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第八届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题参考解答


2005 年   第 44 卷   第6 期

数学通报

59

第八届北京高中数学知识应用 竞赛决赛试题参考解答
   1 . ( 满分 16 分) 三视图是从主视 、 左视 、 俯视三 个方向观察物体 , 得到的平面图形 . 如图 1 所示的物 体是由一个六棱柱和圆柱组合而成的 , 主视图显示 出正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面 , 左视图显示出 正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面 , 俯视图显示出一 个正六边形和一个圆 ( 中心重合) , 图 1 还给出了三 个视图的位置关系 .
( 1)   解  

……( 8 分)

( 2)

……( 16 分)

   2 . ( 满分 16 分) 826 路公 共汽车往返行驶 于 颐 和 园 和肖村之间 , 它的行驶路线
图1 ( 1) 图 2 是一个物体的形状以及它的主视图和 俯视图 , 缺左视图 . 请画出完整的三视图 , 符合三个 视图的位置要求 .

贯穿了北京城区 , 如图 . 不 同汽车的车况不同 , 驾驶员 不同 , 沿途路 况 不 全 相 同 , 导致汽车行驶速 度 不 断 变 化 . 某天 , 一辆 826 路公共汽 车早上 7 ∶ 30 从颐和园出发 , 于上午 9 ∶ 20 到达终点肖村 ; 第二天 , 另一辆 826 路 公共汽车于早上 7 ∶ 30 从肖村出发驶向颐和园 , 并 于上午 9 ∶ 00 到达终点 .
( 1) 如果第一天 7 ∶ 30 从颐和园出发行驶的汽

车到颐和园的距离 s 与时间 t 满足函数关系 s =
图2 ( 2) 请根据图 3 的三视图 , 想像物体的原形 , 并 画出物体的实物草图 . f ( t ) , 第二天 7 ∶ 30 从肖村出发行驶的汽车到颐和园

的距离 s 与时间 t 满足函数关系 s = g ( t ) , 它们都是 连续变化的函数 , 请分别说明这两个函数的性质 .
( 2) 请根据上面函数的性质 , 证明 :存在一个地

点 , 两辆车在这两天的同一个时刻通过这个地点 . 解  ( 1) 设颐和园到肖村的距离是 s 3 , 则 f ( t ) 的定义域是 [ 7 ∶ 30 , 9 ∶ 20 ] , 值域是 [ 0 , s 3 ] , f ( t ) 是 单调增函数 ; g ( t ) 的定义域是 [ 7 ∶ 30 , 9 ∶ 00 ] , 值域 是 [ 0 , s 3 ] , g ( t ) 是单调减函数 . ……( 8 分)
( 2) 图 1 中的函数曲线 f ( t ) 和 g ( t ) 是示意性

的 . 两辆车在同一时刻通过同一地点 , 就是图 2 中的
图3

函数曲线 f ( t ) 和 g ( t ) 存在交点 , 而这是显然成立

60

数学通报           2005 年   第 44 卷   第6 期 向位移 h ( 单位 :毫米) 与时间 t ( 单位 :月) 之间近似 地满足函数关系 : h ( t ) = Asin ( 数表达式 . 解  ( 1) 由图象可以近似地把地壳垂向位移 看作正弦函数 . 设大气压力负荷 、 土壤水负荷以及 海底 压 力 负 荷 影 响 下 的 地 壳 垂 向 位 移 分 别 为
图1 h1 ( t ) , h2 ( t ) 和 h3 ( t ) , 于是 h1 ( t ) = 5sin

的 . 所以结论成立 . ………( 16 分)

π
6

) , 求这个函 t +φ

3 . ( 满分 16 分) 大气 、 土壤水 、 海洋等物质在地

π
6

球表面随着时间的变化而变化 , 这些物质对地壳压 力负荷的变化会引起地壳的形变 , 在垂直方向尤为 明显 . 根据上海某观测站的观测结果 , 该地的大气 压力负荷 、 土壤水负荷以及海底压力负荷引起的地 壳垂向位移变化分别如图 1 、 2、 3 所示 .

t -

π
2 6

, ,

h2 ( t ) = 2 . 5sin h3 ( t ) = 1 . 25sin

π
6

t +

π

π
6

t . ……………( 9 分)

( 2) 对于 h ( t ) = A sin ( h ( t ) = A sin ( = 5sin

π
6

) ,有 t +φ

π
6

) = h1 ( t ) + h2 ( t ) + h3 ( t ) t +φ

π
6

t -

π
2

+ 2 . 5sin

π
6

t +

π
6

+ 1 . 25sin

π
6
图1

t , ……………( 11 分)

当 t = 0 时 , h ( 0) = h1 ( 0) + h2 ( 0) + h3 ( 0) = 5 + 1 . 25 + 0 = - 3 . 75 ,

当 t = 3 时 , h ( 3) = h1 ( 3) + h2 ( 3) + h3 ( 3) =
0 + 2 . 5 + 1 . 25 = 5 ( 1 + 3) , 4
,

A sinφ = - 3 . 75

所以有
A sin ( 图2 A sinφ = -

π
2

) = +φ

5 ( 1 + 3) 4

15 4


5 ( 1 + 3) A cosφ = 4

………………( 13 分)

于是 tgφ = -

3 ≈ - 1 . 098 . 1+ 3 1 = secφ

因为 1 + tg2φ = sec2φ, 所以 cosφ =
图3 ( 1) 根据图像分别求出上述三种因素影响下的

1 1 + tg φ
2

≈ 0 . 6734 . 得 A = π
6

5 ( 1 + 3) ≈ 5 . 071 . 4cosφ

上海观测站垂向位移 h ( 单位 : 毫米 ) 与时间 t ( 单 位 :月) 的近似的三角函数表达式 .
( 2) 上述三种因素共同影响下的上海观测站垂 =-

所以 h ≈ 5 . 071sin (

) , 其中 φ 由 tgφ t +φ

3 确定 . ……………………( 16 分) 1+ 3

2005 年   第 44 卷   第6 期
( 可以算出 φ = 0 . 2943 π ).

数学通报 由已知 f =

61
k 和 l1 = 60 cm , 得 k = f 1 ?l 1 = l

4 . ( 满分 18 分) 如图 , 钢琴上一个八度中有 12

261 . 6 ×60 = 15696
l2 = k 15696 k 15696 = = 56 . 6 , l 3 = = = f2 277 . 2 f3 293 . 7

个琴键 , 分别可以弹奏出 12 个半音 . 12 个半音的频 率值如下表 :

53 . 4 , ……,

依此可以得到 : l1 = 60cm , l2 = 56 . 6cm , l3 =
53 . 4cm , l 4 = 50 . 5cm , l 5 = 47 . 6cm , l 6 = 44 . 9cm , l 7 = 42 . 4cm , l 8 = 40 . 0cm , l 9 = 37 . 8cm , l 10 = 35 . 7cm , l 11

半音 音名 简谱 标记 唱名 频率
( Hz)

1 C

2
#

3 D

4
#

5 E

6 F

7 F b G
# b #

= 33 . 7cm , l 12 = 31 . 8cm. ………( 10 分) ( 2) 设 12 个半音对应的频率值是 a1 , a2 , …, a12 . 经计算发现 a1 , a2 , …, a12 近似成等比数列 , 公

C b D
#

D b E
#

1 Do

1 b 2

2 Re

2 b 3

3 Mi

4 Fa

4 5

比 q ≈ 1 . 06 . ………………………( 18 分)
5 . ( 满分 18 分) 中国日报网站消息 :2004 年 12

月 26 日 , 印度尼西亚苏门答腊岛北部发生强烈地 震 , 地震引发海啸 , 波及数个国家 . 据路透社报道 , A 国地质勘探局称本次印尼地

261. 6 277. 2 293. 7 311. 1 329. 6 349. 2 370. 0 8 G 5 So 9
#

半音 音名 简谱 标记 唱名 频率
( Hz)

10 A 6 La

11
#

12 B 7 Si C1 i Do

震是近百年来最大的五次地震之一 , 震级达到了里 氏 8 . 9 级 , 也是自 1964 年以来全球最大的一次地震 ;
B 国地震监测机构称他们测得这次地震的震级为

G b A
# b

A b B
# b

5 6

6 7

里氏 6 . 8 级 . 据 12 月 29 日英国泰晤士报报道 , 爱丁堡的地震 学家马森说 “ : 如果比较过去 5 年全球地震所释放的 能量 , 其威力仍比 ( 这次) 印尼大地震低” . 科学家以里氏 ( Richter scale) 震级来量度地震 的强度 . 若设 I 为地震时所释放的能量 , r 为里氏震 级 , 则它们满足关系 : r = log30 I .
( 1) 根据上面提供的信息 , 试估计 : A 国地质勘

392. 0 415. 3 440. 0 466. 1 493. 9 523. 2

  ( 1) 各种乐器的设计原理都满足 12 个半音频 率的规律 . 已知在同一个琴弦上 , 频率 f 与弦长 l 满 足f =
k , 其中 k 是常数 , 即频率与弦长成反比 . 设 l

简谱标记 “1”( 唱名 Do) 的弦长为 60cm , 试确定 12 个 半音的弦长 ( 精确到 0 . 1cm) .
( 2) 表中 12 个半音频率值构成的数列是什么数

探局和 B 国地震监测机构测算的这次印度洋大地 震能量相差多少倍 .
( 2) 地震是一种很普遍的自然现象 , 地球上天

列? 解  ( 1) 设 12 个半音的弦长分别为 l 1 , l2 , l3 ,
l 4 , l 5 , l 6 , l 7 , l 8 , l 9 , l 10 , l 11 , l 12 , 12 个半音的频率分别

天都有地震发生 , 而且多到一天就要发生一万多 次 , 一年约有五百万次 . 大多数地震不用灵敏的仪 器察觉不到 , 只有 1 % 的地震 ( 约五万次) 才是人们 可以感觉出来的 , 其中能造成破坏的约有一千次 .

为 f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 , f 7 , f 8 , f 9 , f 10 , f 11 , f 2 1.

62

数学通报           2005 年   第 44 卷   第6 期
6 . ( 满分 16 分) 在社会调查时 , 有些敏感的问

如果我们接受 A 国对这次地震震级的估计 , 并且将 马森讲的 “威力” 理解为地震所释放的能量 , 根据表
1 的数据 , 请你分析一下马森说法是否正确 ?

题人们往往不愿意如实地回答 , 如 “你考试时作过 弊吗 ? ” “ , 你在超市偷拿过商品吗 ? ” . 但是 , 人们又 需要了解这种人在整个人群中占的百分比 . 下面介 绍一种调查方法 . 这方法要求被调查者在两个问题中随机地选
) , 而不必告诉别 择一个回答 ( 只回答 “是” 或 “不是”

表 1 :地球上每年发生的各级地震的大致次数 地震震级 8 . 0 - 8 . 9 7 . 0 - 7 . 9 6 . 0 - 6 . 9 5 . 0 - 5 . 9 地震次数 ≤1
18 120 800

地震震级 4 . 0 - 4 . 9 3 . 0 - 3 . 9 2 . 0 - 2 . 9 1 . 0 - 1 . 9 地震次数
6200 49000 100000 4850000

人他回答的是哪一个问题 . 这两个问题中 , 一个问 题是要调查的敏感问题 , 另一个是无关紧要的问 题. 例如 :设第一个问题是 “你考试作过弊吗 ? ” .第 二个问题是 “你出生的月份是偶数吗 ? ” . 我们让被 调查者在保密的情况下掷一个均匀的骰子 , 其他人 不知道掷骰子的结果 , 要求 : 当出现 1 点或 2 点时 , 回答第二个问题 ; 否则回答第一个问题 . 由于其他人不知道他回答的是哪一个问题 , 因 此 , 当他回答 “是” 时 , 你也无法知道他是否作过弊 . 这种调查保护了他的隐私 , 也可以从调查结果中得 到需要的估计 . 设想调查的对象是 1800 个学生 , 其中有 346 人 回答 “是” . 请你估计考试作弊的学生所占的百分 比. 解  掷一个均匀骰子 , 掷出 1 点或 2 点的概率 是三分之一 . 因此 , 可以认为 1800 个学生中约有三

  ( 资料来源于 www. yq. gov. cn/ yqdzj/ kpxc/ dqsdz. htm) 解  ( 1) 设 IA 、 IB 分别表示 A 国地质勘探局和 B 国地震监测机构对印度洋地震能量的估计值 .
IA 于是 8 . 9 = log30 ( IA ) , 6 . 8 = log30 ( IB ) , = IB

308 . 9 - 6 . 8 = 302 . 1 ≈ 1264 . 60 .
IA ≈ 1264 . 6 IB , 这说明 A 国地质勘探局比 B 国

地震监测机构测算的印度洋地震能量高出约 1264 倍 . …………………………( 8 分)
( 2) 由 A 国对印度洋地震地震震级的测算 , 可

以得出 , 这次地震能量相当于 IA ≈ 308 . 9 = 303. 4 ×
305 . 5 ≈ 105247 . 61 ×305 . 5 , 由表一提供的数据 , 我们

可以对一年地震释放的总能量做一个粗略的估计 , 假定前几年没有发生过 8 级以上的地震 , 对其它的 震级范围 , 我们取其平均值进行分析 .
I一年总能量 ≈ 18 ×30
7. 5

+ 120 ×30

6. 5

+ 800 ×30

5. 5

+

6200 ×304 . 5 + 49000 ×303 . 5 + 100000 × 302 . 5 + 4850000 ×301 . 5

分之一 , 即 600 个学生 , 回答的是第二个问题 ; 从而 有 1200 个学生回答了第一个问题. 另一方面 , 可以认为一个人出生的月份是偶数

≈ 16200 ×305 . 5 + 3600 ×305 . 5 + 800 ×305 . 5
+ 206 . 67 × 30
5. 5

+ 54 . 44 × 30

5. 5

+ 3 . 70 ×

还是奇数的概率相同 , 都是

6 . 因此 , 回答第二个问 12

305 . 5 + 5 . 99 ×305 . 5
= 20870 . 80 ×30
5. 5 5. 5

题的 600 个学生中估计有一半 , 即 300 个学生回答的 “是” . 由于有 346 人回答 “是” , 而其中 300 个学生回答 的是第二个问题 . 由此 可 知 : 对 第 一 个 问 题 回 答 “是” 的学生有 46 个 . 考试作弊学生占的百分比约是
46 = 3 . 83 %. ………………………( 16 分) 1200

I五年总能量 ≈ 104354 . 00 ×30

可见 , 印尼地震产生的能量 105247 . 61 × 305 . 5 与 全球五年地震总能量 104354 . 00 × 305 . 5 相差无几 . 因 此 , 马森的说法是正确的 . …………( 18 分)


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