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北京市昌平区2015届高三下学期第三次模拟数学(理)试卷


北京市昌平区 2015 届高考数学三模试卷(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. ) 1.已知 A.﹣4 =b+i(a,b∈R,i 为虚数单位) ,则 a+b 等于( B.﹣2 C .2 ) D.4 )

2.要得到函数 f(x)=sin(2x+ A.向左平移 C.

向左平移 个单位长度 个单位长度

)的图象,只需将函数 g(x)=sin2x 的图象( B.向右平移 D.向右平移 个单位长度 个单位长度

3.如图是两个全等的正三角形,给出下列三个命题:①存在四棱锥,其正视图、侧视图如 图;②存在三棱锥,其正视图、侧视图如图;③存在圆锥,其正视图、侧视图如图.其中 所有真命题的序号是( )

A.①②
2

B.②③

C.①③ )

D.①②③

4.由曲线 y=x ,y=x 围成的封闭图形的面积为( A.1 B. C.

D.

5.设向量 =(2,x﹣1) , =(x+1,4) ,则“x=3”是“ ∥ ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

6.阅读下面程序框图,为使输出的数据为 11,则①处应填的数字可以为(

A.4

B.5

C .6

D.7

7.已知函数 f(x)= 点,则实数 m 的取值范围是( ) A.m<2 B.2<m≤3

,若函数 g(x)=f(x)﹣x 恰有三个不同的零

C.2≤m≤3

D.m>3

8.如图,直线 MN 过△ ABC 的重心 G(重心是三角形三条中线的交点) ,设 且 =m , =n (其中 m>0,n>0) ,则 mn 的最小值是( )

= ,

= ,

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. ) 6 4 2 9.二项式(x+y) 的展开式中,含 x y 的项的系数是__________. 10. (几何证明选做题) 如图圆 O 的直径 AB=6,P 是 AB 的延长线上一点,过点 P 作圆 O 的切线,切点为 C,连接 AC,若∠CPA=30°,则 PC=__________.

11.设 x∈{﹣1,1},y∈{﹣2,0,2},则以(x,y)为坐标的点落在不等式 x+2y≥1 所表示 的平面区域内的概率为__________.

12.已知双曲线

=1 的右焦点与抛物线 y =8x 的焦点重合,则 m=__________,该双

2

曲线的焦点到其渐近线的距离为__________. 13.已知函数 f(x)=e (sinx+a)在 R 上单调递增,则实数 a 的取值范围是__________. 14.已知映射 f:P(m,n)→P′( , ) (m≥0,n≥0) .设点 A(2,6) ,B(4,4) ,点 M 是线段 AB 上一动点, f: M→M′. 当点 M 是线段 AB 的中点时, 点 M′的坐标是__________; 当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到点 B 结束时,点 M 的对应点 M′所经过的路线长度 为__________.
x

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 2 2 2 15.在△ ABC 中,角 A,B,C 的所对的边分别为 a,b,c,且 a +b =ab+c . (Ⅰ) 求 tan(C﹣ (Ⅱ) 若 c= )的值;

,求 S△ ABC 的最大值.

16.在一台车床上生产某种零件,此零件的月产量与零件的市场价格具有随机性,且互不影 响,其具体情况如表: 表 1:零件某年的每月产量(个/月) 月份 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 1 2 3 4 产量 500 400 625 625 表 2:零件市场价格(元/个) 零件市场价格 8 10 概率 0.4 0.6 (Ⅰ) 请你根据表 1 中所给的数据,判断该零件哪个季度的月产量方差最大; (结论不要求 证明) (Ⅱ) 随机抽取该种零件的一个月的月产量记为 X,求 X 的分布列; (Ⅲ)随机抽取该种零件的一个月的月产量,设 Y 表示该种零件的月产值,求 Y 的分布列 及期望. 17.如图,多面体 ABCDEF 中,DE⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,AB=2, ∠BAD=60°,四边形 BDEF 是正方形. (Ⅰ)求证:CF∥平面 AED; (Ⅱ)求直线 AF 与平面 ECF 所成角的正弦值;

5 500

(Ⅲ)在线段 EC 上是否存在点 P,使得 AP⊥平面 CEF,若存在,求出 说明理由.

的值;若不存在,

18.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率 e=

,右顶点为 A,点 M(1,0)为线

段 OA 的中点,其中 O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 M 任作一条直线交椭圆 C 于不同的两点 E,F,试问在 x 轴上是否存在定点 N, 使得∠ENM=∠FNM?若存在,求出点 N 的坐标;若不存在,说明理由. 19.已知函数 f(x)=a(x﹣1)﹣2lnx(a≥0) . (Ⅰ)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间(0,1)上无零点,求实数 a 的最大值.

20.已知数列{an}满足 a1=4,a2=2,an+2=

an+2[1﹣(﹣1) ],n∈N ,k∈N .

n

*

*

(Ⅰ)求 a3,a4,并直接写出 an; (Ⅱ)设 Sk=a1+a3+…+a2k﹣1,Tk=a2+a4+…+a2k,分别求 Sk,Tk 关于 k 的表达式; (Ⅲ)设 Wk= ,求使 Wk>2 的所有 k 的值,并说明理由.

北京市昌平区 2015 届高考数学三模试卷(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. ) 1.已知 A.﹣4 =b+i(a,b∈R,i 为虚数单位) ,则 a+b 等于( B.﹣2 C .2 ) D.4

考点:复数相等的充要条件. 专题:数系的扩充和复数. 分析:首先由已知利用复数相等得到 a,b 的值,然后计算所求. 解答: 解:因为 =b+i 即 a+3i=﹣1+bi,所以 a=﹣1,b=3,所以 a+b=2;

故选 C. 点评:本题考查了复数的运算以及复数相等的性质;属于基础题目.

2.要得到函数 f(x)=sin(2x+ A.向左平移 C.向左平移

)的图象,只需将函数 g(x)=sin2x 的图象( 个单位长度 个单位长度

)

个单位长度 B.向右平移 个单位长度 D.向右平移

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:根据三角函数图象之间的关系进行求解即可. 解答: 解:f(x)=sin(2x+ )=sin2(x+ )﹣ ) , ) ,

即由函数 g(x)=sin2x 的图象向左平移

个单位即可得到 f(x)=sin(2x+

故选:A 点评:本题主要考查三角函数图象之间的关系,比较基础. 3.如图是两个全等的正三角形,给出下列三个命题:①存在四棱锥,其正视图、侧视图如 图;②存在三棱锥,其正视图、侧视图如图;③存在圆锥,其正视图、侧视图如图.其中 所有真命题的序号是( )

A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③

考点:简单空间图形的三视图. 专题:空间位置关系与距离. 分析:根据正四棱锥,三棱锥,圆锥的三视图形状,举出满足条件的实例,分析三个命题的 真假,可得答案. 解答: 解: 正四棱锥的正视图、 侧视图是两个全等的等腰直角三角形, 腰长为棱锥的侧高, 底为底面边长,故①正确;

将①中正四棱锥沿两条相对的侧棱分成两个三棱锥,则三棱锥的正视图、侧视图跟①完全 一致,故②正确; 圆锥的正视图、侧视图是两个全等的等腰直角三角形,腰长为圆锥的母线,底为底面直径, 故③正确; 故所有真命题的序号是①②③, 故选:D 点评: 本题考查的知识点是简单几何体的三视图, 熟练掌握常见几何体的三视图形状是解答 的关键. 4.由曲线 y=x ,y=x 围成的封闭图形的面积为( A.1 B. C.
2

) D.

考点:定积分在求面积中的应用. 专题:导数的综合应用. 分析:先根据题意画出区域,然后依据图形得到积分下限为 0,积分上限为 1,从而利用定 积分表示出曲边梯形的面积,最后用定积分的定义求出所求即可 解答: 解:由题意封闭图形如图, 得到积分上限为 1,积分下限为 0 直线 y=x 与曲线 y=x 所围图形的面积 S=∫0 (x﹣x )dx 而∫0 (x﹣x )dx=( x ﹣ x )| ∴曲边梯形的面积是 ; 故选:D.
1 2 2 3 2 1 2

=



点评:本题主要考查了学生会求出原函数的能力,以及考查了数形结合的思想,同时会利用 定积分求图形面积的能力,解题的关键就是求原函数

5.设向量 =(2,x﹣1) , =(x+1,4) ,则“x=3”是“ ∥ ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

)

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题:平面向量及应用. 分析:由向量共线可得 x 的值,再由集合的包含关系可得答案. 解答: 解:当 时,有 2×4﹣(x﹣1) (x+1)=0,解得 x=±3;

因为集合{3}是集合{3,﹣3}的真子集, 故“x=3”是 “ ”的充分不必要条件.

故选 A 点评:本题考查充要条件的判断,涉及平面向量共线的坐标表示,属基础题. 6.阅读下面程序框图,为使输出的数据为 11,则①处应填的数字可以为( )

A.4

B.5

C .6

D.7

考点:程序框图. 专题:图表型;算法和程序框图. 分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,n 的值,当 S=11,n=5 时应该不满 足条件,退出循环,输出 S 的值为 11,则①处应填的数字可以为:5. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 S=1,n=1 满足条件,S=1﹣2=﹣1,n=2 满足条件,S=﹣1+4=3,n=3 满足条件,S=3﹣8=﹣5,n=4 满足条件,S=﹣5+16=11,n=5 由题意,此时应该不满足条件,退出循环,输出 S 的值为 11. 则①处应填的数字可以为:5. 故选:B.

点评:本题主要考查了循环结构的程序框图,正确判断退出循环的条件是解题的关键,属于 基础题.

7.已知函数 f(x)= 点,则实数 m 的取值范围是( ) A.m<2 B.2<m≤3

,若函数 g(x)=f(x)﹣x 恰有三个不同的零

C.2≤m≤3

D.m>3

考点:分段函数的应用. 专题:函数的性质及应用. 分析:由题意知 g(x)在[m,+∞)上有一个零点,在(﹣∞,m)上有两个零点;从而由 一次函数与二次函数的性质判断即可. 解答: 解:∵函数 g(x)=f(x)﹣x 恰有三个不同的零点, ∴g(x)在[m,+∞)上有一个零点,在(﹣∞,m)上有两个零点; 2 即有在[m,+∞)上有 3≥m,在(﹣∞,m)上有 x +5x﹣12=x,解得 x=﹣6 或 2, 即有 m>2. 则有 2<m≤3. 故选:B. 点评:本题考查了函数的零点的判断及分段函数的应用,属于中档题.

8.如图,直线 MN 过△ ABC 的重心 G(重心是三角形三条中线的交点) ,设 且 =m , =n (其中 m>0,n>0) ,则 mn 的最小值是( )

= ,

= ,

A.

B.

C.

D.

考点:平面向量的基本定理及其意义. 专题:平面向量及应用. 分析:由 G 为三角形的重心得到 = ( ) ,再结合 =m , =n (其中 m>0,n

>0) ,根据 M,G,N 三点共线,易得到 m,n 的关系式,即可得到结论 解答: 解:根据题意 G 为三角形的重心, ∴ 由于 = ( ) , = =( ﹣m) + ,

=n

=

, ,

因为 G,M,N 三点共线,根据共线向量基本定理知,存在实数 λ,使得





消去 λ 得 m+n﹣3mn=0,m,n>0 ∴m+n=3mn≥2 ,所以 mn≥ .所以 mn 的最小值为 ;

故选:C. 点评:本题主要考查了三角形重心的性质,以及向量的基本定理和向量在几何中的应用,属 于中档题 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. ) 9.二项式(x+y) 的展开式中,含 x y 的项的系数是 15. 考点:二项式系数的性质. 专题:二项式定理. 分析:写出二项展开式的通项,取 r=2 即可求得含 x y 的项的系数. 解答: 解:由
6 4 2 6 4 2

,令 r=2,
4 2

可得二项式(x+y) 的展开式中,含 x y 的项的系数是



故答案为:15. 点评:本题考查了二项式系数的性质,关键是熟记二项展开式的通项,是基础题. 10. (几何证明选做题) 如图圆 O 的直径 AB=6,P 是 AB 的延长线上一点,过点 P 作圆 O 的切线,切点为 C,连接 AC,若∠CPA=30°,则 PC=3 .

考点:与圆有关的比例线段. 专题:压轴题;直线与圆. 分析:连接 OC,由 PC 是⊙O 的切线,可得 OC⊥PC,于是 解答: 解:连接 OC,∵PC 是⊙O 的切线,∴OC⊥PC, 又∵∠CPA=30°,R=3, ,即可解出.

∴ ∴ .



故答案为 . 点评:熟练掌握圆的切线的性质及直角三角形的边角关系是解题的关键. 11.设 x∈{﹣1,1},y∈{﹣2,0,2},则以(x,y)为坐标的点落在不等式 x+2y≥1 所表示 的平面区域内的概率为 .

考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;二元一次不等式(组)与平面区域. 专题:概率与统计. 分析:根据古典概型的概率公式进行计算即可. 解答: 解:∵x∈{﹣1,1},y∈{﹣2,0,2}, ∴共有 2×3=6 个坐标, 不等式等价为 x≥1﹣2y, 当 y=﹣2 时,x≥5,此时没有坐标, 当 y=0 时,x≥1,此时 x=1, 当 y=2 时,x≥1﹣4=﹣3,此时 x=1,﹣1, 故以(x,y)为坐标的点落在不等式 x+2y≥1 所表示的平面区域内坐标为(1,0) , (1,2) , (﹣1,2)共 3 个, 则对应的概率 P= = 故答案为: 点评: 本题主要考查古典概型的概率的计算, 根据条件求出满足条件的坐标个数是解决本题 的关键.

12.已知双曲线

=1 的右焦点与抛物线 y =8x 的焦点重合,则 m=1,该双曲线的焦

2

点到其渐近线的距离为 1. 考点:双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:求得抛物线的焦点,可得双曲线的 c=2,由双曲线的 a,b,c 的关系,可得 m=1,由 双曲线的渐近线方程,结合点到直线的距离公式计算即可得到. 2 解答: 解:抛物线 y =8x 的焦点为(2,0) , 由题意可得 c=2,即 3+m=4, 解得 m=1, 则双曲线 ﹣y =1 的右焦点(2,0)到渐近线 y=±
2

x 的距离为

d=

=1,

故答案为:1;1. 点评: 本题考查抛物线和双曲线的方程和性质, 主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的运用, 同时考查点到直线的距离公式的运用,属于基础题. 13.已知函数 f(x)=e (sinx+a)在 R 上单调递增,则实数 a 的取值范围是
x



考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:计算题;导数的综合应用. 分析:求函数的导数,要使函数单调递增,则 f′(x)≥0 立,然后求出实数 a 的取值范围. x x 解答: 解:因为 f(x)=e (sinx+a) ,所以 f′(x)=e (sinx+a+cosx) . 要使函数单调递增,则 f′(x)≥0 成立. 即 sinx+a+cosx≥0 恒成立. 所以 a≥﹣sinx﹣cosx, 因为﹣sinx﹣cosx=﹣ sin(x+ )

所以﹣ ≤﹣sinx﹣cosx≤ , 所以 , 故答案为: . 点评: 本题主要考查导数的基本运算以及利用导数研究函数的单调性, 注意当函数单调递增 时,f'(x)≥0 恒成立. 14.已知映射 f:P(m,n)→P′( , ) (m≥0,n≥0) .设点 A(2,6) ,B(4,4) ,点 M 是线段 AB 上一动点, f: M→M′. 当点 M 是线段 AB 的中点时, 点 M′的坐标是 ( , ) ; 当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到点 B 结束时,点 M 的对应点 M′所经过的路线长度 为 .

考点:进行简单的合情推理. 专题:推理和证明. 分析: (1)由中点坐标公式得到 M(3,5) ,由已知得到点 M′的坐标是( (2)求点 M′的轨迹方程,根据范围确定路径的长度. 解答: 解: (1)∵点 M 是线段 AB 的中点,由中点坐标公式, ∴M(3,5) ,由已知映射 f:P(m,n)→P′( , ) (m≥0,n≥0) , ∴点 M′的坐标是( , ) . 2 2 (2)设 M′(x,y) ,则 M(x ,y ) ,线段 AB 方程为:x+y=8(2≤x≤4) 2 2 ∴对应点 M′为 x +y =8( ≤x≤2,2≤y≤ ) , ∴路径为一段圆弧,圆心角为 15°, ∴点 M 的对应点 M′所经过的路线长度为 8π× = .



) .

点评:主要考查轨迹问题,曲线与方程的运用,学生的灵活应用能力与计算能力.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15.在△ ABC 中,角 A,B,C 的所对的边分别为 a,b,c,且 a +b =ab+c . (Ⅰ) 求 tan(C﹣ (Ⅱ) 若 c= )的值;
2 2 2

,求 S△ ABC 的最大值.

考点:余弦定理;正弦定理. 专题:解三角形. 分析: (Ⅰ) 利用余弦定理表示出 cosC,将已知等式变形后代入求出 cosC 的值,确定出 C 的度数,代入 tan(C﹣ )计算即可求出值;

(Ⅱ)把 c 的值代入已知等式变形,利用基本不等式求出 ab 的最大值,再由 sinC 的值,即 可求出三角形 ABC 面积的最大值. 2 2 2 2 2 2 解答: 解: (Ⅰ)∵a +b =ab+c ,a +b ﹣c =ab, ∴cosC= ∵C 为△ ABC 内角, ∴C= , )=tan(
2 2

= ,

则 tan(C﹣



)=

=2﹣



(Ⅱ)由 ab+3=a +b ≥2ab,得 ab≤3, ∵S△ ABC= absinC= ∴S△ ABC≤ 当且仅当 a=b= , 时“=”成立, . ab,

则 S△ ABC 的最大值是

点评:此题考查了余弦定理,三角形面积公式,以及基本不等式的运用,熟练掌握定理及公 式是解本题的关键. 16.在一台车床上生产某种零件,此零件的月产量与零件的市场价格具有随机性,且互不影 响,其具体情况如表: 表 1:零件某年的每月产量(个/月) 月份 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 1 2 3 4 产量 500 400 625 625 表 2:零件市场价格(元/个) 零件市场价格 8 10 概率 0.4 0.6

5 500

(Ⅰ) 请你根据表 1 中所给的数据,判断该零件哪个季度的月产量方差最大; (结论不要求 证明) (Ⅱ) 随机抽取该种零件的一个月的月产量记为 X,求 X 的分布列; (Ⅲ)随机抽取该种零件的一个月的月产量,设 Y 表示该种零件的月产值,求 Y 的分布列 及期望. 考点:离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题:概率与统计. 分析: (I)运用给出的数据的差异可判断得出不稳定问题,可判断方差的大小问题. (II) X 取值为 X=400,500,625.运用表格数据可得出 P(X=400)=0.25;P(X=500) =0.5;P(X=625)=0.25. 可列出分布列. (III)确定随机变量 Y 的所有可能取值为 Y=3200,4000,5000,6250. 运用表的概率知识和则 P(X=400)=0.25;P(X=500)=0.5;P(X=625)=0.25. 求解得出 P(Y=3200)=0.1, (Y=4000)=0.35,P(Y=5000)=0.4,P(Y=6250)=0.15 列出分布列,求解数学期望. 解答: 解: (I) 第四季度的月产量方差最大. (II) X 取值为 X=400,500,625. 则 P(X=400)=0.25;P(X=500)=0.5;P(X=625)=0.25. 所以随机变量 X 的分布列为 X 400 500 625 P 0.25 0.5 0.25 (III) 因为 400×8=3200, 400×10=4000, 500×8=4000, 500×10=5000, 625×8=5000, 625×10=6250, 所以随机变量 Y 的所有可能取值为 Y=3200,4000,5000,6250. 所以 P(Y=3200)=0.4×0.25=0.1, P(Y=4000)=0.6×0.25+0.4×0.5=0.35, P(Y=5000)=0.6×0.5+0.4×0.25=0.4, P(Y=6250)=0.6×0.25=0.15 所以随机变量 Y 的分布列为 Y 3200 4000 5000 6250 P 0.1 0.35 0.4 0.15 其期望为 EY=3200×0.1+4000×0.35+5000×0.4+6250×0.15=4657.5. 点评:题综合考查了概率在实际问题中的应用,关键是准确求解概率,判断概率的类型,准 确求解即可,熟练运用公式计算求解,仔细阅读题意. 17.如图,多面体 ABCDEF 中,DE⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,AB=2, ∠BAD=60°,四边形 BDEF 是正方形. (Ⅰ)求证:CF∥平面 AED; (Ⅱ)求直线 AF 与平面 ECF 所成角的正弦值; (Ⅲ)在线段 EC 上是否存在点 P,使得 AP⊥平面 CEF,若存在,求出 说明理由. 的值;若不存在,

考点:直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角. 专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)根据线面平行的判定定理,可得:BC∥平面 ADE,BF∥平面 ADE,进而由面 面平等的判定定理,可得平面 BCF∥平面 AED,进而根据面面平行的性质得到:CF∥平面 AED; (Ⅱ)建立空间直角坐标系 O﹣xyz.求出直线 AF 的方向向量与平面 ECF 的法向量,代入 向量夹角公式,可得直线 AF 与平面 ECF 所成角的正弦值; (Ⅲ) 设P (x, y, z) , , 根据 AP⊥平面 CEF, 则平面 CEF 法向量为 满足: ,

根据无满足条件的 λ 值,可得不存在这样的 P 点. 解答: 证明: (Ⅰ)因为 ABCD 是菱形, 所以 BC∥AD. 又 BC?平面 ADE,AD?平面 ADE, 所以 BC∥平面 ADE..… 又因为 BDEF 是正方形, 所以 BF∥DE. 因为 BF?平面 ADE,DE?平面 ADE, 所以 BF∥平面 ADE… 因为 BC?平面 BCF,BF?平面 BCF,BC∩BF=B, 所以平面 BCF∥平面 AED… 因为 CF?平面 BCF, 所以 CF∥平面 AED.….….. 解: (Ⅱ) 因为四边形 ABCD 为菱形,且∠BAD=60°, 所以△ BCD 为等边三角形… 取 BD 的中点 O, 所以 CO⊥BD, 取 EF 的中点 G,连结 OG,则 OG∥DE 因为 DE⊥平面 ABCD, 所以 OG⊥平面 ABCD..… 如图建立空间直角坐标系 O﹣xyz. 因为 AB=2. 所以 … 所以 , , .

设平面 CEF 法向量为 =(x,y,z) , 则有





令 y=1.则



设 AF 与平面 ECF 所成的角为 θ,则



所以直线 AF 与平面 ECF 所成角的正弦值为 (Ⅲ)不存在… , 设 P(x,y,z) , 由 得 因为平面 CEF 的法向量为 若 AP⊥平面 CEF,则 ,即 , , …



….…..

. ,..…



方程组无解,不符合题意. 综上,不存在 λ 使得 AP⊥平面 CEF.….….. 点评:本题考查的知识点是直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角,向量法求线面夹 角,难度中档.

18.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率 e=

,右顶点为 A,点 M(1,0)为线

段 OA 的中点,其中 O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)过点 M 任作一条直线交椭圆 C 于不同的两点 E,F,试问在 x 轴上是否存在定点 N, 使得∠ENM=∠FNM?若存在,求出点 N 的坐标;若不存在,说明理由. 考点:椭圆的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)通过点 M(1,0)为线段 OA 的中点可知 b=2,利用 ,a ﹣b =c ,计算
2 2 2

即得结论; (Ⅱ) 通过设存在点 N(x0,0)满足题设条件,分 EF 与 x 轴不垂直与不垂直两种情况讨 论,利用韦达定理化简、计算即得结论. 解答: 解: (Ⅰ) 由题意可得 b=2, 又因为 所以 ,a ﹣b =c , , ;
2 2 2

故所求椭圆 C 的方程为

(Ⅱ) 结论:在 x 轴上存在点 N(4,0) ,使得∠ENM=∠FNM. 理由如下: 假设存在点 N(x0,0)满足题设条件, (1)当 EF 与 x 轴不垂直时,设 EF 的方程为 y=k(x﹣1) .
2 2 2 2



消去 y,整理得: (2+k )x ﹣2k x+k ﹣8=0.

可知△ >0,设 E(x1,y1) ,F(x2,y2) , 则 , ,

=



(x1﹣1) (x2﹣x0)+(x2﹣1) (x1﹣x0)=2x1x2﹣(1+x0) (x1+x2)+2x0=



+2x0,

若∠ENM=∠FNM,则 kEN+kFN=0,



整理得:k(x0﹣4)=0,因为 k∈R,所以 x0=4; (2)当 EF⊥x 轴时,由椭圆的对称性可知恒有∠ENM=∠FNM,满足题意; 综上,在 x 轴上存在点 N(4,0) ,使得∠ENM=∠FNM. 点评:本题考查椭圆的简单性质,注意解题方法的积累,属于中档题. 19.已知函数 f(x)=a(x﹣1)﹣2lnx(a≥0) . (Ⅰ)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间(0,1)上无零点,求实数 a 的最大值. 考点:利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理. 专题:综合题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)当 a=1 时,求导数,利用导数的正负,求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)分类讨论,确定函数的单调区间,根据函数 f(x)在区间(0,1)上无零点,即可 求实数 a 的最大值. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)=x﹣1﹣2lnx,定义域(0,+∞)… ,..… 令 f'(x)>0 得 x>2,..… 令 f'(x)<0 得 0<x<2..… 因此,函数 f (x)的单调递增区间是(2,+∞) ,单调递减区间是(0,2) ;… (Ⅱ)①当 a=0 时,f(x)=﹣2lnx,函数 f(x)在区间(0,1)上单调递减,且 f(x)> f(1)=0, 所以 a=0 时,函数 f(x)在区间(0,1)上无零点;… ②当 a>0 时,令 f'(x)=0 得 令 f'(x)>0 得 , , ,单调递减区间是 …

,令 f'(x)<0 得

因此,函数 f (x)的单调递增区间是 (ⅰ)当 即 0<a≤2 时,

函数 f (x)的单调递减区间是(0,1) ,所以 f(x)>f(1)=0, 所以 0<a≤2 时,函数 f(x)在区间(0,1)上无零点;… (ii)当 即 a>2 时, ,单调递增区间是 且 , .

函数 f (x)的单调递减区间是 所以

所以 a>2 时,函数 f(x)在区间(0,1)上有零点,不成立,… 所以 0≤a≤2, 综上实数 a 的最大值是 2.… 点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的零点,正确求导是关键.

20.已知数列{an}满足 a1=4,a2=2,an+2=

an+2[1﹣(﹣1) ],n∈N ,k∈N .

n

*

*

(Ⅰ)求 a3,a4,并直接写出 an; (Ⅱ)设 Sk=a1+a3+…+a2k﹣1,Tk=a2+a4+…+a2k,分别求 Sk,Tk 关于 k 的表达式; (Ⅲ)设 Wk= ,求使 Wk>2 的所有 k 的值,并说明理由.

考点:数列递推式;数列的求和. 专题:点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (Ⅰ)根据数列的递推关系即可求 a3,a4,并直接写出 an; (Ⅱ)根据数列求和的关系进行求解即可求 Sk,Tk 关于 k 的表达式; (Ⅲ)求出 Wk 的表达式,解不等式即可. 解答: 解: (I)因为 a1=4,a2=2,所以 a3=a1+4=8,..…a4=2a2=4,..…


*

(II)当 n=2k﹣1(k∈N )时,a2k+1=a2k﹣1+4, 所以{a2k﹣1}是以 4 为首项,4 为公差的等差数列,则 a2k﹣1=4k,..… * 当 n=2k(k∈N )时,a2k+2=2a2k, 故{a2k}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,则 Sk=a1+a3+…+a2k﹣1=4+8+…+4k=2k(k+1) , ,..… ,..…

(III)



于是 下面证明:当 k≥5 时,Wk<2. 事实上, 当 k≥5 时,

,…



即 Wk+1<Wk,又 W5<2, 所以 k≥5 时,Wk<2… 故满足 Wk>2 的 k 的值为 2,3 点评:本题主要考查数列递推公式的应用,考查学生的运算和推理能力,综合性较强,难度 较大.


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