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2014届高考模拟试题(11)数学(理科)含答案


2014 届高考模拟试题(11)数学(理科) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。请把答案填在答 题卡上.
1 ? ?1?, B ? ?x ? 1 ? x ? 0?,则 x (A) A B (B) B A (C) A ? B (D) A ? B ? ? 1 ? ai 2.设 i 是虚数单位,复数 为纯虚数,则实数 a 为 2?i 1 1 (A) ? (B) ?2 (C) (D) 2 2 2

x2 y 2 10.已知 F1 和 F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,P 是双 a b 曲线左支的一点, PF1 ⊥ PF2 , PF1 = c,则该双曲线的离心率为

1.已知集合 A ? ?x

A. 5 ? 1

B.

3 ?1 2

C. 3 ? 1

D.

5 ?1 2

11.计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的数制,采用数字 0-9 和字母 A-F 共 16 个记数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表:

3.若向量 a ? (2,0), b ? (1,1) ,则下列结论正确的是 A.a ? b ? 1 B. | a |?| b | C.(a ? b) ? b D.a // b 4.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况, 抽出了一个容量为 n 的样本,其频率分布直方图如 图所示,其中支出在[50,60)元的同学有 30 人,则 n 的值为 A.100 B.1000 C.90 D.900 5.命题“ ?x ? R, e x ? 0 ” ( ? :任意, ? :存在)的否 定是 ?x ? R, e x ? 0 (A)?x ? R, e x ? 0(B)?x0 ? R, e x ? 0 (C)?x0 ? R, e x ? 0 (D) 6.若(9,a)在函数 y ? log 2 x 的图象上,则有关函数 f ( x) ? a x ? a ? x 性质的 描述,正确是 A、它是定义域为 R 的奇函数 B、它在定义域 R 上有 4 个单调区间 C、它的值域为(0,+ ? ) D、函数 y=f(x-2)的图象关于直线 x=2 对称 7.正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 6,侧棱长为 5,则它的侧面积为 A. 15 B. 60 C. 96 D. 12 7 2 8. “ a ? ?1 ”是“直线 a x ? y ? 6 ? 0 与直线 4 x ? (a ? 3) y ? 9 ? 0 互相垂直”的 (A)充分不必要条件( B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 9.给出四个命题,则其中正确命题的序号为 ①存在一个△ABC,使得 sinA+cosA=-1;②△ABC 中,A>B 的充要条件为 sinA>sinB;
0 0

例如,用十六进制表示:E+D=1B,则 A× B= A、6E B、72 C、5F D、5F D、B0 12 . 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) ? ?
?
f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 恰 好 有

?lg x ? 2 , x ? 2 1, x?2

若关于 x 的方程

f ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) ?

5 个 不 同 的 实 数 解 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , 则 (A) lg 2 (B) lg 4 (C) lg 8 (D)1 (用数字作答) . .

二、填空题: 13. ( x ? )7 的展开式中,x3 的系数是
1 x 9 y

2 x

14.已知 x>0,y>0,且 ? =1,则 2x+3y 的最小值为

15.如图所示是某个区域的街道示意图(每个小矩形的边表示街道, ) 那么从 A 到 B 的最短线路有 条(用数字作答) 。

16. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,a2 ? 1 ,an ? an?2 ? n ? 1 ? n ? N * ? , 若 ?an ? 前 n 项和为 S n , 则 S100 ? .

③直线 x= ? 是函数 y=sin(2x+
8

5? 4

)图象的一条对称轴; (C)③ (D)①

(A)①②

(B)②③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明.证明过 程或演算步骤.

17. 已知函数 f ( x) ? tan( x ? ) (I)求 f(x)的最小正周期;
6

1 3

?

(II)求 f ( ? ) 的值;(皿)设 f (3? ? ? ) ? ? ,求

3 2

7 2

1 2

sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 2 sin(? ? ) 4

1 2 (Ⅱ)当 b ? 0 时,求 f ( x) 的极值点并判断是极大值还是极小值;

(Ⅰ)当 b ? 时,判断函数 f ( x) 在定义域上的单调性; 的值.

?

18.某沿海城市以塑料玩具为主要出口产品,塑料厂家在产品出厂前,需 对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽 取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品. (I)若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8,从中任意取出 3 件进行检 验.求恰有 1 件是合格品的概率; (II)若厂家发给商家 20 件产品,其中有 3 件不合格,按合同规定,该商家 从中任取 2 件,都进行检验,只有 2 件都合格时才接收这批产品,否则拒 收,求该商家可能检验出不合格产品数 ? 的分布列及期望 E ? ,并指出该 商家拒收这批产品的概率。

21. 已知有两个数列{ an },{ bn },它们的前 n 项和分别记为 Sn , Tn ,且数 列{ an }是各项均为正数的等比数列, S m =26,前 m 项中数值最大的项的 值为 18, S 2 m =728,又 Tn ? 2n 2 (I)求数列{ an },{ bn }的通项公式. (II)若数列{ cn }满足 cn ? bn an ,求数列{ cn }的前 n 项和 Pn.

19.如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, AB 丄平面 PAD,PD=AD, E 为 PB 的中点, 向量 ,点 H 在 AD 上,且 (I)求证:EF//平面 PAD. (II)若 PH= 3 ,AD=2, AB=2, CD=2AB, 求直线 AF 与平面 PAB 所成角的正弦值.

x2 y 2 22.已知:圆 x ? y ? 1 过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点,与椭圆有且仅 a b x2 y 2 有两个公共点:直线 y ? kx ? m 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切 ,与椭圆 2 ? 2 ? 1 相交 a b ??? ? ??? ? 2 3 于 A,B 两点记 ? ? OA ? OB, 且 ? ? ? . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ) 3 4 求 k 的取值范围; (Ⅲ)求 ?OAB 的面积 S 的取值范围.
2 2

2014 届高考模拟试题数学(理) (11)参考答案

20. 设函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? b ln x ,其中 b 为常数.

题 号 答

1 C

2 D

3 C

4 A

5 B

6 D

7 B

8 A

9 B

10 C

11 A

12 C

案 13. 84 14. 29 ? 6 6 15. 200 16. 2525

17.解: (1) f ( x) 的最小正周期为 T=

?
1 3

? 3?

(2 分)

(2) f (

3? 3? ? ? ) ? tan( ? ) ? tan ? 3 (5 分) (3)由 2 6 6 3 7? 1 1 7? ? 1 1 f (3? ? ) ? ? 得 tan[ (3? ? ) ? ] ? ? 即 tan(? ? ? ) ? ?
2 2 3 2 6 2 2

所以 tan ? ? ?

1 (7 分)? cos ? ? 0 2

? AE为AF 在平面PAB上的射影 ??FAE为直线AF 与平面PAB所成的角
? PD ? AD ? 2 PH ? 3 ? 在Rt ?PHD中

(8 分)

1 ? ?1 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 ? 2 ? ?3 ? ? 1 ? tan ? ? 1 sin ? ? cos ? ? ?1 2 sin(? ? ) 2 4 另解:先求 sin ? 和 cos ? 再求得最后正确答案这步也得 3 分 18.解: (Ⅰ)记“厂家任取 3 件产品检验,恰有 1 件是合格品”为事件 A
sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? )
则P

HD ? PD2 ? PH 2 ? 2 2 ?

? 3?

2

?1

? H 为AD中点 , 又 PH ? AD ? PA ? PD ? AD ? 2 ? EF ? DQ ? PH ? 3 ? AB ? 平面PAD ? AB ? AD DF / / AB ? DF ? AD
在 Rt ?ADF中 AF ? AD ? DF ? 又? EF ? 平面PAB ? EF ? AE
2 2

? A? ? C

4 ?1 ? 5

1 3

? 0.8 ? ( 1-0.8)=3 ? 0.8 ? 0.04=0.096
2
1 3 1 17

(Ⅱ) ? 可能的取值为 0,1, 2 (4 分)
P ?? ? 0 ? ?
2 CC 51 C17 136 , , (7 分) P ?? ? 1? ? ? ? 2 2 C20 190 C20 190

? 在Rt ?AEF中 sin ?FAE ?

EF 3 15 ? ? AF 5 5
15 15 (12 分) 55
义域为 (0,?? ) ,

? 直线AF 与平面PAB所成的角的正弦值为
20. 解: (1)由题意知, f ( x) 的定

136 51 3 3 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? (9 分) 190 190 190 10
记“商家任取 2 件产品检验,都合格”为事件 B,则商家拒收这批产品的概率

?
P

0 2 136 51 3 190 190 190

136 27 (11 分) ? 190 95 27 所以商家拒收这批产品的概率为 (12 分) 95 P ? 1? P ? B? ? 1?
19. (Ⅰ) 取 PA 的中点 Q,连结 EQ、DQ, 则? E 是 PB 的中点,

2 ???? 1 ??? ? 1 又 ? DF ? AB ? DF / / AB, 且DF= AB 2 2 ? EQ // DF , 且EQ ? DF ,? 四边形 EQDF 为平行四边形,
EF / / 平面PAD
(4 分)

? EQ / / AB, 且EQ= 1 AB

1 1 2( x ? ) 2 ? b ? b 2x ? 2x ? b 2 2 ( x ? 0) f ' ( x) ? 2 x ? 2 ? ? ? x x x 1 ? 当 b ? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在定义域 (0,??) 上单调递增. 2 (2)当 b ? 0 时 f ?( x) ? 0 有两个不同解,
2

4分

x1 ?

1 1 ? 2b 1 1 ? 2b ? , x2 ? ? 2 2 2 2

x1 ?

1 1 ? 2b ? ? 0 ? (0,??),舍去 , 2 2

? EF / /QD , 又? EF ? 平面PAD, 且DQ ? 平面PAD ,
???? ???? ???? ???? ? PH⊥AD, (Ⅱ)证明: ? PH ? AD ? 0 ,? PH ? AD 又? AB⊥平面 PAD, PH ? 平面 PAD,? AB⊥PH, 又? PH ? AD=H, ? PH⊥平面 ABCD; 连结 AE ? PD ? AD, Q为PA的中点 ? DQ ? PA 又? AB ? 平面PAD 且 DQ ? 平面PAD ? AB ? DQ ? AB ? PA ? A ? DQ ? 平面PAB (6 分) ? EF ? 平面PAB 由(Ⅰ)知 EF / / DQ
x (0, x 2 ) ? f ?( x)
f ( x)


1 1 ? 2b ? ? 1 ? (0,??) , 2 2 此时 f ?( x) , f ( x) 随 x 在定义域上的变化情况如下表: 而x 2 ?
x2

( x2, ? ?)

0
极小 值

?
增 由此表可知:? b ? 0 时, f ( x) 有惟一极小值点 , x ? 21. 解: (Ⅰ)设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,

1 1 ? 2b ? , 2 2

? an ? 0 , ? q ? 0

显然 q=1 时与题意不符 由 ?

? a1 ?1 ? q m ? ? ? 26 ?1? 1? q ? 2 ? ? ?1? 得: 1 ? q m ? 28 得 ? ? 2m ? a1 ?1 ? q ? ? 728 ? 2 ? ? ? 1? q

? S m ? 26 ? S m ? 728

? ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y 2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2
2 = k ? 1 ,由 2 ? ? ? 3 ,故 1 ? k 2 ? 1 , 2

1 ? 2k

3

4

2

? q ? 27 ? q ? 1 ? 前 m 项中
m

即 k的范围为[?1, ? 2 ] ? [ 2 ,1]
2 2

(III)

| AB | 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]
=2?
S?
2 ,由 1 ? k 2 ? 1 ,得: 6 ?| AB |? 4 2 2 3 2 (2k ? 1)
2

a m 最大
m ?1

? am ? 18

a1q m ?1 18 a 2 即 a1q ? 1 ? ? 3? ? 18 ? m ? q 27 q 3 2 2 m 即 a1 ? q 把 a1 ? q 及 q ? 27 代入(1)式得 3 3 2 q ?1 ? 27 ? 2 3 ? 26 解得 q=3 把 q=3 代入 a1 ? q 得 a1 ? 2 , 所以 an ? 2 ? 3n ?1 由 Tn ? 2n 2 3 1? q (1) 当 n=1 时 b1 ? T1 ? 2
16.当 n ? 2 时 bn ? Tn ? Tn ?1 ? 2n 2 ? 2 ? n ? 1? ? 2n 2 ? 2 n 2 ? 2n ? 1
2

6 2 1 1 ?S? | AB | d ? | AB | ,所以: 4 3 2 2

?

?

17. ? 4n ? 2

? b1 ? 2 适合上式 ? bn ? 4n ? 2
? c n ? (4n ? 2) ? 2 ? 3 n ?1 ? 4(2n ? 1) ? 3 n ?1

(Ⅱ)由(1) an ? 2 ? 3n ?1 , bn ? 4n ? 2

记 d n ? (2n ? 1) ? 3 n ?1 , d n 的前 n 项和为 Qn ,显然 Pn ? 4Qn

Qn ? d1 ? d 2 ? d 3 ? ....... ? d n ? 1 ? 30 ? 3 ? 31 ? 5 ? 3 2 ? ...... ? (2n ? 1) ? 3 n?1 …....① ? 3Qn ? d1 ? d 2 ? d 3 ? ....... ? d n ? 1 ? 31 ? 3 ? 3 2 ? 5 ? 33 ? ...... ? (2n ? 1) ? 3 n … ..②
①-② 得:-2 Qn = 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? ........2 ? 3
1 2 3 n ?1

? (2n ? 1) ? 3 n

=1 ? 2 ?

3(1 ? 3 n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 3 n = ? 2 ? (2n ? 2) ? 3 n 1? 3 ? 4Qn ? 4(n ? 1) ? 3 n ? 4 ,即 Pn ? 4(n ? 1) ? 3 n ? 4
因为圆与椭圆有且只有两个公共点,从而 b=1.
2

22. 解: (Ⅰ)由题意知 2c=2,c=1 故 a= 2 所求椭圆方程为 x ? y 2 ? 1
2

(Ⅱ)因为直线 l:y=kx+m 与圆 x ? y ? 1 相切
2 2

2 2 所以原点 O 到直线 l 的距离 | m | = 1, 即: m ? k ? 1

又由 ?

1? k

2

?y ? kx? m ? x2 2 ? ? y ?1 ?2



( 1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0
2

2

2

2 设 A( x1 , y1 ) ,B( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? 4km , x1 x2 ? 2m ? 2 2 2

1 ? 2k

1 ? 2k


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