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两个计数原理第二节

兆麟中学高二数学组

1.分类计数原理计算公式:N=m1+m2+…+mn. 分步计数原理计算公式:N=m1×m2×…×mn.

2.分类计数原理针对的是分类问题,每一种方法都能达到 完成这件事的目的 分步 ;分步计数原理针对的是 问题, 依次完成 各个步骤 才算完成这件事.

【例1】 (1)有5本书全部借给3名学生,有多少种 不同的借法?

(2)有3名学生分配到某工厂的5个车间去参加社
会实践,有多少种不同的分配方案?

【例2】 由1,2,3,4可以组成多少个自然数(数 字可以重复,最多只能是四位数)?

【练习 1】 从 1~20 共 20 个整数中任取两个相加,使其和 为偶数的不同取法共有多少种?
解 10×9 第一类: 两个偶数相加, 由分步乘法计数原理, 共有 2

=45(种)不同的取法; 10×9 第二类:两个奇数相加,由分步乘法计数原理,共有 = 2 45(种)不同的取法. 由分类加法计数原理得,共有 45+45=90(种)不同取法.

【练习2】

(1)4 名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每
人报一项,共有多少种报名方法? (2)4 名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军,共 有多少种可能的结果? 解 (1) 34=81 (2) 43=64





3、用0,1,2,……,9可以组成多少个无重复数字的4位奇数; 4、在所有的三位数中,有且只有两个数字相同的三位数共有多

少个?
5、若直线方程ax+by=0中的a,b,可以从0,1,2,3,5这5个数 中任取两个不同的数字,则方程所表示的不同直线共有多少 条. 6、从1到200的自然数中,有多少个个位数上不含有5的数。

7、用0,1,2,……,9可以组成多少个无重复数字的4位偶数;

例3用计数原理求72的正约数 (包括 1和 72) 共有多少个? 72 = 23×32 , ∴ 2m·3n(0≤m≤3,0≤n≤2 , m ,

n∈N) 都是 72 的正约数, m 的取法有 4 种, n
的取法有3种,共有4×3=12(种).

【例4】 用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色,规
定一个区域只涂一种颜色,相邻的区域颜色不同,问有多少种 不同的涂色方案?

A

B C

D

A

B

D

C

[规范解答]

第一步涂c有5种方法; 第二步涂B有4种方法;

第三步涂C有3种方法;
第四步涂D有3种方法, 则共有5×4×3×3=180(种)方法

【变式3】 将3种作物种植在如图所示的5块试验田里,每块种植一 种作物且相邻的试验田不能种植同一作物,则不同的种植方法 共有多少种(以数字作答)?



分别用 a,b,c 代表 3 种作物,先安排第一块试验田,

有 3 种方法,不妨设种 a,再安排第二块试验田种 b 或 c, 有 2 种方法,同理第三,四,五块试验田也有 2 种方法,

共有 3×2×2×2×2=48 种种法.

其 中 形 如 cacac,

ababa,

babab cbcbc

acaca,

bcbcb,

不满足条件的共有 3×2=6 种 故所求种法 48-6=42 种

分类标准不恰当致误

【示例】 有一个圆形区域被 3条直径分成6块(如图所示),在每一
块区域内种植植物,相邻的两块区域种植不同的植物,现有 4 种不同的植物选择,一共有________种不同的种植方法. [错解] A块地有4种种法,B,C,D,E都有3种种法,F有2种种 法,由分步乘法计数原理可知,一共有4×34×2=648(种)不同 的种法.

当 A 与 E 种植相同植物或不同植物时 F 的种法有区别, 不全是2种. [正解] 分3类考虑,第一类:A,C,E种同一种植物,有4种种法, 当A,C,E种好后,B,D,F从余下3种植物中选1种,各有3种种

法,一共有4×3×3×3=108(种)种法;
第二类:A,C,E种两种植物,有12种种法,当A,C种同一种植 物时,B有3种种法,D,F有2种种法,若C,E和E,A种同一种植 物,种法相同,因此,共有12×3×(3×2×2)=432(种)种法;

第三类:A,C,E种3种植物,有4×3×2=24(种)种法,这时B,
D , F 各有 2 种种法,一共有 24×23 = 192( 种 ) 种法.由分类加法计 数原理知,共有108+432+192=732(种)种法. 答案 732


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