数 y ? f ( x), x ? R ,“ y ? f ( x) 是奇函数”是“ y ?| f ( x) | 的图象关于 y 轴对称”的__________条件.(填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不 必要”之一) 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2 【答案解析】充分不必要 解析:解:若 y=f(x)是奇函数,则设 g(x)=|f(x)|, 则 g(﹣x)=|f(﹣x)|=|﹣f(x)|=|f(x)|=g(x) , 则 g(x)是偶函数,则 y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称,即充分性成立, 2 若 f(x)=x ,满足 y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称,但 f(x)不是奇函数,即必要性不成 立, 故“y=f(x)是奇函数”是“y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称”的充分不必要条件, 故答案为:充分不必要 【思路点拨】根据函数奇偶性的图象特点以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论 【题文】4. 函数 f ( x) ?

1 log 1 (2 x ? 1)
2

的定义域为

1

【知识点】对数函数的定义域 B1 【答案解析】 解析:解:∵函数 ,



>0,∴0<2x+1<1,解得﹣ <x<0,

故答案为 【思路点拨】由函数的解析式可得 f(x)的定义域 【题文】5. 已知向量 a ? ( 3 ,1) , b ? (0,?1) , c ? (k , 3 ) ,若 (a ? 2b) // c ,则实数 k ? 【知识点】平面向量共线(平行)的坐标表示 F2 【答案解析】1 解析:解: ∵ ∴ >0,化简可得 0<2x+1<1,由此求得

解得 k=1 故答案为 1 【思路点拨】利用向量的坐标运算求出 件列出方程,求出 k 的值 【题文】6. 过原点作曲线 y ? e 的切线,则此切线方程为
x

的坐标;利用向量共线的坐标形式的充要条

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程 B12 x 【答案解析】y=ex 解析:解:y′=e x0 设切点的坐标为(x0,e ) ,切线的斜率为 k, x0 x0 x0 则 k=e ,故切线方程为 y﹣e =e (x﹣x0) x0 x0 又切线过原点,∴﹣e =e (﹣x0) ,∴x0=1,y0=e,k=e. 则切线方程为 y=ex 故答案为 y=ex. x0 x0 【思路点拨】欲求切点的坐标,先设切点的坐标为( x0,e ) ,再求出在点切点( x0,e ) 处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在 x=x0 处的导函数值,再结 合导数的几何意义即可求出切线的斜率.最后利用切线过原点即可解决问题 【题文】7. 已知 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? 【知识点】函数的零点 B9 【答案解析】1 解析:解:观察 y=ln(x+1)与 y= 的图象交点位置

2 的零点在区间 ?k , k ? 1??k ? N ? 上,则 k 的值为 x

2

∵ln2<1,ln3> ∴ 故答案为 1.

的零点在区间(1,2)上,故 k=1

【思路点拨】先画出 y=ln(x+1)与 y= 的图象,然后关系交点所处的区间,比较区间端点 的函数值是否大小发生变化,总而确定零点所在区间. 【题文】8. 已知 a, b 为非零向量,且 a, b 夹角为 【知识点】平面向量数量积的运算 F3 【答案解析】 解析: 解: 因为 为非零向量, 且 夹角为 , 向量 = ,

?
3

,若向量 p ?

a |a|

?

b |b|

,则 | p |?

所以| | =(

2

) =(

2

) +(

2



2

+2

=1+1+2

cos

=1+1+1=3,

所以| |= 故答案为:

; . 平方,转化为 向量的数量积解

【思路点拨】将向量 =

【题文】9. 函数 y ?

1 x ? sin x, x ? [0,2? ] 的单调增区间为 2
)解析:解:∵y′= ﹣cosx, <x< ,故答案为: ( , ) .

【知识点】利用导数研究函数的单调性 B12 【答案解析】 ( ,

令 y′>0,即 cosx< ,解得:

3

【思路点拨】先求出函数的导数,令导函数大于 0,解出即可 【 题 文 】 10. 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 周 期 为 4 的 奇 函 数 , 若 在 区 间 [?2,0) ? (0,2] ,

?ax ? b,?2 ? x ? 0 ,则 f (2015) ? f ( x) ? ? ?ax ? 1,0 ? x ? 2
【知识点】函数的周期性 B4 【答案解析】 解析:解:设 0<x≤2,则﹣2≤﹣x<0,

f(﹣x)=﹣ax+b,f(x)是定义在 R 上周期为 4 的奇函数, 所以 f(﹣x)=﹣f(x)=﹣ax+1=﹣ax+b, ∴b=1,而 f(﹣2)=f(2) ,∴﹣2a+1=2a﹣1,即 a= , 所以 f(2015)=f(﹣1)= .故答案为: .

【思路点拨】先根据奇偶性求出 b,然后根据周期性可求出 a 的值,从而可求出 f(2015) 的值 【 题 文 】 11. 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) 和 偶 函 数 g ( x) 满 足

f ( x) ? g ( x) ? a x ? a ? x ? 2 (a ? 0 ,且 a ? 1) ,若 g (2) ? a ,则 f (2) ?
【知识点】抽象函数及其应用;函数的值 【答案解析】 B4
x ﹣x

解析:解:根据题意,由 f(x)+g(x)=a ﹣a +2,
2 ﹣2 ﹣2 2

则 f(2)+g(2)=a ﹣a +2,①,f(﹣2)+g(﹣2)=a ﹣a +2,② 又由 f(x)为奇函数而 g(x)为偶函数,有 f(﹣2)=﹣f(2) ,g(﹣2)=g(2) , ﹣2 2 则 f(﹣2)+g(﹣2)=﹣f(2)+g(2) ,即有﹣f(2)+g(2)=a ﹣a +2,③ 2 ﹣2 联立①③可得,g(2)=2,f(2)=a ﹣a 又由 g(2)=a,则 a=2, f(2)=2 ﹣2 =4﹣ =
2 ﹣2

;故答案为


x ﹣x

【思路点拨】根据题意,将 x=2、x=﹣2 分别代入 f(x)+g(x)=a ﹣a +2 可得,f(2)+g 2 ﹣2 ﹣2 2 (2)=a ﹣a +2,①和 f(﹣2)+g(﹣2)=a ﹣a +2,②,结合题意中函数奇偶性可得 f ﹣2 2 (﹣2)+g(﹣2)=﹣f(2)+g(2) ,与②联立可得﹣f(2)+g(2)=a ﹣a +2,③,联立 2 ﹣2 ①③可得,g(2) 、f(2)的值,结合题意,可得 a 的值,将 a 的值代入 f(2)=a ﹣a 中, 计算可得答案 【题文】12. 在面积为 2 的 ?ABC 中, E , F 分别是 AB, AC 的中点,点 P 在直线 EF 上, 则 PC ? PB ? BC 的最小值是 【知识点】解三角形;平面向量数量积的运算 C8,F3 【答案解析】 解析:解:∵E、F 是 AB、AC 的中点,∴EF 到 BC 的距离=点 A 到 BC 的 距离的一半, ∴△ABC 的面积=2△PBC 的面积,而△ABC 的面积=2,∴△PBC 的面积=1,
2

4

又△PBC 的面积= PB×PCsin∠BPC,∴PB×PC= ∴ =PB×PCcos∠BPC=
2 2 2





由余弦定理,有:BC =BP +CP ﹣2BP×CPcos∠BPC. 2 2 2 显然,BP、CP 都是正数,∴BP +CP ≥2BP×CP,∴BC ≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC. ∴ ≥PB×PCcos∠BPC+2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC=

令 y=

,则 y′=

令 y′=0,则 cos∠BPC= ,此时函数在(0, )上单调增,在( ,1)上单调减 ∴cos∠BPC= 时, ∴ 故答案为: 【思路点拨】根据△ABC 的面积为 2,可得△PBC 的面积=1,从而可得 PB×PC= 故 =PB×PCcos∠BPC=
2 2 2 2

取得最大值为

的最小值是



, 由余弦定理, 有: BC =BP +CP ﹣2BP×CPcos∠BPC,

进而可得 BC ≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC. 从而 可得 ≥ 的最小值. ,利用导数,可得 最大值为 ,从而

【题文】13.若函数 f ( x) 定义在 R 上的奇函数,且在 (??,0) 上是增函数,又 f (2) ? 0 ,则 不等式 xf ( x ? 1) ? 0 的解集为 【知识点】奇偶性与单调性的综合 B3,B4 【答案解析】 (0,1)∪(﹣3,﹣1) 解析:解:∵函数 f(x)定义在 R 上的奇函数,且在(﹣∞,0)上是增函数,又 f(2) =0, ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,且 f(﹣2)=﹣f(2)=0, ∴当 x>2 或﹣2<x<0 时,f(x)>0,当 x<﹣2 或 0<x<2 时,f(x)<0, (如图) 则不等式 xf(x+1)<0 等价为 或 ,即 或 ,





,解得 0<x<1 或﹣3<x<﹣1,

5

故不等式的解集为(0,1)∪(﹣3,﹣1) ,故答案为: (0,1)∪(﹣3,﹣1)

【思路点拨】根据函数奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行转化即可得到结论 【题文】14. 已知函数 f ( x) ? x ? mx ? | 1 ? x | (m ? R ) ,若 f ( x) 在区间 (?2,0) 上有且
2 2

只有 1 个零点,则实数 m 的取值范围是 【知识点】函数零点的判定定理 B9 【答案解析】{m|m≤ 或 m=1} 解析:解:﹣1≤x<0 时,f(x)=2x +mx﹣1, ﹣2<x<﹣1 时,f(x)=mx+1,∴当 x=﹣1 时,f(﹣1)=1﹣m, 当 1﹣m=0,即 m=1 时,符合题意,当 1﹣m>0 时,f(x)在(﹣1,0)有零点, ∴f(﹣2)=﹣2m+1≥0,解得:m≤ ,当 1﹣m<0,在(﹣2,0)上,函数与 x 轴无交点, 故答案为:{m|m≤ 或 m=1}. 【思路点拨】通过讨论 x 的范围,得出函数的解析式,由 f(﹣1)=1﹣m,通过讨论 1﹣m 的范围,结合函数的图象的性质,从而求出 m 的范围 二、解答题: 【题文】15. 已知函数 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? ? x ? 2 x .
2
2

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)若函数 f ( x) 在区间 [?1, a ? 2] 上单调递增,求实数 a 的取值范围. 【知识点】奇偶性与单调性的综合 B3,B4 【答案解析】(1) f(x)=
2

.(2) (1,3].解析:解: (Ⅰ)设 x<0,
2

则﹣x>0,f(﹣x)=﹣(﹣x) +2(﹣x)=﹣x ﹣2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(﹣x)=﹣f(x)且 f(0)=0. 2 于是 x<0 时 f(x)=x +2x. 所以 f(x)= .

(Ⅱ)作出函数 f(x)=

的图象如图:

6

则由图象可知函数的单调递增区间为[﹣1,1] 要使 f(x)在[﹣1,a﹣2]上单调递增, (画出图象得 2 分) 结合 f(x)的图象知 ,

所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3].

【思路点拨】Ⅰ)根据函数奇偶性的对称性,即可求函数 f(x)在 R 上的解析式; (Ⅱ)根据函数奇偶性和单调性的关系,利用数形结合即可求出 a 的取值范围 【题文】16. 设集合 A ? x ? 2 ? x ? ?1 , B ? ? x | y ? lg (1)当 a ? 1 时,求集合 B ; (2)当 A B ? B 时,求 a 的取值范围. 【知识点】对数函数的定义域;并集及其运算 A1,B1 【答案解析】 (1) B={x|1<x<3} (2) 由 , . 解析: 解: (1) 当 a=1 时, y= ,

?

?

? ?

x?a ? , a ? 0, a ? R ? . 3a ? x ?

解得:1<x<3,∴集合 B={x|1<x<3}; (2)∵A∪B=B,则 A? B, 由 ,得(x﹣a) (x﹣3a)<0.

①当 a>0 时,B=(a,3a) ,又已知集合 A={x|﹣2<x<﹣1}, 显然不满足题意; ②当 a<0 时,B=(3a,a) ,要使 A? B,则 ,解得: .

综上所述,所求 a 的取值范围是 【思路点拨】Ⅰ1)把 a=1 代入函数 y=

. ,由真数大于 0 求解分式不等式得集合 B;

(2)由真数大于 0 得到(x﹣a) (x﹣3a)<0,分 a<0 和 a>0 求解一元二次不等式化简集

7

合 B,然后利用 A? B,结合端点值之间的关系列不等式组求解 a 的取值范围 【题文】17. 如图,在△OAB 中,已知 P 为线段 AB 上的一点, OP ? x ? OA ? y ? OB. (1)若 BP ? PA ,求 x , y 的值; (2)若 BP ? 3PA ,| OA |? 4 ,| OB |? 2 ,且 OA 与 OB 的夹角为 60°时,求 OP ? AB 的 值. 【知识点】平面向量数量积的运算;向量的加法及其几何意义;向量的三角形法则;数量积 表示两个向量的夹角.F3,G9 【答案解析】(1) x ?

1 1 ,y? (2)-9 解析: 2 2

解: (1)∵ BP ? PA , ∴ BO ? OP ? PO ? OA ,即 2OP ? OB ? OA , ∴ OP ?

1 1 1 1 OA ? OB ,即 x ? , y ? 2 2 2 2

(2)∵ BP ? 3PA , ∴ BO ? OP ? 3PO ? 3OA ,即 4OP ? OB ? 3OA ∴ OP ?

3 1 3 1 ∴x ? , y ? OA ? OB 4 4 4 4 3 1 1 3 1 OP ? AB ? ( OA ? OB ) ? (OB ? OA) ? OB ? OB ? OA ? OA ? OA ? OB 4 4 4 4 2 ? 1 2 3 2 1 1 ? 2 ? ? 4 ? ? 4 ? 2 ? ? ?9 4 4 2 2

3 1 1 3 1 OP ? AB ? ( OA ? OB ) ? (OB ? OA) ? OB ? OB ? OA ? OA ? OA ? OB 4 4 4 4 2 1 3 1 1 ? ? 2 2 ? ? 4 2 ? ? 4 ? 2 ? ? ?9 4 4 2 2
【思路点拨】 (1) ,据相等向量的定义及向量的运算法则:三角形法则求出 量基本定理求出 x,y 的值 (2) 利用向量的运算法则将 用
8

,利用平面向

表示, 利用向量数量积的运算律将



的模及它们的数量积表示求出值. 【题文】18. 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y (单位:千克)与销 售价格 x (单 位:元/千克)满足关系式 y ? 为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所 获得的利润最大. 【知识点】函数模型的选择与应用;利用导数研究函数的单调性 B10,B12 【答案解析】(1)2(2) x ? 4 时, f ( x) 取得最大值 42 解析:解(1)因 x ? 5 时, y ? 11 , 所以

a ? 10( x ? 6) 2 ,其中 3 ? x ? 6 , a 为常数.已知销售价格 x ?3

a ? 10 ? 11 ? a ? 2 2

2 ? 10( x ? 6) 2 ] (2)每日所获利润 x ?3 ? 2 ? 10( x ? 3)( x ? 6) 2 ,3 ? x ? 6 f ( x) ? ( x ? 3)[
f ' ( x) ? 30( x ? 4)( x ? 6) ,令 f ' ( x) ? 0 得 x ? 4 或 x ? 6 ,
当 x ? (3,4) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 递增,当 x ? (4,6) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 递减, 故当 x ? 4 时, f ( x) 取得最大值 42 答:当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售所获利润最大. 【思路点拨】 (Ⅰ)由 f(5)=11 代入函数的解析式,解关于 a 的方程,可得 a 值; (Ⅱ)商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润,可得日销 售量的利润函数为关于 x 的三次多项式函数, 再用求导数的方法讨论函数的单调性, 得出函 数的极大值点,从而得出最大值对应的 x 值. 【题文】19. 中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的焦距为 2,两准线间的距离为 10. 设

A(5, 0), 过点 A
作直线 l 交椭圆 C 于 P, Q 两点,过点 P 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于另一点 S . (1)求椭圆 C 的方程; (2)求证直线 SQ 过 x 轴上一定点 B; (3)若过点 A 作直线与椭圆 C 只有一个公共点 D, 求过 B, D 两点,且以 AD 为切线的圆
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的方程. 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题 【答案解析】(1)

H8

x2 y 2 3 2 5 2 24 ? ? 1. (2) B(1,0). (3) ( x ? ) 2 ? ( y ? ) ? . 5 4 5 5 25 x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? . a 2 b2

解析:解(1)设椭圆的标准方程为

?2c ? 2, ?c ? 1, ? ? 依题意得: ? 2a 2 ? b 2 ? 4. ,得 ? ? 10, ? ?a ? 5, ? ? c
所以,椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 5 4

(2)设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) ,AP=tAQ,则 ?

? x1 ? 5 ? t ( x 2 ? 5) . ? y1 ? ty 2

? x12 y12 ? ?1 ? x1 ? ?2t ? 3 ? x ?x x ? tx 2 ?5 ? 4 ? t ? 1, 结合 ? ,得 ? . 设 B(x,0),则 1 ,x ? 1 3 t ? 2 2 2 x ? x 1 ? t x ? x y 2 2 ? ? 2 ? 2 ?1 t ? ? 4 ?5
所以,直线 SQ 过 x 轴上一定点 B(1,0). (3)设过点 A 的直线方程为: y ? k ( x ? 5), 代入椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1 得: 5 4

(4 ? 5k 2 ) x 2 ? 50k 2 x ? 125k 2 ? 20 ? 0 .
依题意得: ? ? 0, 即 (50k ) ? 4(4 ? 5k )(125k ? 20) ? 0 得:
2 2 2 2

k?

5 4 5 且方程的根为 x ? 1. ? D (1, ? ). 5 5

当点 D 位于 x 轴上方时, 过点 D 与 AD 垂直的直线与 x 轴交于点 E ,直线 DE 的方程是:

y?

4 5 ? 5( x ? 1), 5

1 ? E ( , 0) . 5 3 5 2 5 2 24 ) ? ; 5 25 2 5 2 24 ) ? . 5 25

所求的圆即为以线段 DE 为直径的圆,方程为: ( x ? ) 2 ? ( y ?

同理可得:当点 D 位于 x 轴下方时,圆的方程为: ( x ? ) 2 ? ( y ?
10

3 5

【思路点拨】 (1)依题意得:2c=2, (2)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , =t

=10,求出 a,c,b,由此能求出椭圆的标准方程. ,证明 =t ,即可得出结论.
2 2 2 2

(3) 设过点 A 的直线方程为: y=k (x﹣5) , 代入椭圆方程得 (4+5k ) x ﹣50k x+125k ﹣20=0. 依 2 2 2 2 题意得:△=(50k ) ﹣4(4+50k ) (125k ﹣20)=0,由此能求出过 B,D 两点,且以 AD 为 切线的圆的方程 【题文】20. 已知函数 f ( x) ? ln x . (1)求函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? 1 的极值; (2)求函数 h( x) ? f ( x)? | x ? a | ( a 为实常数)的单调区间; (3)若不等式 ( x ? 1) f ( x) ? k ( x ? 1) 对一切正实数 x 恒成立,求实数 k 的取值范围.
2 2

【知识点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函 数的最值 B11,B12 【答案解析】(1) g (x)有极大值为 g (1)=0,无极小值.(2) 当 a≤1 时,h(x)的 增区间为(0,+∞) ,无减区间; 当 a>1 时,h(x)增区间为(0,1) , (a,+∞) ;减区间为(1,a) . 1 1-x (3) (-∞,2] 解析:解: (1)g (x)=lnx-x+1,g′(x)= -1= , x x 当 0<x<1 时,g′(x)>0;当 x>1 时,g′(x)<0, 可得 g (x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 故 g (x)有极大值为 g (1)=0,无极小值. (2)h(x)=lnx+|x-a|. 1 当 a≤0 时,h(x)=lnx+x-a,h′(x)=1+ >0 恒成立, x 此时 h(x)在(0,+∞)上单调递增;
?lnx+x-a,x≥a, 当 a>0 时,h(x)=? ?lnx-x+a,0<x<a.

1 ①当 x≥a 时,h(x)=lnx+x-a,h′(x)=1+ >0 恒成立, x 此时 h(x)在(a,+∞)上单调递增; 1 1-x ②当 0<x<a 时,h(x)=lnx-x+a,h′(x)= -1= . x x 当 0<a≤1 时,h′(x)>0 恒成立,此时 h(x)在(0,a)上单调递增; 当 a>1 时,当 0<x<1 时 h′(x)>0,当 1≤x<a 时 h′(x)≤0, 所以 h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,a)上单调递减. 综上,当 a≤1 时,h(x)的增区间为(0,+∞) ,无减区间; 当 a>1 时,h(x)增区间为(0,1) , (a,+∞) ;减区间为(1,a) . 2 2 (3)不等式(x -1)f (x)≥k(x-1) 对一切正实数 x 恒成立, 2 2 即(x -1)lnx≥k(x-1) 对一切正实数 x 恒成立. 2 2 当 0<x<1 时,x -1<0;lnx<0,则(x -1)lnx>0;

11

当 x≥1 时,x -1≥0;lnx≥0,则(x -1)lnx≥0. 2 因此当 x>0 时, (x -1)lnx≥0 恒成立. 2 2 2 又当 k≤0 时,k(x-1) ≤0,故当 k≤0 时, (x -1)lnx≥k(x-1) 恒成立. 下面讨论 k>0 的情形. k(x-1) 2 2 2 当 x>0 且 x≠1 时, (x -1)lnx-k(x-1) =(x -1)[lnx- ]. x+1 k(x-1) 1 2k x ? 2(1 ? k ) x ? 1 设 h(x)=lnx- ( x>0 且 x≠1) ,h' ( x ) ? ? . ? 2 x+1 x ( x ? 1) x( x ? 1) 2
2

2

2

记△=4(1-k)2-4=4(k -2k) . ① 当△≤0,即 0<k≤2 时,h′(x)≥0 恒成立, 故 h(x)在(0, 1)及(1,+∞)上单调递增. 2 2 于是当 0<x<1 时,h(x)<h(1)=0,又 x -1<0,故(x -1) h(x)>0, 2 2 即(x -1)lnx>k(x-1) . 2 2 当 x>1 时,h(x)>h(1)=0,又 x -1>0,故(x -1) h(x)>0, 2 2 即(x -1)lnx>k(x-1) . 2 2 又当 x=1 时, (x -1)lnx=k(x-1) . 2 2 因此当 0<k≤2 时, (x -1)lnx≥k(x-1) 对一切正实数 x 恒成立. 2 ② 当△>0,即 k>2 时,设 x +2(1-k)x+1=0 的两个不等实根分别为 x1,x2(x1< x2) . 2 函数 φ (x)=x +2(1-k)x+1 图像的对称轴为 x=k-1>1, 又 φ (1)=4-2k<0,于是 x1<1<k-1<x2. 故当 x∈(1,k-1)时,φ (x)<0,即 h′(x)<0, 从而 h(x)在(1,k-1)在单调递减; 2 2 而当 x∈(1,k-1)时,h(x)<h(1)=0,此时 x -1>0,于是(x -1) h(x) <0, 2 2 即(x -1)lnx<k(x-1) , 2 2 因此当 k>2 时, (x -1)lnx≥k(x-1) 对一切正实数 x 不恒成立. 2 2 综上,当(x -1)f (x)≥k(x-1) 对一切正实数 x 恒成立时,k≤2, 即 k 的取值范围是(-∞,2]. 【思路点拨】 (1)求导数,确定函数的单调性,即可求函数 g(x)=f(x)﹣x+1 的极值; (2)求导数,分类讨论,利用导数的正负,即可求函数 h(x)=f(x)+|x﹣a|(a 为实常 数)的单调区间; (3)注意:①适当变形后研究函数 h(x) ;②当 k>2 时,区间(1,k﹣1)是如何找到的

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