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复数的几何意义


3.1.2复数的几何意义

课前复习
1. 对 虚数单位i 的规定 ① i 2=-1; ②可以与实数一起进行四则运算,并且加、乘运算律不变. 2. 复数z=a+bi(其中a、b?R)中a叫z 的 实部、 b叫z的 虚部 . ?a ? 0 ? z为实数? b=0 、z为纯虚数? ? b ? 0 .
练习:把下列运算的结果都化为 a+bi(a、b?R)的形式. 2 -i = ;-2i = ;5= ;0=



3. a=0是z=a+bi(a、b?R)为纯虚数的 必要但不充分 条件.

想一想 练一练

4.已知x、y?R, (1)若(2x-1)+i=y-(3-y)i ,则x= 2.5、 y= 4 ; (2) 若(3x-4)+(2y+3)i=0,则x= 4/3 、y= -3/2 . 特别地,a+bi=0? a=b=0 .

实数的几何意义
在几何上, 我们用什么 来表示实数? 实数可以用数轴 上的点来表示。
一一对应

实数 (数 )

数轴上的点 (形 )
类比实数的 表示,可以 用什么来表 示复数?

想 一 想 ?

回 忆

复数的 一般形 式?

Z=a+bi(a, b∈R)
实部!
虚部!



一个复数 由什么唯 一确定?

思考1 : 复数与点的对应 Y
(1) 2+5i ;
(2) -3+2i; (3) 2-4i; (4) -3-5i; (5) 5;

O 5



(6) -3i;

X

6 4



思考2:点与复数的对应(每个小正方格的边长为1) Y
G

A C F O E

X

D H

B

复数的几何意义(一)
有序实数对(a,b) 复数z=a+bi (数) z=a+bi Z(a,b)
a
b
一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b) (形) 建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)
x

y

o

x轴------实轴 y轴------虚轴

例1.辨析: 1.下列命题中的假命题是(D) (A)在复平面内,对应于实数的点都在实 轴上; (B)在复平面内,对应于纯虚数的点都在 虚轴上; (C)在复平面内,实轴上的点所对应的复 数都是实数; (D)在复平面内,虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。

2.“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是纯 A 虚数”的( )。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件 3.“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对 C 应的点在虚轴上”的( )。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件

例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限,求实数m允许的取值范围。

? ?3? m ? 2 ?m 2 ? m ? 6 ? 0 得? 解:由? 2 ?m ? ?2 或 m ? 1 ?m ? m ? 2 ? 0

? m ? (?3,?2) ? (1,2)

表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想:数形结合思想

变式一:已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内 所对应的点在直线x-2y+4=0上,求实数m的值。

解:∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面 内所对应的点是(m2+m-6,m2+m-2), ∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0, ∴m=1或m=-2。

例2

已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i

变式二:证明对一切m,此复数所对应的点不可能 位于第四象限。

证明:若复数所对应的点位于第四象限, ?m 2 ? m ? 6 ? 0 ?m ? ?3或m ? 2 则? 2 即? ?m ? m ? 2 ? 0 ? ?2 ? m ? 1
不等式解集为空集

所以复数所对应的点不可能位于第四象限.

小结

复数的几何意义(二)
复数z=a+bi
一一对应 一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应

平面向量 z=a+bi Z(a,b)
a

OZ
y b

o

x
小结

复数的绝对值 (复数的模) 的几何意义:

对应平面向量 OZ 的模| OZ |,即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离。
z =a +b i Z (a,b)
O

y

x
2

| z | = | OZ | ? a ? b
2

小结

实数绝对值的几何意义: 复数的模 的几何意义: 复数 z=a+bi在复平 实数a在数轴上所 对应的点 A 到原点 O 的 面上对应的点Z(a,b)到 原点的距离 . 距离. a

A |a| = |OA|

O

x

z=a+bi Z(a,b)

y

?a(a ≥ 0) ?? ? ?a(a ? 0)

O
|z|=|OZ|?
2

x

a ?b

2

复数的模其实是实数绝对值概念的推广

例3 求下列复数的模:
(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0) 思考: (1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个? (2)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个? 这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形?
小结

y

满足|z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形? –5 设z=x+yi(x,y∈R)
| z |? x ? y ? 5
2 2

5

5 O x

–5

图形: 以原点为圆心, 半径为5的圆

满足3<|z|<5(z∈C) 的复数z对应的点在复 平面上将构成怎样的图 形?
–5 –3

5

y

3
O
5

3

5 x

设z=x+yi(x,y∈R)

3? x ? y ?5
2 2

9 ? x ? y ? 25
2 2

–3
–5

图形: 以原点为圆心, 半径3至5的圆环内

已知复数m=2-3i,若复数z满足等式
|z-m|=1,则z所对应的点的集合是什么 图形?

以点(2, -3)为圆心,1为半径的圆.

例4、设复数z=x+yi,(x,y∈R),在下列条件

下求动点Z(x,y)的轨迹.

1.|z-2|=1 2.|z-i|+|z+i|=4

3.|z-2|=|z+4|

小结:

复数的几何意 义是什么?

复数的几何意义
复数z=a+bi
一一对应

一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应

平面向量

OZ
复数还有哪 些特征能和 平面向量类 比?

比 一 比 ?

作业与思考题
? 一、作业 ? 课本P106 (4)、(5)、(6) ? 二、思考题 ? 1 、 如 果 复 数 z 满 足 |z+i|+|z-i|=2 , 那 么 |z+i+1|的最小值是___________ ? 2、在复平面上的复数z=(a2-2a+4)-(a22a+2)i (a∈R)求复数z对应点的轨迹方程。


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