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2016年竞赛与自主招生专题第四讲:函数的性质(教师版)


2016 年竞赛与自主招生专题第四讲 函数的性质 从 2015 年开始自主招生考试时间推后到高考后,政策刚出时,很多人认为, 是不是要在高考出分后再考自主招生,是否高考考完了,自主招生并不是失去其 意义。自主招生考察了这么多年,使用的题目的难度其实已经很稳定,这个题目 只有出到高考以上,竞赛以下,才能在这么多省份间拉开差距. 所以,笔试难度基本稳定,维持原自主招生难度,原来自主招生的真题竞赛 真题等,具有参考价值。 在近年自主招生试题中,有关函数的内容大约占 20%—30%。热点问题是方 程的根的问题、函数的最值问题(值域) 、函数的性质(如周期、有界性等)函 数的迭代、简单的函数方程、方程的不动点问题、 函数的图像及解析式等。而 其中特别注意的是,方程的根的问题是考得最多的一个问题。 一、知识精讲 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 D 1.单调性: (1)传统定义:在区间 [a,b] 上,若 a ? x1<x2 ? b ,如果 f ( x1 )<f ( x2 ) ,则 f ( x) 在区间 [a,b] 递增;如果 f ( x1 )>f ( x2 ) ,则 f ( x) 在区间 [a,b] 递减; (2)导数定义:在区间 [a,b] 上,如果 f ' ( x)>0 ,则 f ( x) 在区间 [a,b] 递增; 如果 f ' ( x)<0 ,则 f ( x) 在区间 [a,b] 递减; f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? >0 ? f ( x)在D上为增函数 ?①、 x ? x ? 1 2 注意: ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?②、 <0 ? f ( x)在D上为减函数 ? x1 ? x2 ? 3.复合函数的单调性: (1)增函数+增函数=增函数 增函数-减函数=增函数 (2)对于取值恒为非负数的函数 增函数×增函数=增函数 增函数÷减函数=增函数 减函数+减函数=减函数 减函数-增函数=减函数 减函数×减函数=减函数 减函数÷增函数=减函数 (3)若 f ( x) 、 g ( x) 都是增(减)函数,则 f ( g ( x)) 为增函数; 若 f ( x) 、 g ( x) 一个增函数,一个减函数,则 f ( g ( x)) 为减函数。简称“同 增异减” 3.奇偶性: (1)若函数 y ? f ( x) 满足 f (? x) ? ? f ( x) ( x ? D ) ,则 f ( x) 叫做奇函数,其图象 关于原点对称; (2)若函数 y ? f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x) ( x ? D ) ,则 f ( x) 叫做偶函数,其图象 关于 y 轴对称; 4.周期性: 在函数 f ( x) 的定义域上恒有 f ( x ? T ) ? f ( x) ( T ? 0 的常数) ,则 f ( x) 叫做周 期函数, T 为周期; T 的最小正值叫做 f ( x) 的最小正周期,简称周期 函数的性质在自主招生考试中占有相当的比例,函数的性质主要包括定义 域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等。 一.函数的对称性(分函数图像的自对称及函数图像的互对称) )时 , 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 关 于 直 线 1.函 数 y ? f ( x) 满 足 f ( a? x) ? f ( b? x x? a?b 对称。特别的, a ? b ? 0 时,该函数为偶函数。 2 证明:在函数 y ? f ( x) 上任取一点 ( x1 , y1 ) ,则 y1 ? f ( x1 ) ,点

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