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陕西省合阳中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


合阳中学 2015 级高一期中考试数学试题
一、选择题(12×5 分=60 分) 1、 设全集 U= {a, b, c, d , e} , 集合 A = {a, b, c, d} , B = {c, d , e} , 则集合 CU ( A ? B) ?( A. {d} B. { a ,b} C. {b ,c ,d} D. ) D. ( ) {a,b , e} )

/>
2、函数 f ( x ) 与函数 y ? log 2 x 互为反函数,则 f ( x) ? ( A. 2 x B. x
2

C. 2

x

1 2

x

3、已知集合 P={ x 0 ? x ? 4 },Q={ y 0 ? y ? 2 },下列不表示从 P 到 Q 的映射是( A.f∶x→y=



1 x 2

B. f∶x→y=

1 x 3

C.f∶x→y=

2 x 3

D. f∶x→y= x ( )

4、已知函数 f ( x ) 的定义域是(0,1),那么 f (2 x ? 1) 的定义域是 A.(-∞,0) B.(0,

1 ) 2

C.(

1 ,1) 2

D.(1,+∞)

5、函数 f ( x) ? 4 x2 ? mx ? 5 在区间(-∞,-2)上是递减,在区间 [?2, ??) 上递增,则 f (1) ? ( ) A.-7

B.1 )

C.17

D.25

6、计算 log9 2 ? log8 27 =( A

1 1 3 2 B C D 3 2 2 3 0.9 7、已知 a ? log 0.7 0.8 , b ? log1.1 0.9 , c ? 1.1 ,则 a, b, c 的大小关系是(
A. a ? b ? c B. a ? c ? b ) C. b ? a ? c

)

D. c ? a ? b

2x ? 1 8、函数 y ? x 是( 2 ?1

A.奇函数且是增函数 B.偶函数且是增函数 C. 奇函数且是减函数 D. 偶函数且是减函数 9、已知幂函数 f ( x ) 的图像过点 ?

?1 2? ?2, 2 ? ? ,则 log2 f (2) ? ( ? ?

)

A.

1 2

B. -

1 2

C.2

D.-2

10 、已知函数 f ( x) ? 2loga ( x ?1)(a ? 0且a ? 1)恒过点(m, n) , 则在直角坐标系中 , 函数

g(x) ? (

1 x ?1 ) 的大致图像为 ( m?n

).

11、方程 x ln x ? 2 ? 0 的解所在的区间是( A. (1, 2) B. (2,3)

) C. (3, 4) D. (4, 5)

?a x , x ? 0 12 、 已 知 函 数 f ( x) ? ? , 满 足 对 任 意 x1 ? x2 , 都 有 ?(a ? 3) x ? 4a, x ? 0
( x1 ? x2 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 成立,则实数 a 的取值范围(
A. ). D. ( ,1)

1 (0, ] 4

B .(1,2]

C. (1,3)

1 2

二、填空题(4×5 分=20 分) 13、函数 y ? a x ( a ? 0且a ? 1 )在 [0,1] 上的最大值与最小值的和为 3,则 a ? 14、若函数 f ( x ?1) ? x2 ? x ,则函数 f ( x) ? 15、 若2x ? 2? x ? 3, 则4x ? 4? x ? . . .

16、对于函数 f ( x ) ,设 k ? 0 ,当 x ? [a,b] 时,其值域为 [ka, kb] ,称区间 [ a, b] 为函数 f ( x ) 的 k 倍值区间.下列函数存在 5 倍值区间的是: ① f ( x) ? 5x ? 1 ;② f ( x) ? ? 三、解答题 17、 (10 分)已知二次函数 f ( x) ? ?2 x ? 3x ? 1 .
2

.(填序号)

1 2 x ? 2 x ;③ f ( x) ? x3 ;④ f ( x) ? 2x ;⑤ f ( x) ? lg x 2

(1)将函数 f ( x ) 配方成顶点式,并指出其对称轴方程; (2)求 f ( x ) 在 [0,1] 上的最小值.

18、 (12 分) 已知全集 U ? R , 集合 A ? {x (1)若 a ? 1,求 A ? B及A ? (CU B) .
2

2a ?1 ? x ? a ? 2, a ? R}, B ? {x ?1 ? x ? 4}.
(2)若 A ?

B ,求实数 a 的取值范围.

19、 (12 分)设函数 f ( x) ? log2 (4x ? x ? 3) . (1)求函数 f ( x ) 的定义域; (2)求 f ( x ) 的单调区间; (3)求 f ( x ) 的最大值,并求出取得最大值时的 x 的值 .

20、 (12 分)研究表明:提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情 况下,大桥上的车流速度 v (单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数,当桥上

的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 v( x) ? 0 ;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时;当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v( x) 是车流密度 x 的一 次函数. (1)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v( x) 的表达式. (2)设车流量 f ( x) ? v( x) ? x ,求当车流密度 为多少时,车流量最大?

21、 (12 分)设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? x 2 ? 2x ? 2 . (1)求 f ( x ) 在 R 上的解析式; (2)设 g (x) ? f (2 x) ?2 m ?1( m ? R) ,若对任意 x ? R ,都有

g ( x) ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

22、 (12 分)已知函数 f ( x ) 的定义域为 R,对定义域内任意的 x , y 都有

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且当 x ? 0 时,有 f ( x) ? 0 .
() ? a x? 1( 0 ?a 1 ) ? (1) 求证:f ( x ) 是奇函数; (2) 求证:f ( x ) 在定义域上单调递增; (3) 设 gx
2



且关于 x 的方程 f [ g ( x) ? mg ( x) ?1] ? f [mg ( x) ? m ? 2] ? 0(m ? R) 有三个不等实根,求实数

m 的取值范围.

合阳中学 2015 级高一期中考试数学试题标准答案
一、选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 C
2

4 C

5 D

6 B

7 C

8 A

9 A

10 B

11 B

12 A

二填空题 13、 2 14、 x ? 3x ? 2 15、 7 16、 ②③④

三、解答题 17、 (1) f ( x) ? ?2 x ? 3 x ? 1 ? ?2( x ? ) ?
2 2

3 4

17 8

对称轴: x ?

3 4

(2) f ( x)min ? 1 18、 (1) A ? B ? [?1, 4]

A ? (CU B) ? ?
所以 a ? 3 满足条件; 所以 0 ? a ? 2

(2)当 A ? ? 时,有 2a ? 1 ? a ? 2

? 2a ? 1 ? a ? 2 ? 当 A ? ? 时,有 ? 2a ? 1 ? ?1 ?a ? 2 ? 4 ?

综上 a ?[0, 2] ? (3, ??) 19、 (1)定义域为 (1,3) (2)增区间 (1, 2) 减区间 (2,3) (3) f ( x)max ? f (2) ? 0

20、 (1)由题意,得当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b.
?200a+b=0 ? 由已知? ?20a+b=60 ?

?a=-3 ,解得? 200 ?b= 3

1 ,

60, 0≤x≤20 ? ? 故函数 v(x)的表达式为 v(x)=?1 ?3?200-x?, 20<x≤200 ?

?60 x, 0 ? x ? 20 ? (2) f ( x) ? v( x) ? x ? ? 1 10000 ? ( x ? 100)2 ? , 20 ? x ? 200 ? 3 ? 3 10000 所以 f ( x) max ? f (100) ? 3 2 ?? x ? 2 x ? 2, ( x ? 0) ? 21、 (1) f ( x) ? ?0, ( x ? 0) ? x 2 ? 2 x ? 2, ( x ? 0) ?
(2)由题意有 g ( x) ? (2x )2 ? 2x?1 ? 2m ? 1 ? 0 恒成立 设 t ? 2x , t ? 0

t2 1 ? t ? (t ? 0) 恒成立 2 2 则 m ?[0, ??)
所以 m ? ? 所以 f (? x) ? ? f ( x) 则 f ( x ) 是奇函数

而y??

t2 1 1 ? t ? ? ? (t ? 1)2 ? 0 2 2 2

22、 (1)令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? 0 , 令 y ? ? x ,得 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ? 0

(2)任取 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 ,有 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) 因为 x1 ? x2 ,所以 x2 ? x1 ? 0 ,则 f ( x2 ? x1 ) ? 0 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0
2

即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

则 f ( x ) 在定义域上单调递增。 (3)由题知 f [ g ( x) ? 2mg ( x) ? m ? 1] ? f (0) 因为 f ( x ) 在定义域上是单调函数
2

所以 g ( x) ? 2mg ( x) ? m ? 1 ? 0
2

即 g ( x) ? 2mg ( x) ? m ? 1 ? 0 有三个解 令 t ? g ( x) ,设方程 t ? 2mt ? m ? 1 ? 0 两根为 t1 , t( 2 t1 ? t2 )
2

则 t1 ? 0,0 ? t2 ? 1或 0 ? t1 ? 1, t2 ? 1或 0 ? t1 ? 1, t2 ? 1 所以

①当 t1 ? 0 时,有 m ? 1 ? 0 ,得 m ? ?1 ,所以 t2 ? 2 ,不满足题意; ②当 t2 ? 1时,有 3m ? 2 ? 0 ,得 m ? ? ③当 0 ? t1 ? 1, t2 ? 1时,有 ? 综上, m ? (?1, ? ] .

2 1 ,所以 t1 ? , ,满足题意; 3 3

?m ? 1 ? 0 2 ,所以 ?1 ? m ? ? 3 ?3m ? 2 ? 0

2 3


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