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2014届高考数学一轮专题复习 高效测试24 平面向量的数量积 新人教A版


高效测试 24:平面向量的数量积
一、选择题 1.已知向量 a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则 k=( ) A.-12 B.-6 C.6 D.12 解析:∵2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由 a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0 ∴10+2-k=0,解得 k=12. 答案:D 1 2.设向量 a,b 满足|a|=|b|=1,a·b=- ,则|a+2b|=( 2 A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 )

? 1? 解析:依题意得(a+2b)2=a2+4b2+4a·b=5+4×?- ?=3,则|a+2b|= 3,故选 B. ? 2?
答案:B → → 3. 在直角梯形 ABCD 中, AB∥CD, AD⊥AB, B=45°, AB=2CD=2, M 为腰 BC 的中点, 则MA·MD =( ) A.1 B.2 C.3 D.4 → → ?1→ →? ? 1→ →? 1 → 1→ → 1→ → 解析:据题意可得 MA · MD = ? CB+BA? · ?- CB+CD? =- |CB |2 + CB · CD - CB · BA + 4 2 2 ?2 ? ? 2 ? → → 1 1 1 BA·CD=- ×( 2)2+ × 2×1×cos135° - × 2×2×1×cos135°+2×1×cos0°= 4 2 2 1 1 - - +1+2=2. 2 2 答案:B 4.已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 θ ,有下列四个命题 2π p1:|a+b|>1?θ ∈[0, ) 3 2π p2:|a+b|>1?θ ∈( ,π ] 3 π p3:|a-b|>1?θ ∈[0, ) 3 π p4:|a-b|>1?θ ∈( ,π ] 3 其中的真命题是( ) A.p1,p4 B.p1,p3 C.p2,p3 D.p2,p4 1 解析:由|a+b|>1 可得:a2+2a·b+b2>1,∵|a|=1,|b|=1,∴a·b>- ,故 θ ∈ 2

1

2π 2π 1 [0, ).当 θ ∈[0, )时,a·b>- ,|a+b|2=a2+2a·b+b2>1,即|a+b|>1; 3 3 2 由|a-b|>1 1 π 可得:a2-2a·b+b2>1,∵|a|=1,|b|=1,∴a·b< ,故 θ ∈( ,π ],反之也成立, 2 3 选 A. 答案:A 5. 若 a, b, c 均为单位向量, 且 a·b=0, (a-c)·(b-c)≤0, 则|a+b-c|的最大值为(

)

A. 2-1 B.1 C. 2 D.2 解析:由已知条件,向量 a,b,c 都是单位向量可以求出,a2=1,b2=1 ,c2=1,由 a·b =0,及(a-c)(b-c)≤0,可以知道,(a+b)·c≥c2=1,因为|a+b-c|2=a2+b2+c2 +2a·b-2a·c-2b·c,所以有|a+b-c|2=3-2(a·c+b·c)≤1,故|a+b-c|≤1. 答案:B → → → 6.设 A(a,1)、B(2,b)、C(4,5)为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若OA与OB在OC方向上的 投影相同,则 a 与 b 满足的关系式为( A.4a-5b=3 B.5a-4b= 3 C.4a+5b=14 D.5a+4b=14 )

→ → → → → 解析: 由图知,要使OA与OB在OC方向上的投影相同,只需使AB⊥OC,即(2-a, b-1)·(4,5) =0 得 4a-5b-3=0.

答案:A 二、填空题 7. 已知向量 a, b 满足(a+2b)·(a-b)=-6, 且|a|=1, |b|=2, 则 a 与 b 的夹角为________ . 解析:设 a 与 b 的夹角为 θ ,依题意有(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=-7+2cosθ = 1 π -6,所 以 cosθ = ,因为 0≤θ ≤π ,所以 θ = . 2 3 π 答案: 3 8.已知单位向量 e1,e2 的夹角为 60°,则|2e1-e2|=__________. 解析: 依题意得(2e1 -e2)2=4e2 1+e2 2-4e1·e2=4+1-4×12×cos60°=3, 故|2e1-e2| = 3. 答案: 3 9.若平面向量 α ,β 满足|α |=1,|β |≤1,且以向量 α ,β 为邻边的平行四边形的面 1 积为 ,则 α 与 β 的夹角 θ 的取值范围是________. 2

2

解析:如图,向量 α 与 β 在单位圆 O 内,其中因|α |=1,|β |≤1,且以向量 α ,β 为 1 1 邻边的平行四边形的面积为 ,故以向量 α ,β 为边的三角形的面积为 ,故 β 的终点在如 2 4 → 1 π 5π 图的线段 AB(α ∥AB且圆心 O 到 AB 的距离为 )上,因此夹角 θ 的取值范围为[ , ]. 2 6 6 π 5π 答案:[ , ] 6 6 三、解答题 → → → → → → 10.已知OA=(2,5),OB=(3,1),OC=(6,3),在OC上是否存在点 M,使MA⊥MB,若存在, 求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. → → 解析:设存在点 M,且OM=λ OC=(6λ ,3λ )(0<λ ≤1), → → ∴MA=(2-6λ ,5-3λ ),MB= (3-6λ ,1-3λ ). → → ∵MA⊥MB, ∴(2-6λ )(3-6λ )+(5-3λ )(1-3λ )=0, 1 11 即 45λ 2-48λ +11=0,解得 λ = ,或 λ = . 3 15 → → 22 11 ∴OM=(2,1),或OM=( , ). 5 5 22 11 ∴存在 M(2,1),或 M( , )满足题意. 5 5 11.(2013·佛山质检)设向量 a=(4cosα ,sinα ),b=(sinβ ,4cosβ ),c=(cosβ ,- 4sinβ ). (1)若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α +β )的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若 tanα tanβ =16,求证:a∥b. 解析:(1) 因为 a 与 b-2c 垂直,所以 a·( b-2c)=4cosα sinβ -8cosα cosβ +4sinα cosβ +8sinα sinβ =4sin(α +β )- 8cos(α +β )=0, 因此 tan(α +β )=2. (2)由 b+c=(sinβ +cosβ ,4cosβ -4sinβ ),得 |b+c|= ? sinβ +cosβ ? 2+? 4cosβ -4sinβ ? 2 = 17-15sin2β ≤4 2. π 又当 β =- 时,等号 成立,所以|b+c|的最大值为 4 2. 4

3

4cosα sinα (3)由 tanα tanβ =16 得 = ,所以 a∥b. sinβ 4cosβ 3 12.已知向量 m=(1,1),向量 n 与向量 m 的夹角为 π ,且 m·n=-1. 4 (1)求向量 n; C (2)△ABC 中三内角 A、 B、 C 依次成等差数列, 若向量 n=(0, -1), 向量 p=(cosA,2cos2 ), 2 求|n+p|的取值范围. 解析:(1)设 n=(x,y),由 m·n=-1,可得 x+y=-1,① 3 3 又 m 与 n 的夹角为 π ,有 m·n=|m|·|n|·cos π ,则 x2+y2=1,② 4 4
?x=-1 ? 由①、②解得? ? ?y=0 ?x=0 ? 或? ? ?y=-1

.

∴n=(-1,0)或 n=( 0,-1). π 2π 2π (2)由 2B=A+C 知 B= ,A+C= ,0<A< , 3 3 3 若 n=(0,-1),则 C n+p=(cosA,2cos2 -1)=(cosA,cosC), 2 ∴|n+p|2=cos2A+cos2C 1+cos2A 1+cos2C = + 2 2 1 4π =1+ [cos2A+cos( -2A)] 2 3 1 π =1+ cos(2A+ ), 2 3 2π π π 5π ∵0<A< , <2A+ < , 3 3 3 3 π 1 1 1 π 5 1 5 ∴-1≤cos(2A+ )< , ≤1+ cos(2A+ )< ,即|n+p|2∈[ , ), 3 2 2 2 3 4 2 4 ∴|n+p|∈[ 2 5 , ). 2 2

4


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