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1-2 命题及其关系、充分条件与必要条件


A级

基础达标 1.[2014· 福州一中月考]“若 x,y∈R 且 x2+y2=0,则 x,y 全为

0”的否命题是(

)

A.若 x,y∈R 且 x2+y2≠0,则 x,y 全不为 0 B.若 x,y∈R 且 x2+y2≠0,则 x,y 不全为 0 C.若 x,y∈R 且 x,y 全为 0

,则 x2+y2=0 D.若 x,y∈R 且 x,y 不全为 0,则 x2+y2≠0 解析:由否命题的概念可知,原命题的否命题为“若 x,y∈R 且 x2+y2≠0,则 x,y 不全为 0”,故选 B. 答案:B 2. 若非空集合 A, B, C 满足 A∪B=C, 且 B 不是 A 的子集, 则( A. “x∈C”是“x∈A”的充分不必要条件 B. “x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件 C. “x∈C”是“x∈A”的充要条件 D. “x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要 条件 解析:因为 A∪B=C 且 B 不是 A 的子集,所以 A 是 C 的真子集, 所以 x∈A 则 x 一定属于 C, 但 x∈C 不一定属于 A 所以“x∈C”是“x ∈A”的必要不充分条件. 答案:B 3.[2014· 山东滨州模拟]“10a>10b”是“lga>lgb”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

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解析:由 10a>10b 得 a>b,由 lga>lgb 得 a>b>0,所以“10a>10b”是 “lga>lgb”的必要不充分条件,选 B. 答案:B 4.[2014· 广东六校联考] “不等式 x2-x+m>0 在 R 上恒成立”的 一个必要不充分条件是( 1 A.m>4 C.m>0 ) B.0<m<1 D.m>1

1 解析: 不等式 x2-x+m>0 在 R 上恒成立, 则 Δ=1-4m<0, ∴m>4. ∴“不等式 x2-x+ m>0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是 m>0. 答案:C 1 5.设 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“b<a”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 解析:当 0<ab<1,a<0,b<0 时,有 b>a;反过来 b<a,当 a<0 时, 1 则有 ab>1,∴“0<ab<1”是“b<a”的既不充分也不必要条件,故选 D. 答案:D 6.“|x-a|<m,且|y-a|<m”是“|x-y|<2m”(x,y,a,m∈R)的 ( ) A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.非充分非必要条件

解析:∵|x-y|=|(x-a)-(y-a)|≤|x-a|+|y-a|<m+m=2m,
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∴|x-a|<m,且|y-a|<m 是|x-y|<2m 的充分条件. 取 x=3,y=1,a=-2,m=2.5,则有 |x-y|=2<5=2m,但|x-a|=5, 不满足|x-a|<m=2.5, 故|x-a|<m 且|y-a|<m 不是|x-y|<2m 的必要条件. 答案:A 7.[2014· 南昌模拟]以下有四种说法: ①“a>b”是“a2>b2”的充要条件; ②“A∩B=B”是“B=?”的必要不充分条件; ③“x=3”的必要不充分条件是“x2-2x-3=0”; ④“m 是实数”的充分不必要条件是“m 是有理数”. 其中正确说法的序号是________. 解析:如 2>-4,但 22<(-4)2,故①错;②正确;x=3 可推出 x2 -2x-3=0 成立,反之则不一定成立,所以③正确;“m 是有理数” 可以推出“m 是实数”,反之不一定成立,所以④也正确. 答案:②③④ 8.已知命题 p:实数 m 满足 m2+12a2<7am(a>0),命题 q:实数 m x2 y2 满足方程 + =1 表示的焦点在 y 轴上的椭圆,且 p 是 q 的充 m-1 2-m 分不必要条件,a 的取值范围为________. 解析: 由 a>0, m2-7am+12a2<0, 得 3a<m<4a, 即命题 p: 3a<m<4a, x2 y2 a>0.由 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 可得 2-m>m-1>0, m-1 2-m 3 3 解得 1<m<2,即命题 q:1<m<2.因为 p 是 q 的充分不必要条件,所以

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?3a>1, ? 3 4 a ≤ ? 2

?3a≥1, 或? 3 4 a < ? 2,

1 3 1 3 解得3≤a≤8, 所以实数 a 的取值范围是[3, 8 ].

1 3 答案:[3,8] 9.已知奇函数 f(x)是 R 上的减函数,且 f(3)=-2,设 P={x||f(x +t)-1|<1}, Q={x|f(x)<-2}, 若“x∈Q”是“x∈P”的必要不充分条 件,则实数 t 的取值范围是______.

解析: f(x)的图象可以以如图所示的图象为例,则 Q={x|x>3}.由|f(x+t) -1|<1,得-1<f(x+t)-1<1,即 0<f(x+t)<2,所以-3<x+t<0,所以 P ={x|-3-t<x<-t}.因为“x∈Q”是“x∈P”的必要不充分条件,所 以 P Q,3≤-3-t,所以 t≤-6. 答案:(-∞,-6] 10.已知函数 f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R. (1)求证:若 a+b≥0,则 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b); (2)判断(1)中命题的逆命题是否正确,并证明你的结论. 解:(1)由 a+b≥0,得 a≥-b. 由函数 f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数,得 f(a)≥f(-b),同理, f(b)≥f(-a),
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所以 f(a)+f(b)≥f(-b)+f(-a),即 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). (2)对于(1)中命题的逆命题是:若 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则 a +b≥0,此逆命题为真命题. 现用反证法证明如下: 假设 a+b≥0 不成立,则 a+b<0,a<-b,b<-a, 根据 f(x)的单调性,得 f(a)<f(-b),f(b)<f(-a),f(a)+f(b)<f(-a) +f(-b), 这与已知 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)相矛盾,故 a+b<0 不成立, 即 a+b≥0 成立,因此(1)中命题的逆命题是真命题. 11.求证:方程 x2+ax+1=0 的两实根的平方和大于 3 的必要条 件是|a|> 3,这个条件是其充分条件吗?为什么? 证明:设 x2+ax+1=0 的两实根为 x1,x2,则平方和大于 3 的等 价条件是
2 ? ?Δ=a -4≥0, ? 2 2 2 2 ?x1+x2=?x1+x2? -2x1x2=?-a? -2>3, ?

即 a> 5或 a<- 5. ∵{a|a> 5或 a<- 5},{a||a|> 3}, ∴|a|> 3这个条件是必要条件但不是充分条件. 3 3 12.[2014· 江苏模拟]已知集合 A={y|y=x2-2x+1,x∈[4,2]},B ={x|x+m2≥1};命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,并且命题 p 是命题 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围. 解:化简集合 A, 3 3 7 由 y=x2-2x+1=(x-4)2+16,

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3 7 ∵x∈[4,2],∴ymin=16,ymax=2. 7 7 ∴y∈[16,2],∴A={y|16≤y≤2}. 化简集合 B,由 x+m2≥1, ∴x≥1-m2,B={x|x≥1-m2}. ∵命题 p 是命题 q 的充分条件,∴A?B. 7 3 3 ∴1-m2≤16,∴m≥4或 m≤-4. 3 3 ∴实数 m 的取值范围是(-∞,-4]∪[4,+∞). B 级 知能提升 1.[2014· 天津一中模拟]对于任意实数 x, 〈x〉表示不小于 x 的最 小整数,例如〈1.1〉=2, 〈-1.1〉=-1,那么“|x-y|<1”是“〈x〉 =〈y〉”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

解析:令 x=1.8,y=1.9,满足|x-y|<1,但〈1.8〉=2, 〈0.9〉= 1, 〈 x〉 ≠ 〈 y 〉 ;而〈x〉=〈y〉时,必有|x-y|<1,所以“|x-y|<1” 是〈x〉=〈y〉的必要不充分条件,故选 B 项. 答案:B 1 2.[2014· 湖北宜昌调研]若“不等式x<1 成立”是“关于 x 的不等 式|x-m|≤1 成立”的必要不充分条件,则 m 的取值范围是( A.m<-1 或 m>2 C.m>2 B.m<-1 D.m≤-1 或 m≥2 )

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1 解析:由x<1 得,x<0 或 x>1.由|x-m|≤1 得-1+m≤x≤1+m. 由题意利用数轴,易得 1+m<0 或-1+m>1,即 m<-1 或 m>2. 答案:A x -1 3.集合 A={x| <0},B={x||x-b|<a}.若“a=1”是“A∩B≠ x +1 ?”的充分条件,则实数 b 的取值范围是______. x-1 解析: A={x| <0}={x|-1<x<1}, B={x||x-b|<a}={x|b-a<x<b x+1 +a},因为“a=1”是“A∩B≠?”的充分条件,所以-1≤b-1<1 或 -1<b+1≤1,即-2<b<2. 答案:(-2,2) 4 . [2014· 莱州模拟 ]已知集合 P= {x|x2- 8x-20≤0},S ={x||x - 1|≤m}. (1)若(P∪S)?P,求实数 m 的取值范围; (2)是否存在实数 m,使得“x∈P”是“x∈S”的充要条件?若存 在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解:由 x2-8x-20≤0 解得-2≤x≤10,∴P={x|-2≤x≤10}. 由|x-1|≤m 可得 1-m≤x≤1+m,∴S={x|1-m≤x≤1+m}. (1)要使(P∪S)?P,则 S?P, ①若 S=?,此时,m<0. m≥0, ? ? ②若 S≠?,此时?1-m≥-2, ? ?1+m≤10.

解得 0≤m≤3.

综合①②知实数 m 的取值范围为(-∞,3]. (2)由题意“x∈P”是“x∈S”的充要条件,则 S=P,
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? ? ?1-m=-2, ?m=3, ? 则 ∴? ? ? ?1+m=10, ?m=9,

∴这样的 m 不存在.

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