当前位置:首页 >> 数学 >>

平面向量复习课


平面向量复习课
复习大纲: 一、 基本概念 二、 基本运算 三、 两个等价条件 四、 一个基本定理 五、 应用举例

一、 基本概念 1. 向量、向量的模及向量的表示方法. (1)向量:既有大小又有方向的量称为向量. (2)向量的模:向量的长度 (3)向量的表示: ① 图形表示:
B

?

a

A
? ?

② 字母表示: a ? AB 向量的模: | a |?| AB | ③ 坐标表示: AB ? ( x B ? x A,y B ? y A ) 2. 零向量及其特殊性 (1)零向量模长为 0,方向任意 (2) 0 // a
? ? ? ?

?

?

?

(3) 0 ? 0 , ? 0 ? 0 (4) 0 ? a ? a ? 0
? ? ? ?

?

?

(5) ? 0 ? 0

?

?

?

0 ?a ? 0

?

3. 单位向量:模长等于一个单位长度的向量. 4. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 5. 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 6. 相反向量:长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.
? (? a ) ? a
? ?

?

?

?

a ? (? a ) ? 0

?

?

7. 两个非零向量 a 与 b 的夹角 ? : ? ? [0, ? ] 首要的是通过向量平移,使两个向量共起点.

例 1 如图所示,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,分别写出 OA 、OB 、OC 的共线向量,并指出哪些向量与其相等.
F E

?

?

?

A

O

D

B

C

首要的是通过向量平移,使两个向量共起点. 二、 基本运算(向量途径) 1. 向量加法的平行四边形法则(共起点) 2. 向量加法的三角形法则(首尾相接) 3. 向量减法的三角形法则 4. 实数与向量的积 ? a 是一个向量 (1)当 a ? 0 时,长度 | ? a |?| ? | ? | a | ,方向: 当 ? ? 0 时, ? a 与 a 同向; 当 ? ? 0 时, ? a 与 a 反向; 当 ? ? 0 时, ? a 方向任意;
? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

(2)当 a ? 0 时,则对于任意的实数 ? ,都有 ? a ? 0 例 2 如图,填空.
D O A B
? ?

?

?

?

?

C

(1) AD? AB ? _____ (3) AC ? CD ? DO ? _____ (5) AC ? BA ? DA ? _____
? ? ? ? ? ?

(2) AB? AD ? _____ (4) BC ? BA ? AD ? ____ (6) OD ? OA ? AB ? ____
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

例 3 已知□ ABCD 的两条对角线相交于点 O,设 AB ? a , AD ? b .试用 a ,
?

b 表示 AC 、 BD 、 OC .
D O A B C

?

?

?

练习
1. 如图所示,平行四边形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 交于 O 点,线段 AO 上 有一点 M 满足 AO ? 3 AM ,线段 OD 上有一点 N 满足 OD ? 3ON . 设 BC ? a ,
CD ? b ,试用 a , b 表示 MN .
A M O B C N D
? ? ? ? ? ? ?

5. 两个非零向量 a 与 b 的数量积
? ?

?

?

a? b ?| a | ? | b | c o ? s
?
? ?

?

?

? ?

几何意义: | b | cos? 叫做向量 b 在 a 方向上的投影
? ? ?

a? b |a|
?

例 4 已知两个单位向量 a 与 b 的夹角为 120 ? ,若 c ? 2 a ? b , d ? 3 b ? a ,试 求 c 与 d 的夹角的余弦值 二、基本运算(坐标途径) 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x 2 , y 2 ) ,则 (1) a ? b ? ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) (2) a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) (3) ? a ? (?x1 , ?y1 ) (4) a? b ? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 (5) | a |? a ? a ? x1 ? y1
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?

?

?

?

?

?

?

? ?

2

2

(6) cos? ?

a? b

| a || b |
?

?

?

?

x1 x2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ? x2 ? y 2
?

2

2

2

2
? ? ? ? ?

例 5 已知下向量 a ? (1,5) ,b ? (?3,2) , 求 (1)a ? b(2)| a |(3)cos ? a , b ? (4) a 在 b 方向上的投影.
? ?

三、两个等价条件 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x 2 , y 2 ) ,则 1. 若向量 a 和非零向量 b 平行,即 a // b ? 有唯一的实数 ? ,使 a ? ? b
? ? ? ? ? ?

?

?

? x1 y2 ? x2 y1 ? 0
2. 若非零向量 a 和非零向量 b 垂直,即 a ? b ? a ? b ? 0
? ? ? ?

?

?

? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0

例 6 平面内给定三个向量 a ? (3,2) , b ? (?1,2) , c ? (4,1) (1) 求满足 a ? m b ? n c 的实数 m , n ; (2) 若 ( a ? k c ) ? (2 b ? a ) ,求实数 k ; (3) 若 d 满足 (d ? c ) //( a ? b ) ,且 | d ? c |? 5 ,求 d .
? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

练习
2. 已知点 A(1,2) , B(2,3) , C (?2,5) ,求证: AB ? AC . 3. 已知 AB ? (2,5) 和向量 a ? (1, y) ,并且向量 AB // a ,求 a 的纵坐标 y . 4. 在直角坐标系 xoy 内,已知 A(?2,?3) , B(0,1) , C (2,5) ,求证 A , B , C 三 点共线.
? ?
? ? ?

?

?

四、一个基本定理 平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对 于这一平面内的任一个向量 a ,有且只有一对实数 ?1 , ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 , 我们把不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
? ?
?

?

?

?

?

?


相关文章:
高中数学平面向量复习课教案
高中数学平面向量复习课教案 - 《平面向量》复习课 【教学内容及解析】 本课时是人教社普通高中课程标准实验教科书 A 版必修(4)第二章《平面向量》的复习课。它...
平面向量复习课教案
平面向量复习课教案 - 平面向量复习课 一.考试要求: 1、理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念。 2、掌握向量的加法和减法。 3、掌握实数与...
2016年秋季学期新人教A版高中必修四第二章 平面向量复习课2
2016年秋季学期新人教A版高中必修四第二章 平面向量复习课2 - 《创新设计》图书 章末复习课 课时目标 1.掌握向量线性运算及其几何意义.2.理解共线向量的含义、...
高中数学第二章平面向量复习课(1)教案新人教A版必修4
高中数学第二章平面向量复习课(1)教案新人教A版必修4 - 第二章 平面向量复习课(一) 一、教学目标 1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量....
苏教版高一数学平面向量总复习题
苏教版高一数学平面向量总复习题 - 平面向量总复习题? 一、选择题 1.两个非零向量的模相等是两个向量相等的什么条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D...
高一数学-平面向量总复习题 精品
高一数学-平面向量总复习题 精品 - 附录五 平面向量总复习题 一、选择题 1.下列说法中正确的是( ) A.向量 a 与向量 b 共线,向量 b 与向量 c 共线,则...
高中数学 第二章 平面向量总复习题
高中数学 第二章 平面向量总复习题 - 平面向量总复习题? 一、选择题 1.两个非零向量的模相等是两个向量相等的什么条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要...
——高三数学复习课《平面向量的数量积》案例赏析
——高三数学复习课平面向量的数量积》案例赏析 - 循本索源 变中出彩 ——高三数学复习课平面向量的数量积》案例赏析 江苏省苏州第十中学 吴锷 在高三数学...
平面向量总复习题
平面向量总复习题 - 一、选择题 1.当|a|=|b|≠0 且 a、b 不共线时,a+b 与 a-b 的关系是 A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.相等 2 解析:∵(...
平面向量章末复习课2
平面向量章末复习课2 - 章末复习课 课时目标 1.掌握向量线性运算及其几何意义.2.理解共线向量的含义、几何表示及坐标表 示的条件.3.掌握数量积的含义、坐标...
更多相关标签: