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2015-2016学年江西省新余四中、宜春中学联考高二(下)5月月考数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学年江西省新余四中、宜春中学联考高二(下)5 月 月考数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的). 1. B={x|﹣1<x<3. x∈N}, 已知集合 A={x|x2﹣5x<0}, 则集合 A∩B 的子集个数为 ( ) A.8 B.4 C.3 D.2 2.等差数列{a

n}的前 n 项和为 Sn,若 S5=32,则 a3=( ) A. B.2 C. D. )

3.已知复数 A.4 B.6

(i 是虚数单位) ,它的实部和虚部的和是( C.2 ﹣ D.3 =1(a>0,b>0)的离心率 e=

4.双曲线 C:

,则它的渐近线方程为(



A.y=± x B.y=± x C.y=± x D.y=± x 5.在△ABC 中,已知 A=30°,a=8,b= ,则△ABC 的面积为( A. B.16 C. 或 16 D. 或 6. = 已知函数 f (x) )

若f (2﹣x2) >f (x) , 则实数 x 的取值范围是 (



A. (﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) B. (﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) C. (﹣1,2) 2,1) 7.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为(

D. (﹣ )

A.7

B.9

C.10

D.11 ,

8. 2) = 周期为 4 的 R 上的奇函数 f (x) 在 (0, 上的解析式为 f (x) 则 f 等于( ) A.﹣3 B.﹣2 C.﹣1 D.0 9.能够把椭圆 C: +

=1 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数 f(x)称为椭圆 )

C 的“亲和函数”,下列函数是椭圆 C 的“亲和函数”的是( A.f(x)=x3+x2 B.f(x)=ln

C.f(x)=sinx+cosx D.f(x)=ex+e﹣x
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10.已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,A、B 为抛物线上两点,若 则△AOB 的面积为( ) A. B. C. D.

,O 为坐标原点,

11.已知点 P 在直线 x+3y﹣2=0 上,点 Q 在直线 x+3y+6=0 上,线段 PQ 的中点为 M(x0, y0) ,且 y0<x0+2,则 A.[﹣ ,0) 的取值范围是( )

B. (﹣ ,0)

C. (﹣ ,+∞) D. (﹣∞,﹣ )∪(0,+∞)

12.定义在(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f(x)>0,且 2f(x)<xf′(x)<3f(x)对 x ∈(0,+∞)恒成立,其中 f′(x)为 f(x)的导函数,则( ) A. < < B. < < C. < < D. < <

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分). 13.直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点 A(1,3) ,则 b 的值为 14.已知函数 f(x)=



(a>0,a≠1) ,bn=f(n) (n∈N*) ,{bn}是递

减数列,则 a 的取值范围 . 15.已知实数 a,b,c,d 满足(a﹣lnb)2+(c﹣d)2=0,则(a﹣c)2+(b﹣d)2 的最小值 为 . 16.已知正数 x,y 满足 xy≤1,则 M= + 的最小值为 .

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17.已知函数 f(x)=|x﹣l|+|x﹣3|. (I)解不等式 f(x)≤6; (Ⅱ)若不等式 f(x)≥ax﹣1 对任意 x∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围. ,曲线 C 的极坐标方程(1+sin2θ)ρ2=2.

18.直线 l 的参数方程为

(1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于两点 A、B,若点 P 为(1,0) ,求 19.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a4=5,S9=54. (1)求数列{an}的通项公式与 Sn; (2)若 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和. sinωx+cos?x)cosωx﹣ (x∈R,ω>0) .若 f(x)的最小正周 + .

20.已知函数 f(x)=( 期为 4π.

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(1)求 f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c 满足(2a﹣c)cosB=bcosC,求函数 f(A)的取值范围. 21.已知椭圆 C: 的焦距为 2 ,长轴长是短轴长的 2 倍.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)斜率为 k 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点,其中 A 点为椭圆的左顶点,若椭圆的上顶点 P 始终在以 AB 为直径的圆内,求实数 k 的取值范围. 22.已知函数 f(x)=x2﹣2ax+2lnx, (1)若曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与直线 y=2x+4 平行,试求实数 a 的值; (2)若函数 f(x)在定义域上为增函数,试求实数 a 的取值范围; (3)若 y=f(x)有两个极值点 x1,x2,且 x1<x2,a≥ .若不等式 f(x1)≥mx2 恒成立, 试求实数 m 的取值范围.

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2015-2016 学年江西省新余四中、 宜春中学联考高二 (下) 5 月月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的). 1. B={x|﹣1<x<3. x∈N}, 已知集合 A={x|x2﹣5x<0}, 则集合 A∩B 的子集个数为 ( ) A.8 B.4 C.3 D.2 【考点】子集与真子集. 【分析】由题意和交集的运算求出 A∩B,利用结论求出集合 A∩B 的子集的个数. 【解答】解:集合 A={x|x2﹣5x<0}=(0,5) ,B={x|﹣1<x<3.x∈N}={0,1,2}, ∴A∩B={1,2}, ∴集合 A∩B 的子集个数为 22=4, 故选:B. 2.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S5=32,则 a3=( A. B.2 C. D. )

【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】根据等差数列的性质,S5=5a3,即可得出. 【解答】解:根据等差数列的性质,S5=5a3, ∴ 故选:A. .

3.已知复数 A.4 B.6

(i 是虚数单位) ,它的实部和虚部的和是( C.2 D.3



【考点】复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的除法法则,把分子、分母分别乘以分母的共轭复数即可得到. 【解答】解:∵ = = = ,

∴它的实部和虚部的和= 故选 C.

=2.

4.双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的离心率 e=

,则它的渐近线方程为(



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A.y=± x B.y=± x C.y=± x D.y=± x 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】利用双曲线的离心率求出双曲线的渐近线中 a,b 的关系,即可得到渐近线方程. 【解答】解:双曲线 C: ﹣ =1(a>0,b>0)的离心率 e= ,

可得

,∴



可得

, .

双曲线的渐近线方程为:y=± 故选:A.

5.在△ABC 中,已知 A=30°,a=8,b= ,则△ABC 的面积为( A. B.16 C. 或 16 D. 或 【考点】三角形中的几何计算. 【分析】由已知中,在△ABC 中,已知 A=30°,a=8,b= c 的值,代入 S△ABC= ?bc?sinA,即可求出△ABC 的面积. 【解答】解:∵在△ABC 中,已知 A=30°,a=8,b= 由余弦定理 cosA= 得: ,



,由余弦定理,我们可以求出

cos30°=

=

解得:c=16 或 c=8 又∵S△ABC= ?bc?sinA ∴S△ABC=32 故选 D. ,或 S△ABC=16

6. = 已知函数 f (x)

若f (2﹣x2) >f (x) , 则实数 x 的取值范围是 (



A. (﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) B. (﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) C. (﹣1,2) 2,1)

D. (﹣

【考点】函数单调性的性质. 【分析】由 x=0 时分段函数两个表达式对应的函数值相等,可得函数图象是一条连续的曲 线.结合对数函数和幂函数 f(x)=x3 的单调性,可得函数 f(x)是定义在 R 上的增函数, 由此将原不等式化简为 2﹣x2>x,不难解出实数 x 的取值范围.
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【解答】解:∵当 x=0 时,两个表达式对应的函数值都为零 ∴函数的图象是一条连续的曲线 ∵当 x≤0 时,函数 f(x)=x3 为增函数;当 x>0 时,f(x)=ln(x+1)也是增函数 ∴函数 f(x)是定义在 R 上的增函数 因此,不等式 f(2﹣x2)>f(x)等价于 2﹣x2>x, 即 x2+x﹣2<0,解之得﹣2<x<1, 故选 D 7.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为( )

A.7

B.9

C.10

D.11

【考点】程序框图. 【分析】 算法的功能是求 S=0+lg +lg +lg +…+lg 的值, 根据条件确定跳出循环的 i 值. 的值,

【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求 S=0+lg +lg +lg +…+lg ∵S=lg +lg +…+lg =lg >﹣1,而 S=lg +lg +…+lg ∴跳出循环的 i 值为 9, ∴输出 i=9. 故选:B =lg <﹣1,

8. 2) = 周期为 4 的 R 上的奇函数 f (x) 在 (0, 上的解析式为 f (x) 则 f 等于( ) A.﹣3 B.﹣2 C.﹣1 D.0 【考点】分段函数的应用;函数的值. 【分析】利用函数的奇偶性以及函数的周期性,通过分段函数化简求解即可. 【解答】解:周期为 4 的 R 上的奇函数 f(x)在(0,2)上的解析式为 f(x) = ,



f(﹣2)=f(4﹣2)=f(2) ,f(﹣2)=﹣f(2) ,可得 f(2)=0. 则 f=f+f=f(2)+f(﹣1)=0﹣f(1)=﹣(1+1)=﹣2. 故选:B.

9.能够把椭圆 C:

+

=1 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数 f(x)称为椭圆 )

C 的“亲和函数”,下列函数是椭圆 C 的“亲和函数”的是(
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A.f(x)=x3+x2 B.f(x)=ln

C.f(x)=sinx+cosx D.f(x)=ex+e﹣x

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】关于原点对称的函数都可以等分椭圆面积,验证哪个函数不是奇函数即可. 【解答】解:∵f(x)=x3+x2 不是奇函数, ∴f(x)=x3+x2 的图象不关于原点对称, ∴f(x)=x3+x2 不是椭圆的“亲和函数”; ∵f(x)=ln ∴f(x)=ln ∴f(x)=ln 是奇函数, 的图象关于原点对称, 是椭圆的“亲和函数”;

∵f(x)=sinx+cosx 不是奇函数, ∴f(x)=sinx+cosx 的图象不关于原点对称, ∴f(x)=sinx+cosx 不是椭圆的“亲和函数”; ∵f(x)=ex+e﹣x 不是奇函数, ∴f(x)=ex+e﹣x 的图象关于原点不对称, ∴f(x)=ex+e﹣x 不是椭圆的“亲和函数”. 故选:B. 10.已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,A、B 为抛物线上两点,若 则△AOB 的面积为( ) A. B. C. D. ,O 为坐标原点,

【考点】抛物线的简单性质. 【分析】根据抛物线的定义,不难求出,|AB|=2|AE|,由抛物线的对称性,不妨设直线的 斜率为正,所以直线 AB 的倾斜角为 60°,可得直线 AB 的方程,与抛物线的方程联立,求 出 A,B 的坐标,即可求出△AOB 的面积. 【解答】解:如图所示,根据抛物线的定义,不难求出,|AB|=2|AE|,由抛物线的对称性, 不妨设直线的斜率为正,所以直线 AB 的倾斜角为 60°,直线 AB 的方程为 , 联立直线 AB 与抛物线的方程可得: ,解之得: ,



所以



而原点到直线 AB 的距离为 所以 故应选 C.

, ,当直线 AB 的倾斜角为 120°时,同理可求.

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11.已知点 P 在直线 x+3y﹣2=0 上,点 Q 在直线 x+3y+6=0 上,线段 PQ 的中点为 M(x0, y0) ,且 y0<x0+2,则 A.[﹣ ,0) 的取值范围是( )

B. (﹣ ,0)

C. (﹣ ,+∞) D. (﹣∞,﹣ )∪(0,+∞)

【考点】直线的斜率. 【分析】由题意可得,线段 PQ 的中点为 M(x0,y0)到两直线的距离相等,利用 ,可得 x0+3y0+2=0.

又 y0<x0+2,设

=kOM,分类讨论:当点位于线段 AB(不包括端点)时,当点位于射线

BM(不包括端点 B)时,即可得出. 【解答】解:∵点 P 在直线 x+3y﹣2=0 上,点 Q 在直线 x+3y+6=0 上,线段 PQ 的中点为 M (x0,y0) , ∴ 又 y0<x0+2, 设 =kOM, ,化为 x0+3y0+2=0.

当点位于线段 AB(不包括端点)时,则 kOM>0,当点位于射线 BM(不包括端点 B)时, kOM<﹣ . 的取值范围是(﹣∞,﹣ )∪(0,+∞) .



故选:D.

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12.定义在(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f(x)>0,且 2f(x)<xf′(x)<3f(x)对 x ∈(0,+∞)恒成立,其中 f′(x)为 f(x)的导函数,则( ) A. < < B. < < C. < < D. < <

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】分别构造函数 g(x)= 用导数研究其单调性即可得出. 【解答】解:令 g(x)= ,x∈(0,+∞) , ,x∈(0,+∞) ,h(x)= ,x∈(0,+∞) ,利

g′(x)=



∵? x∈(0,+∞) ,2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立, ∴f(x)>0, 0< ,

∴g′(x)>0, ∴函数 g(x)在 x∈(0,+∞)上单调递增, ∴ < ,∴ < .

令 h(x)=

,x∈(0,+∞) ,

h′(x)=



∵? x∈(0,+∞) ,2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立, ∴h′(x)= <0,

∴函数 h(x)在 x∈(0,+∞)上单调递减, ∴ > ,∴ < .

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综上可得: < 故选:B.

< ,

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分). 13.直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点 A(1,3) ,则 b 的值为 3 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】由于切点在直线与曲线上,将切点的坐标代入两个方程,得到关于 a,b,k 的方 程,再求出在点(1,3)处的切线的斜率的值,即利用导数求出在 x=1 处的导函数值,结 合导数的几何意义求出切线的斜率, 再列出一个等式, 最后解方程组即可得. 从而问题解决. 【解答】解:∵直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点 A(1,3) , ∴ …①

又∵y=x3+ax+b, ∴y'=3x2+ax,当 x=1 时,y'=3+a 得切线的斜率为 3+a,所以 k=3+a;…② ∴由①②得:b=3. 故答案为:3.

14.已知函数 f(x)=

(a>0,a≠1) ,bn=f(n) (n∈N*) ,{bn}是递

减数列,则 a 的取值范围 ( ,1) . 【考点】数列与函数的综合. 【分析】根据题意,讨论 n 的值,利用{bn}是单调减数列,列出关于 a 的不等式,求出解集 即可. 【解答】解:∵函数函数 f(x)= 且 bn=f(n) (n∈N*) ,{bn}是递减数列; ∴当 n≤7 时,bn=(a﹣1)n+4; ∴a﹣1<0, 解得 a<1, 此时最小项为 b7=7(a﹣1)+4=7a﹣3; 当 n>7 时,bn=2an﹣6; ∴0<a<1, 此时最大项为 b8=2a2; ∴b7>b8, 即 7a﹣3>2a2, 解得 <a<3, 综上,实数 a 的取值范围是( ,1) . (a>0,a≠1) ,

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故答案为: ( ,1) . 15.已知实数 a,b,c,d 满足(a﹣lnb)2+(c﹣d)2=0,则(a﹣c)2+(b﹣d)2 的最小值 为 .

【考点】函数的最值及其几何意义. 【分析】实数 a,b,c,d 满足(a﹣lnb)2+(c﹣d)2=0,可得 a=lnb,c=d.令 y=f(x)=lnx, y=g(x)=x,转化为求上述两曲线之间的最小距离,设直线 y=x+m 与曲线 f(x)=lnx 相切 于点 P(x0,y0) .利用导数的几何意义求出切点,进而得出. 【解答】解:实数 a,b,c,d 满足(a﹣lnb)2+(c﹣d)2=0,∴a=lnb,c=d. 令 y=f(x)=lnx,y=g(x)=x, 设直线 y=x+m 与曲线 f(x)=lnx 相切于点 P(x0,y0) . f′(x)= ,∴ =1,解得 x0=1,可得 P(1,0) ,

代入切线方程可得:0=1+m,解得 m=﹣1. 则两条平行线 y=x,y=x﹣1 的距离 d= .

∴(a﹣c)2+(b﹣d)2 的最小值为 d2= . 故答案为: .

16.已知正数 x,y 满足 xy≤1,则 M= 【考点】基本不等式. 【分析】由条件可得 0<x≤ ,即有 M≥ 运用基本不等式即可得到所求最小值.

+

的最小值为 2

﹣2



+

=1﹣

=1﹣



【解答】解:由正数 x,y 满足 xy≤1,可得 0<x≤ ,

则 M=

+



+

=

+

=1﹣

+

=1﹣

=1﹣

≥1﹣

=1﹣ 当且仅当 y=

=2

﹣2. ,x= 时,取得最小值 2 ﹣2.

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故答案为:2

﹣2.

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17.已知函数 f(x)=|x﹣l|+|x﹣3|. (I)解不等式 f(x)≤6; (Ⅱ)若不等式 f(x)≥ax﹣1 对任意 x∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法;分段函数的应用. 【分析】 (I)把不等式 f(x)≤6 等价转化为与之等价的三个不等式组,求出每个不等式组 的解集,再取并集,即得所求. (Ⅱ) 由题意可得函数 f (x) 的图象不能在 y=ax﹣1 的图象的下方, 数形结合求得 a 的范围.

【解答】解:函数 f(x)=|x﹣l|+|x﹣3|=

的图象如图所示,

(I)不等式 f(x)≤6,即

①或

②,或

③.

解①求得 x∈?,解②求得 3<x≤5,解③求得﹣1≤x≤3. 综上可得,原不等式的解集为[﹣1,5]. (Ⅱ)若不等式 f(x)≥ax﹣1 对任意 x∈R 恒成立,则函数 f(x)的图象 不能在 y=ax﹣1 的图象的下方. 如图所示: 由于图中两题射线的斜率分别为﹣2,2,点 B(3,2) , ∴3a﹣1≤2,且 a≥﹣2,求得﹣2≤a≤1.

18.直线 l 的参数方程为

,曲线 C 的极坐标方程(1+sin2θ)ρ2=2.

(1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 直角坐标方程;
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(2)设直线 l 与曲线 C 相交于两点 A、B,若点 P 为(1,0) ,求 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.

+



【分析】 (I)由直线 l 的参数方程为

,消去 t 即可得出,由曲线 C 的极坐标方程

(1+sin2θ)ρ2=2,利用 ρ2=x2+y2,

即可得出.

(II)将直线 l 的参数方程代入曲线 C:x2+2y2=2,得 7t2+4t﹣4=0.设 A、B 两点在直线 l 中对应的参数分别为 t1、t2,利用根与系数的关系、参数的意义即可得出. 【解答】解: (I)由直线 l 的参数方程为 ,消去 t 可得 l: ,

由曲线 C 的极坐标方程(1+sin2θ)ρ2=2,可得 x2+y2+y2=2. 即 .

(II)将直线 l 的参数方程代入曲线 C:x2+2y2=2,得 7t2+4t﹣4=0. 设 A、B 两点在直线 l 中对应的参数分别为 t1、t2, 则 , .









19.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a4=5,S9=54. (1)求数列{an}的通项公式与 Sn; (2)若 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和.

【考点】数列的求和;等差数列的前 n 项和. 【分析】 (1)设等差数列{an}的公差为 d,利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可 得出. (2)bn= = ,利用“裂项求和”即可得出.

【解答】解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,∵a4=5,S9=54, ∴ ,d=1,a1=2.

∴an=2+n﹣1=n+1,

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Sn= (2)bn=

. = + + ﹣ ﹣ . , + + +…+

数列{bn}的前 n 项和= + = = ﹣ ﹣ +

20.已知函数 f(x)=(

sinωx+cos?x)cosωx﹣ (x∈R,ω>0) .若 f(x)的最小正周

期为 4π. (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c 满足(2a﹣c)cosB=bcosC,求函数 f(A)的取值范围. 【考点】两角和与差的正弦函数;三角函数中的恒等变换应用. 【分析】 (1)通过两角和公式把 f(x)化简成 f(x)=sin(2ωx+ ) ,通过已知的最小正

周期求出 ω,得到 f(x)的解析式.再通过正弦函数的单调性求出答案. (2)根据正弦定理及(2a﹣c)cosB=bcosC,求出 cosB,进而求出 B.得到 A 的范围.把 A 代入 f(x)根据正弦函数的单调性,求出函数 f(A)的取值范围. 【解答】解: (1) ∵ ∴ ∴ , , ; , ,

∴f(x)的单调递增区间为 (2)∵(2a﹣c)cosB=bcosC ∴2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC, 2sinAcosB=sin(B+C)=sinA, ∴ ∵ ∴ .
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,∴ , ,∴

21.已知椭圆 C:

的焦距为 2

,长轴长是短轴长的 2 倍.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)斜率为 k 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点,其中 A 点为椭圆的左顶点,若椭圆的上顶点 P 始终在以 AB 为直径的圆内,求实数 k 的取值范围. 【考点】椭圆的简单性质.

【分析】 (Ⅰ)根据椭圆的几何性质,列出方程组

,求出 a、b 的值即可;

(Ⅱ)写出直线 l 的方程,与椭圆方程联立,求出点 B 的坐标,利用 P 在以 AB 为直径的圆 ? <0,求出 k 的取值范围. 内,

【解答】解: (Ⅰ)根据题意,得



解得 a=2,b=1; ∴椭圆的标准方程为 +y2=1;

(Ⅱ)由(Ⅰ)及题意,知顶点 A 为(﹣2,0) , ∴直线 l 的方程为 y=k(x+2) ,

与椭圆方程联立,得



消去 y,得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2﹣4)=0; 设点 B 为(x0,y0) ,则 x0﹣2=﹣ ,

∴x0=

,y0=



又椭圆的上顶点 P 在以 AB 为直径的圆内, ∴∠APB 为钝角,即 ? <0; ∵P(0,1) ,A(﹣2,0) ,B( , ) ,



=(﹣2,﹣1) ,

=(



) ;

第 15 页(共 18 页)



+

<0,

即 20k2﹣4k﹣3<0,解得 k∈(﹣

, ) .

22.已知函数 f(x)=x2﹣2ax+2lnx, (1)若曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与直线 y=2x+4 平行,试求实数 a 的值; (2)若函数 f(x)在定义域上为增函数,试求实数 a 的取值范围; (3)若 y=f(x)有两个极值点 x1,x2,且 x1<x2,a≥ .若不等式 f(x1)≥mx2 恒成立, 试求实数 m 的取值范围. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)求当 a=1 时,函数的导数,求得切线的斜率,由两直线平行的条件:斜率相等, 解方程可得 a; (2)求得导数,由题意可得 f′(x)=2x﹣2a+ ≥0 在 x>0 恒成立,即有 a≤x+ 的最小值, 运用基本不等式可得最小值,即可得到 a 的范围; (3)函数 f(x)在(0,+∞)上有两个极值点,方程 x2﹣ax+1=0 有两个不等的正根,求得 两根,求得范围;不等式 f(x1)≥mx2 恒成立即为 2ax12+2x1lnx1=﹣x13﹣2x1+2x1lnx1, 设 h(x)=﹣x3﹣2x+2xlnx(0<x≤ ) ,求出导数,判断单调性,即可得到 h(x)的最小 值,即可求得 m 的范围. 【解答】解: (1)因为 f(x)=x2﹣2ax+2lnx, 所以 f′(x)=2x﹣2a+ . 因为在 x=1 处的切线与直线 y=2x+4 平行, 所以 2﹣2a+2=2,解得 a=1; (2)函数 f(x)在定义域上为增函数, 即为 f′(x)=2x﹣2a+ ≥0 在 x>0 恒成立, 即有 a≤x+ 的最小值,由 x+ ≥2,当且仅当 x=1 时,取得最小值 2, 则有 a≤2; (3)函数 f(x)的导数为 f′(x)=2x﹣2a+ , 函数 f(x)有两个极值点 x1,x2,即方程 x2﹣ax+1=0 有两个不等的正根, 由 a≥ ,可得判别式△=a2﹣4>0. 因为 x2﹣ax+1=0, ≥m,求得 =x13﹣

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所以 x1x2=1,x1+x2=a,x1= 因为 a≥ ,所以 0<x1≤ ,

,x2=

≥2.

因为

=x1f(x1)=x13﹣2ax12+2x1lnx1=﹣x13﹣2x1+2x1lnx1,

设 h(x)=﹣x3﹣2x+2xlnx(0<x≤ ) , 则 h′(x)=﹣3x2﹣2+2+2lnx=﹣3x2+2lnx, 因为 0<x< ,则 lnx<0, h'(x)<0? h(x)在(0, ]上单调递减, 则 h(x)≥h( )=﹣ln2﹣ . 所以 m<﹣ln2﹣ .

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2016 年 10 月 24 日

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