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2015新课标2卷数学


2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 (新课标卷Ⅱ) 第Ⅰ卷
(1)已知集合 A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则 A∩B= (A) {-1,0} B {0,1} C {-1,0,1} D {0,1,2} (2)若 a 为实数,且(2+ai)(a-i)=-4i,则 a= (A) -1 B 0 C 1 D 2 3 根据

下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位万吨)柱形图以下结论中 不正确的是

(A)逐年比较,2008 年我国减少二氧化硫排放量的效果显著 B 2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4、已知等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3+a5=21,则 a3+a5+a7= (A)21 B42 C63 D84

1 ? log2 (2 ? x), x ? 1
5、设函数 f(x)=

2 x?`1 , x ? 1

则 f (?2) ? f (log2 12) ?

(A) 3

B 6

C 9

D 12

6、一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩 下 部 分 体 积 的 比 值 为

1

(A)

1 8
B

B

1 7
8 C

C

1 6

D

1 5
10

7、过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交 y 轴于 M,N 两点,则|MN|= (A) 2 6

4 6

D

8、右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术” ,执行 该程序框图,若输入的 a,b 分别为 14,18,则输出的 a=

(A)0

B2

C4

D14

9、 已知 A, B 是球 O 的球面上两点, <AOB=90 度, C 为该球面上的动点, 若三棱锥 O-ABC 的体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为 (A) 36 π B 64π C 144π D 256π 10、如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着 BC,CD 与 DA 运动,记<BOP=x.将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 X 的函数 f(x),则 y=f(x)的图像大

致为

2

11、 已知 A, B 为双曲线 E 的左右顶点,点 M 在 E 上,△ABC 为等腰三角形, 且顶点为 120 度,则 E 的离心率为 (A)

5

B 2

C

3

D

2

12. 、设函数 f / ( x) 为奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当 x>0 时, xf / ( x) ? f ( x) ? 0 , 则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是 (A) (-∞,-1)∪(0,1) B (-1,0)∪(1,+∞) ∪(1,+∞)

C (-∞,-1)∪(-1,0) D(0,1)

第Ⅱ卷
二、填空题(13)设向量 a,b 不平行,向量 ?a ? b与a ? 2b平行, 则实数 ? =

(14)若 X,Y 满足约束条件

x ? y ?1 ? 0 x ? 2 y ? 0 则 z=x+y 的最大值为 x ? 2y ? 0

(15) (a+x)(1+x) 的展开式中的 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a= (16)设 Sn 是数列 ?an

4

?的前 n 项和,且 a1= -1,

an?1 ? S n S n?1,则Sn ?

三. 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分角 BAC,三角形 ABD 的面积是三角形 ADC 面 积的 2 倍。

sin ? B (1)求 sin ? C

2 (2)若 AD=1,DC= 2 ,求 BD 和 AC 的长

18、某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 20 个客户, 得到用户对产品的满意度评分如下
3

A 地区

62

73

81

92

95

85

74

64

53

76

78 B 地区 73 93

86 83 48

95 62 65

66 51 81

97 91 74

78 46 56

88 53 54

82 73 76

76 64 65

89 82 79

(1) 根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意 度评分的平均值及分散程度。 (不要求计算出具体值,给出结论即可)

(2) 根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记事件 C: “A 地区用户的满意度等级高于 B 地区的用户的满意度等级” 。假设两地区用户 的评价结果相互独立。根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概率。

(19) 如图, 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=16, BC=10, AA1=8, 点 E, F 分别在 A1B1, D1C1 上,A1E=D1F=4,过点 E,F 的平面 a 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。

(1) 在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由) (2) 求直线 AF 与平面 a 所成角的正弦值。

20、已知椭圆 C:9x ? y ? m (m ? 0), 直线l不过原点 l与C有 o且不平行于坐标轴。
2 2 2

4

两个交点 A,B,线段 AB 的重点为 M。 (1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (2)若 l 过点 (

m ,m) , 延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能, 3

求此时 l 的斜率;若不能说明理由?

21、设函数 f(x)= e

mx

? x 2 ? m x.

(1)证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增; (2)若对于任意 x1 , x2 ? ?? 1,1?, 都有f ( x1 ? f ( x2 ) ? e ? 1, 求 m 的取值范围。 22.(本小题满分 10)选修 4—1:几何证明选讲 如图 o 为等腰三角形 ABC 内一点,☉o 与三角形 ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边 上的高 AD 交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点。

(1)证明:EF∥BC; (2)若 AG 等于☉O 的半径,且AE=MN= 2 3 ,求四边形EBCF的面积。 23. (本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程

? x ? t cos a; (t为参数,t ? 0), ? 在直角坐标系xoy中,曲线C1: ? y ? t sin a. 其中 0 ? a ? ? ,在

以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:

y ? 2 sin ? , c3 : ? ? 2 3 cos? .

(1)求c1与c2交点的直角坐标; (2)若c1与c2相交与点A,c1与c2相交与点B求|AB|的最大值。 24. (本小题满分 10)选修 4-5:不等式选讲 设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明: (1)若ab>cd,则 a ? b ? (2) a ? b ?

c? d;

c ? d 是|a-b|>|c-d|的充要条件。
5


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