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河北省枣强中学2015-2016学年高二数学上学期第一次月考试题 文


河北枣强中学高二上学期第一次月考数学(文)
一 .选择题 1.问题:①某地区 10000 名中小学生,其中高中生 2000 名,初中生 4500 名,小学生 3500 名,现从中抽取容量为 200 的样本;②从 1002 件同一生产线生产的产品中抽取 20 件产品进 行质量检查.方法:Ⅰ、随机抽样法 Ⅱ、分层抽样法 III、系统抽样法.其中问题与方法配对 较适宜的是(

A. ①Ⅰ,②Ⅱ ) B.①III,②Ⅰ C.①Ⅱ,②III D.①III,②Ⅱ

2.如图给出的是计算

1 1 1 1 ? ? ??? 的值的一个程序框图,则判断框内应填入的条 2 4 6 2014

件是 A. i ? 1006 B. i ? 1007 C. i ? 1007 D. i ? 1006

3.从 1008 名学生中抽取 20 人参加义务劳动.规定采用下列方法选取:先用简单随机抽样的 方法从 1008 人中剔除 8 人,剩下 1000 人再按系统抽样的方法抽取,那么这 1008 人中每个人 入选的概率是( ) A.都相等且等于 B.都相等且等于 C.不全相等 D.均不相等
2

4.某公司 10 位员工的月工资(单位:元)为 x1,x2,''',x10 ,其均值和方差分别为 x 和 s , 若从下月起每位员工的月工资增加 100 元,则这个 10 位员工下月工资的均值和方差分别为 ( )
2 2

A. x ,s +100

B. x +100, s +100
2

2

C. x ,s

2

D. x +100, s

2

5.下列四个命题:

-1-

①对立事件一定是互斥事件;②若 A,B 为两个事件,则 P(A∪B)=P(A)+P(B); ③若事件 A,B,C 两两互斥,则 P(A)+P(B)+P(C)=1; ④若事件 A,B 满足 P(A)+P(B)=1,则 A,B 是对立事件. 其中错误命题的个数是( (A)0 (B)1 (C)2 ) (D)3

6. 下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤) ^ 的几组对应数据, 根据表中提供的数据, 求出 y 关于 x 的线性回归方程为y=0.7x+0.35, 那么表 中 m 值为 x y A.4 3 2.5 4 m B.3.15
2

5 4

6 4.5 C.4. 5
2

D.3 )

7.若直线 x ? y ? a ? 1被圆 ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 4 所截得的弦长为 2 2 ,则 a ? ( (A) 1 或 5 ( B) ? 1 或 5 (C) 1 或 ? 5 (D) ? 1 或 ? 5

8.将一个棱长为 4 cm 的立方体表面涂上红色后,再均匀分割成棱长为 1 cm 的小正方体.从 涂有红色面的小正方体 中随机取出一个小正方体,则这个小正方体表面的红色面积不少于 .......... 2 cm 的概率是 A.
2

4 7

B.

1 2

C.

3 7

D.

1 7
) D. ?0,

9.直线 xsin α +y+2=0 的倾斜角的取值范围是( A. ?0, ? ? B. ?0,

? ? ? ? 3? ? ? ,? ? ? 4? ? ? ? 4 ?
2 2 2

C. ? 0,

? ?? ? 4? ?

? ? ? ?? ? ? ,? ? ? ?? 2 ? ? 4?

10.点 M ( x0 , y0 ) 是圆 x ? y ? a (a ? 0) 内异于圆心的点,则直线 xx0 ? yy0 ? a 2 与该圆 的位置关系是( A.相切 ) B.相交 C.相离 D.相切或相交
?

11.如图所示,一游泳者自游泳池边 AB 上的 D 点,沿 DC 方向游了 10 米, ?CDB ? 60 , 然后任意选择一个方向并沿此方向继续游,则他再游不超过 10 米就能够回到游泳池 AB 边的 概率是

-2-

A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2


12.直线 y ? x ? b 与曲线 x ? 1 ? y 2 有且只有一个交点,则 b 的取值范围是 ( A. b ? 2
2

B. ? 1 ? b ? 1 或 b ? ? 2
2

C. ? 1 ? b ? 1 或 b ? ? 2

D. ? 1 ? b ? 1 .

13. 已知圆 O: x +y =4, 则过点 P (1, - 3 ) 与圆 O 相切的切线的方程为 14.一个四棱锥的三视图如图所示,那么这个四棱锥最长棱的棱长为_____.

?x ? y ? 1 ? 2 2 15 .已知点 P ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 , O 为坐标原点,则 x ? y 的最小值为 ?2 x ? y ? 2 ?
_______________. 16 . 在 数 列 ?an ? 中 , 已 知 a1 ? 1 , an ?1 ? ?

1 , 记 Sn 为 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 , 则 an ? 1

S2015 ?



17. (12 分)在 ?ABC 中,已知 3 tan A tan B ? 3 ? tan A ? tan B ,记角 A,B,C 的对 边依次为 a , b, c . (1)求角 C 的大小;
2 2 (2)若 c ? 2 ,且 ?ABC 是锐角三角形,求 a ? b 的取值范围.

18.已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , S7 ? 70 且 a1 , a2 , a6 成等比数列。
-3-

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

2 S n ? 48 ,数列 {bn } 的最小项是第几项,并求出该项的值. n

19.高二某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部都介于 13 秒到 18 秒之间,将测试结果 按如下方式分成五组,第一组,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (1)若成绩大于等于 14 秒且小于 16 秒规定为良好,求该班在这次百米测试中成绩为良好的 人数. (2)请根据频率分布直方图,估计样本数据的众数和中位数(精确到 0.01) .

13,14? ? ?17,18? , 求 事 件 (3) 设 m, n 表 示 该 班 两 个 学 生 的 百 米 测 试 成 绩 , 已 知 m, n ? ?

m ? n ? 2 的概率.

P

D A B

C

? 20 . (本题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90 ,

AP ? BP ? AB , PC ? AC .

(Ⅰ)求证: PC ? AB ; (Ⅱ)求点 C 到平面 APB 的距离. 21. (本小题满分 12 分)已知集合 A=,B=,设 M={(x,y)|x∈A ,y∈B},在集合 M 内随 机取出一个元素(x,y) . (1)求以(x,y)为坐标的点落在圆 x +y =1 内的概率; (2)求以(x,y)为坐标的点到直线 x+y=0 的距离不大于 22.已知曲线 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0
2 2
2 2

2 的概率. 2

(1)当 m 为何值时,曲线 C 表示圆;

-4-

(2)在(1)的条件下,若曲线 C 与直线 3 x ? 4 y ? 6 ? 0 交于 M、N 两点,且 MN ? 2 3 , 求 m 的值. (3)在(1)的条件下,设直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 C 交于 A , B 两点,是否存在实数 m ,使 得以 AB 为直径的圆过原点,若存在,求出实数 m 的值;若不存在,请说明理由.

-5-

1.C2.B.3.B4.D5.D6.D7.A8.A9.B10.C11.A12.B 13. x ? 3 y ? 4 ? 0 【解析】 试 题 分 析 : 点 P 在 圆 上 , kOP ? ? 3 , 所 以 切 线 斜 率 为 k ?

1 ,因此切线方程为 3

y? 3 ?

1 ? x ? 1? ,整理得? x ? 3 y ? 4 ? 0 3

考点:圆的切线方程 14. 2 2 【解析】 试题分析:根据三视图画出此四棱锥的直观图:

其中 PA ? 底面 ABCD ,根据此四棱锥的特征可知,最长棱可能为 PC 或 PD , 因为

PC ? PA2 ? AC 2 ? 6, PD ? PA2 ? AD2 ? 2 2 ,所以最长棱为 PD ,长度为 2 2 .
考点:空间几何体的三视图. 15.

1 2

【解析】

?x ? y ? 1 ? 试题分析:将约 束条件 ? x ? y ? ?1 中任意俩条件进行联立,若想满足三个不等式,则解出 ?2 x ? y ? 2 ?
y=

1 1 2 1 2 1 1 5 2 2 ,将 y 值带入不等式,解出 ? x ? ,所以 x ? y 的最小值为 ( ) ? ( ) ? 。 2 2 2 2 2 4

考点:函数不等式 16. ?1006 【解析】
-6-

试题分析: a1 ? 1 , an ?1 ? ?

1 1 ? a2 ? ? , a3 ? ?2, a4 ? 1 所以周期为 3, 2 an ? 1

S2015 ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? 671? a1 ? a2 ? 1006
考点:1.数列周期性;2.数列分组求和 17. (1) 【解析】 试题分析: (1)根据两角和的正切公式化简为 tan( A ? B) ? ? 3 ,再根据 A ? B ? C ? 1800 , 化简求角; (2) 第一步, 根据正弦定理, a
?

? ? 20 ? ; (2) ? , 8 3 ? 3 ? ?

sin A

2 b c , 将边化为角, 再将 B ? ? ? A , ? 3 sin B sin C

第二步,根据二倍角的降幂公式进行化简,展开合并同类项,化简为 y ? A sin ??x ? ? ? ? B ; 第三步,根据锐角三角形,求角的范围,再求值域. 试题解析: (1)依题意: tan A ? tan B ? ? 3 ,即 tan( A ? B) ? ? 3 ,又 0 ? A ? B ? ? ,
1 ? tan A tan B



A? B ?

2? ,∴ 3

C ?? ? A? B ?
?

?
3
?

, 由正弦定理得 a
b c 得 ? sin B sin C

A ? ,即 ? ? (2)由三角形是锐角三角形可得 ? ? ? A? 2 ? ?B ? ? ? ? 2
6

2

sin A

?

a?

c 4 ? sin A ? sin A , b ? 4 sin B ? 4 sin( 2? ? A) sin C 3 3 3 3

a2 ? b2 ?
?

16 2 [sin 2 A ? sin 2 ( ? ? A)] 3 3

16 8 4? ? [cos 2 A ? cos( ? 2 A)] 3 3 3

?
?

16 8 1 3 16 8 1 3 ? ( cos 2 A ? sin 2 A) ? [cos 2 A ? (? ) cos 2 A ? (? )sin 2 A] = 3 3 2 2 3 3 2 2
16 8 ? ? sin(2 A ? ) ∵ 3 3 6

? ? ? A ? ,∴ 6 2
3

?
6

? 2A ?

?
6

?

5? , 6



1 ? ? sin(2 A ? )≤1 2 6

即 20 ? a 2 ? b 2 ≤8 .

考点:1.两角和的正切公式;2.正弦定理;3.三角函数的化简. 18. (1) an ? 3n ? 2 (2)最小项是第 4 项,其值为 23. 【解析】
-7-

试题分析: (1)借助于等差数列的通项公式和求和公式将已知条件 S7 ? 70 且 a1 , a2 , a6 成等比 数列转化为用首项和公差表示,解方程组解得基本量,从而得到数列的通项; (2)由求得的 基本量得到前 n 项和 Sn ,代入可整理出数列 {bn } 的通项,求通项最小值转化为以正整数 n 为 自变量的函数求最小值问题 试 题 解 析 : ( 1 ) ? S7 ? 70? a1 ? 3d ? 10 , a1 , a2 , a6 成 等 比 数 列 ,
2 ? a1a6 ? a2 ? a1 ? a1 ? 5d ? ? ? a1 ? d ? ,解方程组得 a1 ? 1, d ? 3? an ? 3n ? 2 2

(2) S n ?

3n2 ? n ? 48 48 48 (3n ? 1)n ? 3n ? ? 1 ? 2 3n ? ? 1 ? 23 , bn ? 2 n n n
48 ,即 n ? 4 时 bn 有最小值 23 . n

当且仅当 3n ?

故数列 {bn } 的最小项是第 4 项,其值为 23. 考点:1.等差数列的通项公式求和公式;2.函数求最值问题 19.(1)28 人; (2)众数为 15.5,中位数 15.74; (3) P m ? n ? 6 ? 【解析】 试题分析: (1)解决频率分布直方图的问题, 关键在于找出图中数据之间的关系, 这些数据中, 比较明显的有组距、

?

?

3 . 5

频率 ,间接的有频率,小长方形的面积,合理使用这些数据,再结合两 组距

个等量关系:小长方形的面积等于频率,小长方形的面积之和等于 1,因此频率之和为 1;(2) 最高矩形的底边的中点的横坐标即是众数,中位数左边和右边的小长方形的面积和相等的; (3)古典概型的概率问题,关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数,然 后利用古典概型的概率计算公式计算;当基本事件总数较少时,用列举法把所有的基本事件 一一列举出来,要做到不重不漏,有时可借助列表,树状图列举. 试题解析:解(1)根据直方图可知成绩在 ?14,16? 内的人数: 50 ? 0.18 ? 50 ? 0.38 ? 28 人 由图可知众数落在第三组 ?15,16? 是

15 ? 16 ? 15 .5 2

因为数据落在第一、二组的频率 ? 1? 0.04 ? 1? 0.08 ? 0.22 ? 0.5 数据落在第一、二、三组的频率 ? 1? 0.04 ? 1? 0.08 ? 1? 0.38 ? 0.6 ? 0.5 所以中位数一定落在第三组 ?15,16? 中.

-8-

假设中位数是 x ,所以 0.22 ? ?x ?15?? 0.38 ? 0.5 解得中位数 x ?

299 ? 15 .7368 ? 15.74 19

成绩在 ?13,14? 的人数有: 50 ? 0.04 ? 2 人,设为 a , b 成绩在 ?17,18? 的人数有: 50 ? 0.06 ? 3 人,设为 A, B, C

m, n ? ?13,14? 时有 ab 一种情况, m, n ? ?17,18? 时有 AB, AC, BC 三种情况
m, n 分布在 ?13,14? 和 ?17,18? 时有 aA, aB, aC, bA, bB, bC 六种情况,基本事件的总 数为 10
事件 m ? n ? 6 由 6 个基本事件组成. 所以 P m ? n ? 6 ?

?

?

6 3 ? . 10 5

考点: (1)频率分布直方图的认识;(2)求随机事件的概率. 20. (Ⅰ)见解 析 【解析】 试题分析:第一问根据空间垂直关系的转换,由线线垂直证线面垂直再转换出线线垂直,第 二问可以应用从点向面作垂线,垂足落在什么地方要注意,还可以应用等积法来求解. (Ⅱ)

2 3 3

试题解析: (Ⅰ)取 AB 中点 D ,连结 PD,CD .

? AP ? BP ,? PD ? AB .? AC ? BC ,

? CD ? AB .? PD ? CD ? D ,? AB ? 平面 PCD .

? PC ? 平面 PCD ,? PC ? AB .6 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 AB ? 平面 PCD ,

? 平面 APB ? 平面 PCD .
-9-

过 C 作 CH ? PD ,垂足为 H .

? 平面 APB ? 平面 PCD ? PD ,

? CH ? 平面 APB . ? CH 的长即为点 C 到平面 APB 的距离.
由(Ⅰ)知 PC ? AB ,又 PC ? AC ,且 AB ? AC ? A ,

? PC ? 平面 ABC . ? CD ? 平面 ABC , ? PC ? CD .在 Rt△PCD 中, CD ?
1 3 AB ? 2 , PD ? PB ? 6 , 2 2

? PC ? PD2 ? CD2 ? 2 . CH ?

PC ? CD 2 3 . ? PD 3

? 点 C 到平面 APB 的距离为

2 3 .12 分 3

考点:线面垂直的判定,线面垂直的性质,点到平面的距离. 21. (1)证明见解析; (2) sin ? ? 【解析】 试题分析: (1)由题可知,证明线面垂直常用的方法是通过证明一条直线与平面内两条相交 的直线垂直,则线面垂直,本题中,由于 FC ? 面ABCD, 则 FC ? DB ,又因为四边形 ABCD 是直角梯形,故 BD ? 平面BCF (2)有关于二面角的问题应该通过二面角的定义将二面角 准确的找出来, 本题中由于 EB ? BC , 又因为 DB ? BC, 所以 ? EBD 二面角 E ? BC ? D 的 平面角 ? ,通过三角函数可知, sin ? ?

3 ; (3)当 DP ? 1,MP//平面 BCE; 3

3 ; (3)证明线面平行通常采取 3 种方法,平行四 3

边形法,三角形中位线法,构造辅助平面法,本题中,由于 M 是 AD 的中点,故选取 BC 的中 点 N,由于 MN 是直角梯形的中位线,故选取 ED,EC 的四等分点 P,Q,通过平行四边形法即可 证明 MP//平面 BCE; 试题解析: (1) 且矩形 CDEF 中 FC ? DC, ? FC ? 面ABCD, FC ? DB ? 面 ABCD ? 面 CDEF, 在直角梯形 ABCD 中易得 DB ? BC, ? BD ? 平面BCF (3 分)

- 10 -

(2)? FC ? 面ABCD, ED//FC? ED ? 面ABCD 又 DB ? BC, ? EB ? BC ? ?EBD 二面角 E ? BC ? D 的平面角 ?

? sin ? ? sin ?EBD ?

DE 4 3 (7 分) ? ? BE 4 3 3

(3)猜想 DP ? 1。取 ED,EC 的四等分点 P,Q,使得 ED=4PD,EC=4QC,易得 PQ=MN,PQ//MN, 所以四边形 PQNM 为平行四边形。MP//平面 BCE(10 分)
E F

P D A M B N

Q C

考点:?线面平行的判定定理?线面垂直的判定定理?二面角的平面角的定义 22. (1) 【解析】 试题分析: (1)此题为几何概型,所以先画图像, M 表示 x ? ?2, x ? 2 ,和 y ? 1, y ? ?1 所
2 表示的矩形的面积,圆的面积用 S ? ?r ,然后两个面积相除,计算所求概率; (2)第一步,

? 1 ; (2) . 2 8

先求到直线 y ? ? x 距离为

2 的点组成的直线,并画图,第二步,求夹在两条直线之间在矩 2

形的面积,用阴影表示,最后,用阴影面积除以总面积. 试题解析:解: (1)集合 M 内的点形成的区域面积 S=8.因 x +y =1 的面积 S1=π ,故所求 概率为 P1 ?
2 2

S1 ? ? . S 8

(2)由题意

x? y 2

?

2 即-1≤x+y≤1,形成的区域如图中阴影部分,面积 S2=4,所求 2

概率为 P ?

S2 1 ? . S 2

- 11 -

考点:几何概型 23. (1) m ? 5 ; (2) m ? 1 ; (3)存在实数 m 使得以 AB 为直径的圆过原点, m ? ?2 . 【解析】 试题分析: ( 1 ) 二 元 二 次 方 程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表 示 圆 的 充 要 条 件 为

D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 (2) (2)直线和圆相交,根据半径,弦长的一半,圆心距求弦长.(3)圆

?l? 的弦长的常用求法: (1)几何法:求圆的半径 r ,弦心距 d ,弦长 l ,则 ? ? ? r 2 ? d 2 (2) ?2?
代 数 方 法 : 运 用 根 与
2

2





















AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ?x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ; (3)与圆有关的探索问题:第一步:假
设符合条件的结论存在;第二步:从假设出发,利用直线与圆的位置关系求解;第三步,确 定符合要求的结论存在或不存在;第四步:给出明确结果;第五步:反思回顾,查看关键点. 试题解析:解 : (1)由 D +E -4F=4+16-4m=20-4m>0,得 m<5. (2) x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 ,即 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 ? m ,
2 2 2 2
2 2

?

?

3分

所以圆心 C(1,2) ,半径 r ? 5 ? m ,

4分

? 圆心 C(1,2)到直线 3x ? 4 y ? 6 ? 0 的距离 d ?

3?8?6 32 ? 42

?1

5分

又 MN ? 2 3 ,?r 2 ? 12 ? ( 3)2 ? 4 ,即 5 ? m ? 4 ,? m ? 1 . 6 分 (3)假设存在实数 m 使得以 AB 为直径的圆过原点,则 OA ? OB ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 由? 7分
2 得 2 x ? 8x ? 5 ? m ? 0 ,

? x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 ? x ? y ?1 ? 0

8分

?? ? 64 ? 8(m ? 5) ? 24 ? 8m ? 0 ,即 m ? 3 ,又由(1)知 m ? 5 ,
- 12 -

故m?3

9分

x1 ? x2 ? 4, x1 x2 ?

m?5 2

10 分

? y1 y2 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ?
? x1 x2 ? y1 y2 ? m ? 5 m ?1 ? ? m?2?0 2 2

m?5 m ?1 ?3 ? 2 2

11 分

? m ? ?2 ? 3
故存在实数 m 使得以 AB 为直径的圆过原点, m ? ?2 .

12 分 13 分

考点: (1)二元二次方程表示圆的条件; (2)弦长公式的应用; (3)探索性问题.

- 13 -


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