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2015-2016学年高中数学 第一章 解三角形章末归纳总结 新人教A版必修5


2015-2016 学年高中数学 第一章 解三角形章末归纳总结 新人 A 教 版必修 5

一、选择题 1.在△ABC 中,a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边,若 acosA=bcosB,则△ABC 一定是( ) B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

A.等腰三角形 C.等边三角形 [答案] D [解析] 由正弦定理,得 = 又 acosA=bcosB,即 =

a sinA . b sinB

a cosB sinA cosB ,∴ = , b cosA sinB cosA

即 sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B. π ∴2A=2B 或 2A=π -2B.∴A=B 或 A+B= . 2 ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形,故选 D. 2.在△ABC 中,C=60°,AB= 3,BC= 2,那么 A 等于( A.135° C.45° [答案] C B.105° D.75° )

BC AB 2 3 2 [解析] 由正弦定理知 = ,即 = ,所以 sinA= ,又由题知,BC sinA sinC sinA sin60° 2
<AB,∴A=45°. 3. 在△ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c, 若 a -b = 3bc, sinC=2 3sinB, 则 A=( ) B.60° D.150°
2 2

A.30° C.120° [答案] A [解析] cosA= 3 , 2 由余弦定理得:cosA=

b2+c2-a2 2 2 2 ,由题知 b -a =- 3bc,c =2 3bc,则 2bc

又 A∈(0°,180°),∴A=30°,故选 A.
1

3 4.三角形两边之差为 2,夹角的余弦值为 ,面积为 14,那么这个三角形的此两边长分 5 别是( ) B.4 和 6 D.5 和 7

A.3 和 5 C.6 和 8 [答案] D

3 4 [解析] 设夹角为 A,∵cosA= ,∴sinA= , 5 5

S= bcsinA=14,∴bc=35,
又 b-c=2,∴b=7,a=5. 5.设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 bcos C+ccos B=asin A, 则△ABC 的形状为( A.锐角三角形 C.钝角三角形 [答案] B [解析] 本题考查正弦定理. 由正弦定理, 得 sinBcosC+sinCcosB=sin A, 所以 sin(B π 2 2 +C)=sin A,∴sinA=sin A,而 sinA>0,∴sinA=1,A= ,所以△ABC 是直角三角形. 2 6.如图所示,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 所在的河岸边选定一点 C,测出
2

1 2

) B.直角三角形 D.不确定

AC 的距离为 50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算 A、B 两点的距离为(

)

A.50 2m C.25 2m [答案] A [解析] 由题意知∠ABC=30°, 由正弦定理得, = , sin∠ABC sin∠ACB

B.50 3m 25 2 D. m 2

AC

AB

2 50× 2 AC·sin∠ACB ∴AB= = =50 2(m). sin∠ABC 1 2 二、填空题 7.(2014~2015 益阳模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 asinA
2

+bsinB-csinC= 3asinB,则角 C 等于________. [答案] π 6
2 2 2

[解析] 由正弦定理,得 a +b -c = 3ab, 所以 cosC=

a2+b2-c2 3 π = ,又 0<C<π ,所以 C= . 2ab 2 6

π 8.(2014~2015 福州模拟)在△ABC 中,BC=1,B= ,△ABC 的面积 S= 3,则 sinC 3 =________. [答案] 2 39 13

π 1 [解析] 因为在△ABC 中, BC=1, B= , △ABC 的面积 S= 3, 所以 S△ABC= BC×BAsinB 3 2 1 3 2 2 2 = 3, 即 ×1×BA× = 3, 解得 BA=4.又由余弦定理, 得 AC =BC +BA -2BC·BAcosB, 2 2

BA AC 2 39 即得 AC= 13,由正弦定理,得 = ,解得 sinC= . sinC sinB 13
三、解答题 9.(2015·山东青岛市质检)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知

a+b a-c = ,b=3. sin?A+B? sinA-sinB
(1)求角 B; (2)若 sinA= 3 ,求△ABC 的面积. 3

a+b a-c [解析] (1)∵ = , sin?A+B? sinA-sinB


a+b a-c = . c a-b
2 2 2 2 2 2

∴a -b =ac-c ,即 a +c -b =ac, ∴cosB=

a2+c2-b2 ac 1 = = . 2ac 2ac 2

π ∵B∈(0,π ),∴B= . 3 (2)由 b=3,sinA= 3 3 ,sinB= , 3 2

a

sinA



,得 a=2. sinB

b

3

由 a<b 得 A<B,从而 cosA=

6 , 3 3+3 2 . 6

故 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 1 3+3 2 ∴△ABC 的面积 S= absinC= . 2 2

10.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 a =b +c + 3bc. (1)求 A; (2)设 a= 3,S 为△ABC 的面积,求 S+3cosBcosC 的最大值,并指出此时 B 的值. [解析] (1)由余弦定理,得 cosA= 5π 又∵0<A<π ,∴A= . 6 1 (2)由(1)得 sinA= ,又由正弦定理及 a= 3,得 2

2

2

2

b2+c2-a2 - 3bc 3 = =- . 2bc 2bc 2

S= bcsinA= ·

1 2

1 2

asinB ·asinC=3sinBsinC, sinA

∴S+3cosBcosC=3(sinBsinC+cosBcosC)=3cos(B-C). π -A π 当 B=C,即 B= = 时,S+3cosBcosC 取最大值 3. 2 12

一、选择题 11.(2015·合肥市质检)已知△ABC 的三边长分别为 a,b,c,且满足 b+c≤3a,则 的 取值范围为( ) B.(0,2) D.(0,3)

c a

A.(1,+∞) C.(1,3) [答案] B [解析] 依题意得 c<a+b.

∴c+c<a+b+c≤a+3a,于是有 2c<4a,0< <2,即 的取值范围是(0,2),故选 B. 12.在△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60°,则 BC 边上的高等于( A. C. 3 2 3+ 6 2 3 3 B. 2 D. 3+ 39 4 )

c a

c a

4

[答案] B [解析] 设 AB=c,BC 边上的高为 h. 由余弦定理, 得 AC =c +BC -2BC·ccos60°, 即 7=c +4-2c, 即
2 2 2 2

c2-2c-3=0,∴c=3(负值舍去).
又 h=c·sin60°=3× 3 3 3 = ,故选 B. 2 2

13.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 a=λ ,b= 3λ (λ >0),A= 45°,则满足此条件的三角形个数是( A.0 C.2 [答案] A [ 解析 ] 直接根据正弦定理可得 ) B.1 D.无数个

a
sinA



b
sinB

,可得 sinB =

bsinA 3λ sin45° = = a λ

6 >1,没有意义,故满足条件的三角形的个数为 0. 2 14.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40n mile 的速度沿南偏东 40°的方向直线航行, 30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏东 70°,在

B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B,C 两点间的距离是(
A.10 2n mile C.20 3n mile [答案] A B.10 3n mile D.20 2n mile

)

[解析] 如图所示,易知,在△ABC 中,AB=20n mile,∠CAB=30°,∠ACB=45°, 根据正弦定理得 = ,解得 BC=10 2(n mile). sin30° sin45°

BC

AB

二、填空题 3 15. (2015·天津十二区县联考)已知△ABC 中, AB=1,sinA+sinB= 2sinC, S△ABC= 16 sinC,则 cosC=________.

5

[答案]

1 3

[解析] 设△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,因为 sinA+sinB= 2sinC, 1 3 3 则由正弦定理得 a+b= 2c= 2,又因为 S△ABC= absinC= sinC,所以 ab= ,故 cosC 2 16 8 =

a2+b2-c2 ?a+b?2-2ab-1 1 = = . 2ab 2ab 3
→ → → → → → → → → 16.已知平面内四点 O、A、B、C 满足OA+OB+OC=0,OA·OB=OB·OC=OC·OA=-1,

则△ABC 的面积为________.

[答案]

3 3 2

→ → → [解析] 由OA+OB+OC=0 知 O 为△ABC 的重心, → → → → 又由OA·OB=OB·OC得 →

OB·(OA-OC)=OB·CA=0,
→ → → → → → 所以OB⊥CA,同理OA⊥BC,OC⊥AB, 所以 O 为△ABC 的垂心.故△ABC 为正三角形. → → → → 即OC·OA=|OC|·|OA|·cos120°=-1, → → ∴|OC|·|OA|=2. 1 → 3 3 3 → ∴S△AOC= |OC|·|OA|sin120°= ,∴S△ABC= . 2 2 2 三、解答题 17. (2015·武汉市调研)已知△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且满足 bcos A
2

→ →





2 7 =a(2-sinAsinB),c= 7,cosB= . 7 (1)求 sinA; (2)求 a,b 的值. [ 解析 ] (1) 在△ ABC 中,由正弦定理及 bcos A = a(2 - sinAsinB) 知 sinB·cos A =
2 2

sinA(2-sinAsinB), ∴sinB·cos A+sinBsin A=2sinA, ∵sin A+cos A=1,∴sinB=2sinA,
6
2 2 2 2

又∵cosB=

2

,∴sinB= 7

1-?

2 7

?=

2

21 . 7

1 21 ∴sinA= sinB= . 2 14 (2)由(1)可知 b=2a, ∴由余弦定理 b =a +c -2ac·cosB 及 b=2a, c= 7得(2a) =a +7-2a· 7·cosB. 而 cosB=
2 2 2 2 2 2

2 7



∴3a +4a-7=0,即(3a+7)(a-1)=0,∴a=1,b=2. 18.如下图所示,甲船以每小时 30 2n mile 的速度向正北方向航行,乙船按固定方向 匀速直线航行,当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105°方向的 B1 处,此时两船相 距 20n mile.当甲船航行 20min 到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B2 处, 此时两船相距 10 2n mile,问乙船每小时航行多少 n mile?

[解析] 解法一:如图,连结 A1B2,

20 由题意知 A2B2=10 2n mile,A1A2=30 2× =10 2n mile. 60 所以 A1A2=A2B2. 又∠A1A2B2=180°-120°=60°, 所以△A1A2B2 是等边三角形. 所以 A1B2=A1A2=10 2n mile. 由题意知,A1B1=20n mile,∠B1A1B2=105°-60°=45°, 在△A1B2B1 中,由余弦定理,得 B1B2=A1B1+A1B2-2A1B1·A1B2·cos45°=20 +(10 2) -2×20×10 2× 2 =200. 2
7
2 2 2 2 2

所以 B1B2=10 2n mile. 10 2 因此,乙船速度的大小为 ×60=30 2(n mile/h). 20 答:乙船每小时航行 30 2n mile. 解法二:如下图所示,连结 A2B1,

20 由题意知 A1B1=20n mile,A1A2=30 2× 60 =10 2n mile,∠B1A1A2=105°, 又 cos105°=cos(45°+60°) =cos45°cos60°-sin45°sin60°= 2?1- 3? , 4

sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60° = 2?1+ 3? , 4
2 2 2 2 2

在△A2A1B1 中,由余弦定理,得 A2B1=A1B1+A1A2-2A1B1·A1A2·cos105°=20 +(10 2) -2×20×10 2× 2?1- 3? =100(4+2 3), 4

所以 A2B1=10(1+ 3)n mile 由正弦定理,得 sin∠A1A2B1=

A1B1 20 2?1+ 3? 2 ·sin∠B1A1A2= × = , A2B1 4 2 10?1+ 3?

所 以 ∠ A1A2B1 = 45° , 即 ∠ B1A2B2 = 60° - 45° = 15° , cos15° = sin105° = 2?1+ 3? . 4 在△B1A2B2 中,由题知 A2B2=10 2n mile, 由余弦定理,得 B1B 2 = A2B 1 + A2B 2 - 2A2B1·A2B2·cos15°= 10 (1 + 3) + (10 2) - 2×10(1+ 3)×10 2× 2?1+ 3? =200, 4
2 2 2 2 2 2

10 2 所以 B1B2=10 2n mile,故乙船速度的大小为 ×60=30 2(n mile/h). 20

8

答:乙船每小时航行 30 2n mile.

9


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