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历届联赛数列


2000-2012 数列 1、 (2000 一试 4)给定正数 p,q,a,b,c,其中 p?q,若 p,a ,q 是等比数列,p,b,c,q 是等差 2 数列,则一元二次方程 bx ?2ax+c=0 ( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 2、 (2003 一试 1) 删去正整数数列 1, 2, 3, ……中的所有完全平方数, 得到一个新数列. 这 个数列的 2003 项是( ) (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049

5、 (2004 一试 11)已知数列 a0,a1,a2,… ,an,…满足关系式(3-an+1)(6+an)=18,且 a0=3, 1 则∑ 的值是
i=0 n

ai

6、(2005 一试 7) 将关于 x 的多项式 f ( x) ? 1 ? x ? x ? x ? ? ? x ? x 表为关于 y 的多
2 3 19 20





g ( y) ?

a0 ? a1 y ? a2 y 2 ? ? ? a19 y19 ? a20 y 20 ,
.





y ? x ? 4.



a0 ? a1 ? ? ? a20 ?

7、 (2007 一试 10)已知等差数列{an}的公差 d 不为 0,等比数列{bn}的公比 q 是小于 1 的正 有理数。若 a1=d,b1=d ,且
2

2 2 a12 ? a2 ? a3 是正整数,则 q 等于 b1 ? b2 ? b3



8、 (2008 一试 10)设数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? an ?

n ?1 , n ? 1, 2,? ,则通项 n(n ? 1)

an =

.[来源:Z§xx§k.Com]

9、 ( 2010 一 试 4 ) 已 知 {an } 是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 , {bn } 是 等 比 数 列 , 其 中

a1 ? 3, b1 ? 1, a2 ? b2 ,3a5 ? b3 , 且 存 在 常 数 ? , ? 使 得 对 每 一 个 正 整 数 n 都 有 an ? l o ? g bn ? ? ,则 ? ? ? ?
.

10、 (2009 一试 7)一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩 上的两个数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前 100 个正整数按从小到大排成的行,则 最后一行的数是 (可以用指数表示) Sn 11、 (2000 一试 13)设 Sn=1+2+3+…+n,n?N,求 f(n)= 的最大值. (n ? 32) S n?1 12、 (2000 二试 2)设数列{a n}和{b
n

}满足,且

?an?1 ? 7an ? 6bn ? 3 n ? 0,1,2,? ? ?bn?1 ? 8an ? 7bn ? 4
证明 a n(n=0,1,2,…)是完全平方数. 13、 (2001 一试 13)设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且 b1 ? a1 , b2 ? a2 ,b3 ? a3 (a1<a2),又 lim (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ?
n???

2

2

2

2 ? 1 ,试求{an}的首项与公差。

14、 (2001 二试 2)设 xi≥0(I=1,2,3,…,n)且

?x
i ?1

n

2

i

?2

1? k ? j ? n

?

n k ,求 x i 的最 xk x j ? 1 ? j i ?1

大值与最小值。 15、 (2001 二试 3)将边长为正整数 m,n 的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形,每个 正方形的边均平行于矩形的相应边,试求这些正方形边长之和的最小值。 D D1 C

n

A

m A1

B

16、 (2002 一试 14)如图,有一列曲线 P0, P1, P2, ……,已知 P0 所围成的图形是面积为 1 的等边三角形,Pk+1 是对 Pk 进行如下操作得到的:将 Pk 的每条边三等分,以每边中间部分的 线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,3,…),记 Sn 为曲线 Pk 所围成图形面积。 ①求数列{Sn}的通项公式;②求 lim S n 。
n ??

17、 (2004 二试 2) 在平面直角坐标 系 XOY 中, y 轴正 半轴上的点列 {An} 与曲线 y= 2x (x ≥ 0) 上的点列 {Bn} 满 足 1 | OAn|=|OBn|= , P0 P1 P2

n

直线 AnBn 在 x 轴上的截距为 an,点 Bn 的横坐标为 bn,n∈N*. ⑴ 证明 an>an+1>4,n∈N*; ⑵ 证明有 n0∈N*,使得对?n>n0,都有 + +…+

b2 b3 b1 b2

bn bn+1 + <n-2004. bn-1 bn

18、 (2005 一试 13)数列 {an } 满足: a0 ? 1, an?1 ?

2 7an ? 45an ? 36

2

, n ? N.

证明: (1)对任意 n ? N , an 为正整数;(2)对任意 n ? N , an an?1 ? 1 为完全平方数。

19、 (2006 二试 2)已知无穷数列{an}满足 a0=x,a1=y, an ?1 ?

an an ?1 ? 1 ,n=1、2、…。 an ? an ?1

(1)对于怎样的实数 x 与 y,总存在正整数 n0,使当 n0≥n 时 an 恒为常数? (2)求数列{an}的通项公式。 20、 (2007 一试 13)设 an ?

? k (n ? 1 ? k ) ,求证:当正整数 n≥2 时,a
k ?1
2008 k ?1

n

1

n+1

<an。

21、 (2008 二试 3)设 ak ? 0 , k ? 1, 2,?, 2008 .证明:当且仅当 ? ak ? 1 时,存在数列 {xn } 满足以下条件:[来源:学.科.网 Z.X.X.K] (1) 0 ? x0 ? xn ? xn?1 , n ? 1, 2,3,? ; (2) lim xn 存在;
n ??

(3) xn ? xn ?1 ? ? ak xn ? k ? ? ak ?1 xn? k , n ? 1, 2,3,? .
k ?1 k ?0

2008

2007

2 2、 (2009 一试 10)已知 p , q ? q ? 0? 是实数,方程 x2 ? px ? q ? 0 有两个实根 ? , ? ,数 列 ?an ? 满足 a1 ? p , a2 ? p2 ? q , an ? pan?1 ? qan?2 ? n ? 3 , 4, ?? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式(用 ? , ? 表示) ;(Ⅱ)若 p ? 1 , q ?

1 ,求 ?an ? 的前 n 项和. 4

23、 (2010 二试 3)给定整数 n ? 2 ,设正实数 a1 , a2 , ?, an 满足 ak ? 1, k ? 1, 2, ?, n ,记

Ak ?
求证:

a1 ? a2 ? ? ? ak , k ? 1, 2, ? , n . k

? ak ? ? Ak ?
k ?1 k ?1

n

n

n ?1 . 2
(2t n ?1 ? 3)a n ? 2(t ? 1)t n ? 1 (n ? N * ) . a n ? 2t n ? 1

24、 (2011 一试 10)已知数列 {a n } 满足: a1 ? 2t ? 3 (t ? R 且 t ? ?1) ,
a n ?1 ?

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若 t ? 0 ,试比较 a n ?1 与 a n 的大小.
3 3 3 (a1 ? a2 ? ?? an )2 ? a1 ? a2 ? ?? an (1)当 n ? 3 时,求所有满足条件的三项组成的数列 a1 , a2 , a3 ;

25、 (2012一试10)已知数列 ?an ? 的各项均为非零实数,且对于任意的正整数 n ,都有

(2)是否存在满足条件的无穷数列 {an } ,使得 a2013 ? ?2012? 若存在, 求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由.

1 1 ? ? ? ,n是正整数.证明:对满足 0 ? a ? b ? 1 的任 2 n 意实数 a , b ,数列 {Sn ? [ Sn ]} 中有无穷多项属于 ( a, b) .这里, [ x ] 表示不超过实数x的最
26、(2012 二试 4)设 Sn ? 1 ? 大整数.


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