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高中数学必修三(1.3-4十进制化k进制)


1.3

算法案例
第四课时

问题提出

1.“满几进一”就是几进制,k进制 使用哪几个数字,k进制数化为十进制数 的一般算式是什么?
an an - 1 L a 2a1(k ) = an ? k
n- 1

an - 1 ? k

n- 2

L + a2 ? k

1

a1 ? k

0

2.利用k进制数化十进制数的一般算 式,可以构造算法,设计程序,通过计 算机就能把任何一个k进制数化为十进制 数.在实际应用中,我们还需要把任意一 个十进制数化为k进制数的算法,对此, 我们作些理论上的探讨.

知识探究(一):除k取余法

思考1:二进制数101101(2)化为十进制 数是什么数?十进制数89化为二进制数 是什么数? 101101(2)=25+23+22+1=45.

89=2×(2×(2×(2×(2×2+1)+1) +0)+0)+1 =1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+ 1×20=1011001(2).

思考2:上述化十进制数为二进制数的算 法叫做除2取余法,转化过程有些复杂, 观察下面的算式你有什么发现吗?
2 89 44 2 2 22 2 11 2 5 2 2 2 1 0 余数 1 0 0 1 1 0 1

思考3:上述方法也可以推广为把十进制 数化为k进制数的算法,称为除k取余法, 那么十进制数191化为五进制数是什么 数?
5 5 5 5 191 38 7 1 0 余数 1 3 2 1

191=1231(5)

思考4:若十进制数 a除以2所得的商是q0,余数是r0, 即a=2·q0+ r0; q0除以2所得的商是q1,余数是r1, 即q0=2·q1+ r1; ?? qn-1除以2所得的商是0,余数是rn, 即qn-1= rn, 那么十进制数a化为二进制数是什么数?

a=rnrn-1?r1r0(2)

知识探究(二):十进制化k进制的算法

思考1:根据上面的分析,将十进制数a化 为二进制数的算法步骤如何设计? 第一步,输入十进制数a的值. 第二步,求出a除以2所得的商q,余数r. 第四步,若q≠0,则a=q,返回第二步; 否则,输出全部余数r排列得到 的二进制数.

第三步,把所得的余数依次从右到左排列

思考2:利用除k取余法,将十进制数a化 为k进制数的算法步骤如何设计? 第一步,输入十进制数a和基数k的值. 第二步,求出a除以k所得的商q,余数r. 第三步,把所得的余数依次从右到左排 列. 第四步,若q≠0,则a=q,返回第二步; 否则,输出全部余数r排列得到 的k进制数.

思考3:将除k取余法的算法步骤用程序框 图如何表示? 开始
输入a,k

求a除以k的商q 求a除以k的余数r 把所得的余数依次从右到左排列
a=q

否 q=0? 是 输出全部余数r排 列得到的k进制数 结束

思考4:该程序框图对应的程序如何表述?
开始 输入a,k 求a除以k的商q

求a除以k的余数r
把所得的余数依次从右到左排列 a=q

否 q=0? 是 输出全部余数r排 列得到的k进制数
结束

INPUT a,k b=0 i=0 DO q=a/k r=a MOD k b=b+r*10∧i i=i+1 a=q LOOP UNTIL q=0 PRINT b END

理论迁移

例1 将十进制数458分别转化为四进 制数和六进制数.
4 458 余数

4
4 4 4

114
28 7

2 2 0 3
1

6 6 6 6

458 76 12 2 0

余数

2 4
0 2

1 0

458=13022(4)=2042(6)

例2 将五进制数3241(5)转化为七进 制数. 30241(5) =3×54+2×52+4×5+1=1946.
7 7
7 7 1946 278 39 5 0 余数 0

5
4 5

30241(5)=5450(7)

小结作业

1.利用除k取余法,可以把任何一个 十进制数化为k进制数,并且操作简单、 实用.

2.通过k进制数与十进制数的转化, 我们也可以将一个k进制数转化为另一个 不同基数的k进制数.

作业: P45练习:3. P48习题1.3A组:3,4.


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