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等比数列前n项和公式


等比数列前 n 项和公式 1.求数列 1,2,22,23,?,2n,?的前 n 项和 Sn.. 解:Sn=1+2+22+?+2n① 两边同乘以公比 2 得: 2Sn=2+22+23+?+2n+1②
(两个等式的右边除首项与末项不同外,其余各项均相同). ②-①得:Sn=2n 1-1.


2. 求公比为 q(q≠1)的等比数列{an}的前

n 项和 Sn。 解: Sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn-1,③

qSn=a1q+a1q2+a1q3+?+a1qn,④ ④-③得:(q-1)Sn=a1(qn-1), a1?1-qn? 由 q≠1 得 Sn= . 1-q 一.等比数列的前 n 项和公式 ? ?na1?q=1 n ①Sn=?a1?1-q ? ? 1-q ?q≠1?



?na1?q=1? Sn=?a1-qan ? 1-q ?q≠1?

题型一:等比数列前 n 项和公式的基本运算 例1. 已知等比数列{an}中,

(1).a1=2,S3=6,求 a3 和 q. (2)若 Sn=189,q=2,an=96,求 a1 和 n;
(1)【错解】 由等比数列的前 n 项和公式得: a1?1-q3? 2?1-q3? S3= = =6, 1-q 1-q ∴q=-2,∴a3=a1q2=2×(-2)2=8, 所以 q=-2,a3=8. 【错因分析】 此求解过程中,由于没有讨论公比 q 是否为 1,就直接使用了等比数列 a1?1-qn? 的前 n 项和公式 Sn= ,从而导致漏解. 1-q 【防范措施】 在求等比数列前 n 项和 Sn 时,如果不明确 q 的具体情况,不能直接套 用前 n 项和公式,要记住对 q=1 和 q≠1 进行讨论. 【正解】 若 q=1,则 S3=3a1=6,符合题意. 此时,q=1,a3=a1=2.

若 q≠1,则由等比数列的前 n 项和公式, a1?1-q3? 2?1-q3? 得 S3= = =6, 1-q 1-q 解得 q=1(舍去)或 q=-2. 此时,a3=a1q =2×(-2) =8. 综上所述,q=1,a3=2 或 q=-2,a3=8.
2 2

(2)解:

a1?1-qn? (1)由 Sn= ,an=a1qn-1 得 1-q
n

-2 ? ?189=a1?11- , 2 ? ?96=a1· 2n 1 , ②




由②得,a1· 2n=192,代入① ∴a1=3. 96 又∵2n-1= 3 =32, ∴n=6.
a1-anq a1?1-qn? = (q≠1)为等比数列的求和公式,其中涉及 a1,an,Sn,n,q 1-q 1-q

1.Sn=

五个量,通常已知其中三个,即可求另外两个,方法是解方程组. 2.当已知首项 a1、公比 q 及项数 n 时,用公式 Sn= an 及公比 q 时,用公式 Sn= a1?1-qn? ;当已知首项 a1、末项 1-q

a1-anq .另外在这两个公式中强调公式 q≠1,若公比 q=1,则数 1-q

列为非零常数列, 因此在进行等比数列的前 n 项求和计算时需要对公比 q 是否为 1 进行讨论.

练习:(1)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a2=6,6a1+a3=30.求 an 和 Sn. 7 63 (2)在等比数列{an}中,S3=2,S6= 2 ,求 an. 【解】 (1)设{an}的公比为 q,由题设得

?a1q=6, ? 2 ?6a1+a1q =30. ?a1=3, ?a1=2, 解得? 或? ?q=2, ?q=3.

当 a1=3,q=2 时,an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1); 当 a1=2,q=3 时,an=2×3n-1,Sn=3n-1. (2)设等比数列的公比为 q.由已知 S6≠2S3,则 q≠1. 7 63 又 S3=2,S6= 2 , a1?1-q ? 7 ? ? 1-q =2, 得? a1?1-q6? 63 ? ? 1-q = 2 .
3

① ②

②÷ ①,得 1+q3=9,∴q=2. 1 将 q=2 代入①,解得 a1=2. 因此 an=a1qn-1=2n-2. 等比数列前 n 项和公式的实际应用 某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,据规划, 1 本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上一年减少5,本年度当地旅游业收入 估计为 400 万元, 由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每 1 年会比上一年增长4. 求 n 年内的总投入与 n 年内旅游业的总收入. 【思路探究】 (1)每年的投入怎样表示?每年的投入能否构成一个等比数列?几年内
的总投入怎样表示? (2)每年的旅游收入是多少?n 年内的总收入呢? 1? 【自主解答】 第 1 年投入 800 万元,第 2 年投入 800×? ?1-5?万元,

??
1?n-1 第 n 年投入 800×? ?1-5? 万元. 1? ∴每年的投入构成首项为 800,公比为? ?1-5?的等比数列. 1? ? 1?n-1 ? ?4?n? 故 n 年内的总投入为 Sn=800+800×? ?1-5?+?+800×?1-5? =4 000×?1-?5? ?. 第 1 年旅游业的收入为 400 万元, 1? 第 2 年旅游业的收入为 400×? ?1+4?万元,

?? 1?n-1 第 n 年旅游业的收入为 400×? ?1+4? 万元, 1? ∴每年的旅游收入构成首项为 400,公比为? ?1+4?的等比数列. 1? ? 1?n-1 所以 n 年内旅游业的总收入为 Tn=400+400×? ?1+4?+?+400×?1+4?

?5?n ? =1 600×? ??4? -1?.
1.本题涉及两个等比数列,即每年的资金投入是一个等比数列,每年的旅游业收入是 一个等比数列. 2.解数列应用题的具体方法步骤 (1)认真审题,准确理解题意,达到如下要求: ①明确问题属于哪类应用问题, 即明确是等差数列问题还是等比数列问题, 还是含有递 推关系的数列问题?是求 an,还是求 Sn?特别要注意准确弄清项数是多少. ②弄清题目中主要的已知事项. (2)抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参数变量,将文字语言翻译成 数学语言,将数量关系用数学式子表达. (3)将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求联系起来,列出满足题意的数学关系式.

在一次人才招聘会上,A、B 两家公司分别开出了工资标准:

A 公司 第一年月工资为 1 500 元, 以后每 一年月工资比上一年月工资增加 230 元.

B 公司 第一年月工资为 2 000 元, 以后每一年月工资 比上一年月工资增加 5%.

大学生王明被 A、B 两家公司同时录取,而王明只想选择一家连续工作 10 年,经过一 番思考,他选择了 A 公司,你知道为什么吗? 【解】 A 公司 王明的选择 过程 第 n 年月工资为 an 首项为 1 500, 公差 为 230 的等差数列 an=230n+1 270 B 公司 第 n 年月工资为 bn 首项为 2 000,公比 为 1+5%的等比数列 an=2 000(1+5%)n
-1

S10=12(a1+a2+?+a10) =12×[10×1 500+ 10×?10-1? ×230] 2 =304 200 因此,王明选择 A 公司.

S10=12(b1+b2+?+b10) 2 000?1-1.0510? =12× 1-1.05 ≈301 869

题型二. 错位相减法求数列的前 n 项和 例 3. (2012· 天津高考)已知{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,{bn}是等比数列,且 a1

=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)记 Tn=a1b1+a2b2+?+anbn,n∈N*,证明 Tn-8=an-1bn+1(n∈N*,n≥2). 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q, 由 a1=b1=2,得 a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.由条件,
?2+3d+2q3=27, ?d=3, ? ? 得方程组? 解得? 3 ?8+6d-2q =10, ?q=2. ? ?

所以 an=3n-1,bn=2n,n∈N* (2)证明:由(1)得 Tn=2×2+5×22+8×23+?+(3n-1)×2n,① 2Tn=2×22+5×23+?+(3n-4)×2n+(3n-1)×2n 1.②


由①-②,得 -Tn=2×2+3×22+3×23+?+3×2n-(3n-1)×2n =
+1

6×?1-2n? + + -(3n-1)×2n 1-2=-(3n-4)×2n 1-8, 1-2


∴Tn=(3n-4)×2n 1+8 ∴Tn-8=(3n-4)×2n 1.


而当 n≥2 时,an-1bn+1=(3n-4)×2n 1,


所以 Tn-8=an-1bn+1,n∈N*,n≥2.

1.一般地,若数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列且公比为 q,求数列{anbn}的前 n 项和时,可采用错位相减法. 2.运用等比数列前 n 项和公式时,必须注意公比 q 是否为 1.若不能确定公比 q 是否为 1,应分类讨论. 3.在写 Sn 和 qSn 表达式时,应特别注意“错项对齐”,以便于下一步准确写出 Sn.

练习:设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 a1≠0,2an-a1=S1· Sn,n∈N*. (1)求 a1,a2,并求数列{an}的通项公式; (2)求数列{nan}的前 n 项和. 【解】
2 (1)令 n=1,得 2a1-a1=a1 ,即 a1=a2 1.

因为 a1≠0,所以 a1=1. 令 n=2,得 2a2-1=S2=1+a2,解得 a2=2. 当 n≥2 时,由 2an-1=Sn,2an-1-1=Sn-1 两式相减,得 2an-2an-1=an,即 an=2an-1. 于是数列{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列. 因此,an=2n 1.所以数列{an}的通项公式为 an=2n 1.
- -

(2)由(1)知,nan=n· 2n 1.记数列{n· 2n 1}的前 n 项和为 Bn,
- -

于是 Bn=1+2×2+3×22+?+n×2n 1,①


2Bn=1×2+2×22+3×23+?+n×2n.② ①-②,得-Bn=1+2+22+?+2n 1-n· 2n


=2n-1-n· 2n.从而 Bn=1+(n-1)· 2n. 【答案】 6

设数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 bn=2-2Sn,数列{an}为等差数列,且 a5= 14,a7=20. (1)求数列{bn}的通项公式; 7 (2)若 cn=an· bn,n=1,2,3,?,Tn 为数列{cn}的前 n 项和,求证 Tn<2. 【思路探究】 【自主解答】 2 以 b1=3. 2 b2=2-2(b1+b2),则 b2=9. bn 当 n≥2 时,由 bn=2-2Sn,可得 bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1)=-2bn,即 = bn-1 1 3, 利用递推关系式及等比数列的定义证明. (1)由 bn=2-2Sn,令 n=1,则 b1=2-2S1,又 S1=b1,所

2 1 1 所以{bn}是以 b1=3为首项,3为公比的等比数列,于是 bn=2· 3n. 1 (2)由数列{an}为等差数列,a5=14,a7=20,可得公差 d=2(a7-a5)=3, 可得 an=3n-1. 1 从而 cn=an· bn=2(3n-1)· 3n, 1 1 1? ? 1 +5· ∴Tn=2?2· 2+8· 3+?+?3n-1?· n? 3 3 3 3 ? ? 7 7 1 n 7 =2-2· n- n-1< . 3 3 2

已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且 a1=3,a3=9. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证 【解】 1 1 1 + +?+ <1. a2-a1 a3-a2 an+1-an (1)设等差数列{log2(an-1)}的公差为 d,

由 a1=3,a3=9,得 2(log22+d)=log22+log28, ∴d=1. ∴log2(an-1)=1+(n-1)×1=n,即 an=2n+1. (2)证明 ∵ 1 1 1 = n+1 n=2n, an+1-an 2 -2

1 1 1 - n× 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 ∴ + +?+ = 21 + 22 + 23 + ? + 2n = = 1 - 2n 1 a2-a1 a3-a2 an+1-an 1-2 <1.


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