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江苏省宿迁市沭阳县2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年江苏省宿迁市沭阳县高一(上)期中数学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直 接填在答题卡相应位置上. ) 1. (5 分)设集合 A={ 1,2,3},B={ 2,4},则 A∪B=. 2. (5 分)函数 的定义域为.

3. (5 分)函数 y=1+logax,

(a>0 且 a≠1)恒过定点. 4. (5 分)若 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x +2x,则 f(﹣1)=. 5. (5 分)已知幂函数 f(x)=x (α 为常数)的图象经过点(2, ) ,则 f(x)=.
2 0.3 α 2

6. (5 分)已知 a=0.3 ,b=2 ,c=log0.32,则这三个数从小到大排列为. 7. (5 分)已知函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,3]上是减函数,则实数 a 的取值 范围为.
2

8. (5 分)已知函数 f(x)=

,若 f(a)= ,则实数 a=.

9. (5 分)设集合 M={x|x≤1},N={x|x>a},要使 M∩N=?,则实数 a 的取值范围是. 10. (5 分)函数 y=4 ﹣3.2 +3 的值域是. 11. (5 分)若关于 x 的方程 3tx +(3﹣7t)x+4=0 的两实根 α,β 满足 0<α<1<β<2,则实 数 t 的取值范围是. 12. (5 分)已知定义在实数集 R 上的偶函数 f(x)在区间(﹣∞,0]上是单调减函数,则不 等式 f(﹣1)<f(lnx)的解集是. 13. (5 分)函数 f(x)=ax +2ax+1 在[﹣3,2]上有最大值 4,则实数 a=.
2 2 x x

14. (5 分)定义 min{a,b}=

,若 f(x)=min{

,| x﹣1}|},且直线 y=m 与 y=f

(x)的图象有 3 个交点,横坐标分别为 x1,x2,x3,则 x1?x2?x3 的最大值为.

二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.将 每题解答过程写在答题卡相应的区域内. ) 15. (14 分)计算: (Ⅰ) (1.5) ﹣(﹣4.5) ﹣(
﹣2

0





(Ⅱ)log535+2

﹣log5

﹣log514.

16. (14 分)已知 U=R,集合 A={x|1≤x≤4},B={x|a≤x≤a+2}. (Ⅰ)若 a=3,求 A∪B,B∩(?UA) ; (Ⅱ)若 B?A,求 a 的范围.

17. (14 分)已知函数 f(x)=



(Ⅰ)试判断函数的单调性并加以证明; (Ⅱ)对任意的 x∈R,不等式 f(x)<a 恒成立,求实数 a 的取值范围. 18. (16 分)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每 生产产品 x(千台) ,其总成本为 G(x) (万元) ,其中固定成本为 3.2 万元,并且每生产 1 千 台的生产成本为 4 万元(总成本=固定成本+生产成本) .销售收入 R(x) (万元)满足 R(x) = ,假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉) ,根

据上述统计规律,请完成下列问题: (Ⅰ)写出利润函数 y=f(x)的解析式(利润=销售收入﹣总成本) ; (Ⅱ)工厂生产多少千台产品时,可使盈利最多? 19. (16 分)已知函数 f(x)是定义在(﹣4,4)上的奇函数.当﹣4<x<0 时,f(x)=loga (x+b) ,且图象过点(﹣3,0)与点(﹣2,1) . (Ⅰ)求实数 a,b 的值,并求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f(x)=m 有两个不同的实数解,请写出实数 m 的取值范围; (Ⅲ)解关于 x 的不等式(x﹣1)f(x)<0,写出解集. 20. (16 分)已知函数 f(x)=ax ﹣|x|+2a﹣1(a 为实常数) . (1)若 a=1,求 f(x)的单调区间; (2)若 a>0,设 f(x)在区间[1,2]的最小值为 g(a) ,求 g(a)的表达式; (3)设 ,若函数 h(x)在区间[1,2]上是增函数,求实数 a 的取值范围.
2

2014-2015 学年江苏省宿迁市沭阳县高一(上)期中数学 试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直 接填在答题卡相应位置上. ) 1. (5 分)设集合 A={ 1,2,3},B={ 2,4},则 A∪B={1,2,3,4}. 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 直接利用并集的运算法则,求出两个集合的所有元素的集合即可. 解答: 解:集合 A={ 1,2,3},B={ 2,4},则 A∪B={1,2,3,4}. 故答案为:{1,2,3,4}. 点评: 本题考查集合的基本运算,并集的求法,基本知识的考查. 2. (5 分)函数 的定义域为(0,1].

考点: 对数函数的定义域;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 根据偶次根式下大于等于 0,对数的真数大于 0 建立不等式组,解之即可求出所求. 解答: 解:要使函数 有意义则



?0<x≤1

故答案为: (0,1]. 点评: 本题主要考查了对数函数的定义域,以及根式函数的定义域和不等式组的解法,属 于基础题. 3. (5 分)函数 y=1+logax, (a>0 且 a≠1)恒过定点(1,1) . 考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: 由对数的性质知,当真数为 1 时,对数值一定为 0,由此性质求函数的定点即可. 解答: 解:令 x=1,得 y=1+loga1, 得到 y=1, 故函数 y=1+logax, (a>0 且 a≠1)的图象恒过定点(1,1) 故答案为: (1,1) . 点评: 本题考查对数函数的图象与性质,解题的关键是熟练掌握对数函数的性质,并能根 据性质判断出本题求定点的问题可以令真数为 1 求定点.

4. (5 分)若 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x +2x,则 f(﹣1)=﹣3. 考点: 函数奇偶性的性质;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性的性质,将 f(﹣1)转化为 f(1)进行求解即可. 解答: 解:∵f(x)为定义在 R 上的奇函数, ∴f(﹣1)=﹣f(1) , 2 ∵当 x≥0 时,f(x)=x +2x, ∴f(1)=1+2=3, 即 f(﹣1)=﹣f(1)=﹣3. 故答案为:﹣3. 点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用,利用函数奇偶性的性质将 f(﹣1)转化为 f(1) 是解决本题的关键.
α
﹣3

2

5. (5 分)已知幂函数 f(x)=x (α 为常数)的图象经过点(2, ) ,则 f(x)=x .

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据幂函数 f(x)的图象过点(2, ) ,求出 f(x)的解析式即可. 解答: 解:∵幂函数 f(x)=x 的图象经过点(2, ) , ∴2 = , 解得 α=﹣3; ∴f(x)=x . ﹣3 故答案为:x . 点评: 本题考查了根据函数图象上的点的坐标求函数解析式的应用问题,是基础题目. 6. (5 分)已知 a=0.3 ,b=2 ,c=log0.32,则这三个数从小到大排列为 c,a,b. 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数和对数的性质可得 2 大于 1,0.3 的范围,以及 log2 小于 0,即可比较 大小. 0.3 2 解答: 解:由指数和对数函数的性质得:2 >1,log0.32<0,0<0.3 <1; 0.3 2 三个数的大小顺序为 2 >0.3 >log0.32. 故答案为:c,a,b. 点评: 本题考查学生灵活运用指数和对数函数的性质及利用中间量比较大小,基本知识的 考查.
0.3 2 0.3 2 0.3
﹣3

α

α

7. (5 分)已知函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,3]上是减函数,则实数 a 的取值 范围为(﹣∞,﹣2]. 考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,3]上是减函数,即说明(﹣∞,3]是函 数 f(x)的减区间的子集. 解答: 解:函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 的单调减区间为(﹣∞,1﹣a], 又 f(x)在区间(﹣∞,3]上是减函数, 所以有(﹣∞,3]?(﹣∞,1﹣a], 所以 3≤1﹣a,解得 a≤﹣2,即实数 a 的取值范围为(﹣∞,﹣2]. 故答案为: (﹣∞,﹣2]. 点评: 本题考查函数单调性的性质,函数 f(x)在某区间上单调,意味着该区间为函数单 调区间的子集,而未必是单调区间.
2

2

8. (5 分)已知函数 f(x)=

,若 f(a)= ,则实数 a=﹣2 或 .

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据分段函数 f(x)的解析式,讨论 a≤0 与 a>0 时,求出 a 的值即可. 解答: 解:∵函数 f(x)=
a

,且 f(a)= ,

∴当 a≤0 时,2 = ,解得 a=﹣2,满足题意; 当 a>0 时,2a﹣1= ,解得 a= ,满足题意; ∴实数 a=﹣2 或 . 故答案为:﹣2 或 . 点评: 本题考查了分段函数求值的应用问题,解题时应考虑自变量的取值范围,是基础题 目. 9. (5 分)设集合 M={x|x≤1},N={x|x>a},要使 M∩N=?,则实数 a 的取值范围是 a≥1. 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题. 分析: 根据 M∩N=?,利用交集的定义和数轴,即可得到不等关系,求解即可得到实数 a 的 取值范围. 解答: 解:∵集合 M={x|x≤1},N={x|x>a},且 M∩N=?, 在数轴上作出图形如下图所示,

根据上述图形,可以得到实数 a 的取值范围是 a≥1. 故答案为:a≥1. 点评: 本题考查了集合的交集,以及空集的定义.对于集合中的交、并、补的运算,解题 时一般运用数形结合的数学思想方法,即作出数轴进行求解.属于基础题.
x x

10. (5 分)函数 y=4 ﹣3.2 +3 的值域是[ ,+∞) .

考点: 指数型复合函数的性质及应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数函数和一元二次函数的性质即可求出函数的值域. 解答: 解:y=4 ﹣3.2 +3=(2 ) ﹣3.2 +3=(2 ﹣ ) + , ∵2 >0, ∴y=(2 ﹣ ) + ≥ , 故函数的值域为[ ,+∞) , 故答案为:[ ,+∞) 点评: 本题主要考查函数值域的求解,根据指数函数和一元二次函数的性质,结合复合函 数的性质是解决本题的关键. 11. (5 分)若关于 x 的方程 3tx +(3﹣7t)x+4=0 的两实根 α,β 满足 0<α<1<β<2,则实 数 t 的取值范围是 <t<5.
2 x 2 x x x x 2 x x 2

考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 转化思想. 2 分析: 由已知中关于 x 的方程 3tx +(3﹣7t)x+4=0 的两实根 α,β 满足 0<α<1<β<2, 根据方程的根与对应函数零点之间的关系, 我们易得方程相应的函数在区间 (0, 1) 与区间 (1,

2)上各有一个零点,此条件可转化为不等式组

,解不等式组即可得到实数 t 的

取值范围. 2 解答: 解:依题意,函数 f(x)=3tx +(3﹣7t)x+4 的两个零点 α,β 满足 0<α<1<β<2, 且函数 f(x)过点(0,4) ,则必有

即:



解得: <t<5. 故答案为: <t<5 点评: 本题考查的知识点是一元二次方程根的分布与系数的关系.其中根据方程的根与对 应函数零点之间的关系,构造关于 t 的不等式是解答本题的关键. 12. (5 分)已知定义在实数集 R 上的偶函数 f(x)在区间(﹣∞,0]上是单调减函数,则不 等式 f(﹣1)<f(lnx)的解集是(0, )∪(e,+∞) .

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 运用偶函数的性质可得 f(﹣x)=f(|x|) ,且 f(x)在[0,+∞)上递增,则不等式 f (﹣1)<f(lnx)即为 f(1)<f(|lnx|) ,即|lnx|>1,解对数不等式,即可得到解集. 解答: 解:由于定义在实数集 R 上的偶函数 f(x) , 在区间(﹣∞,0]上是单调减函数. 则 f(﹣x)=f(|x|) ,且 f(x)在[0,+∞)上递增, 则不等式 f(﹣1)<f(lnx)即为 f(1)<f(|lnx|) , 即|lnx|>1, 即有 lnx>1 或 lnx<﹣1, 解得 x>e 或 0<x< . 故答案为: (0, )∪(e,+∞) . 点评: 本题考查函数的奇偶性和单调性的运用:解不等式,考查运算能力,属于基础题和 易错题. 13. (5 分)函数 f(x)=ax +2ax+1 在[﹣3,2]上有最大值 4,则实数 a= 或﹣3.
2

考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 分类讨论;函数的性质及应用. 2 分析: 分类讨论,确定函数的对称轴,根据函数 f(x)=ax +2ax+1 在[﹣3,2]上有最大值 4, 建立方程,即可求得结论. 解答: 解: ①当 a>0 时, 因为对称轴为 x=﹣1, 所以 ( f 2) 最大, 所以 ( f 2) =4, 即 4a+4a+1=4, 所以 a= ;

②当 a<0 时,因为对称轴为 x=﹣1,所以 f(﹣1)最小,所以 f(﹣1)=4,即 a﹣2a+1=4, 所以 a=﹣3; ③当 a=0 时,f(x)=1,不成立. 综上可知,a= 或 a=﹣3 故答案为: 或﹣3. 点评: 本题考查二次函数的最值,考查分类讨论的数学思想,属于基础题.

14. (5 分)定义 min{a,b}=

,若 f(x)=min{

,| x﹣1}|},且直线 y=m 与 y=f

(x)的图象有 3 个交点,横坐标分别为 x1,x2,x3,则 x1?x2?x3 的最大值为 1. 考点: 根的存在性及根的个数判断;分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 作出函数 f(x)的图象,由图象可求得符合条件的 m 的取值范围,设 0<x1<x2<2 <x3,通过解方程可用 m 把 x1,x2,x3 分别表示出来,然后利用基本不等式即可求得 x1?x2?x3 的最大值. 解答: 解:作出函数 f(x)的图象如图所示: 由 可解得 A(4﹣2 ,2 ﹣2) , ﹣2.

由图象可得,当直线 y=m 与 f(x)图象有三个交点时 m 的范围为:0<m<2 不妨设 0<x1<x2<2<x3, 则由 2 =m 得 x1= ,由|x2﹣2|=2﹣x2=m,

得 x2=2﹣m,由|x3﹣2|=x3﹣2=m, 得 x3=m+2,且 2﹣m>0,m+2>0, ∴x1?x2?x3=
2

?(2﹣m)?(2+m)= ?m ?(4﹣m )≤ ?
2

2

2

=

=1,

当且仅当 m =4﹣m .即 m= ∴x1?x2?x3 存在最大值为 1. 故答案为:1.

时取得等号,

点评: 本题考查函数与方程的综合运用,考查基本不等式在求函数最值中的应用,考查数 形结合思想,属难题. 二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.将 每题解答过程写在答题卡相应的区域内. ) 15. (14 分)计算: (Ⅰ) (1.5) ﹣(﹣4.5) ﹣(
﹣2

0





(Ⅱ)log535+2

﹣log5

﹣log514.

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)直接利用指数式的运算法则化简求解即可; (Ⅱ)lo 直接利用对数的运算法则化简求解即可. 解答: 解: (Ⅰ) (1.5) ﹣(﹣4.5) ﹣(
﹣2

0



= =﹣1;…(7 分) (Ⅱ)log535+2 ﹣log5

=

﹣log514=log5

+2

=log55 ﹣1=2…(14 分)

3

点评: 本题考查指数式与对数式的运算法则的应用,考查计算能力. 16. (14 分)已知 U=R,集合 A={x|1≤x≤4},B={x|a≤x≤a+2}. (Ⅰ)若 a=3,求 A∪B,B∩(?UA) ; (Ⅱ)若 B?A,求 a 的范围.

考点: 集合关系中的参数取值问题;集合的包含关系判断及应用;交、并、补集的混合运 算. 专题: 规律型. 分析: (Ⅰ)若 a=3,根据集合的基本运算求 A∪B,B∩(?UA) ; (Ⅱ)利用条件 B?A,确定 a 的范围即可. 解答: 解: (Ⅰ)若 a=3,∴B={x|3≤x≤5}. ∴A∪B={x|1≤x≤5}, (?UA)={x|x<1 或 x>4}, ∴B∩(?UA)={x|4<x≤5}. (Ⅱ)∵B?A,A={x|1≤x≤4},B={x|a≤x≤a+2}. ∴ ,即 ,

解得 1≤a≤2. 点评: 本题主要考查集合的基本运算,以及集合的应用,比较基础.

17. (14 分)已知函数 f(x)=



(Ⅰ)试判断函数的单调性并加以证明; (Ⅱ)对任意的 x∈R,不等式 f(x)<a 恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用函数的单调性定义判断并证明,注意步骤要规范; (2)结合(1)的单调性,求出函数 f(x)的最大值,则问题可解. 解答: 解(Ⅰ)函数 f(x)= .定义域为 R,函数 f(x)在 R 上是增函数.

设 x1,x2 是 R 内任意两个值,且 x1<x2. 则 = ①.

又因为 x1<x2,所以

,又



所以①<0,即 f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) . 故 f(x)是 R 上的增函数. (Ⅱ)由题意,函数 f(x)= 显然 2 +1>1,所以 所以 即﹣1<f(x)<1. .
x

. .

所以,若 f(x)<a 恒成立,只需 a≥1. 点评: 本题考查了函数单调性的证明方法,以及利用单调性研究最值,解决不等式恒成立 问题的思路. 18. (16 分)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每 生产产品 x(千台) ,其总成本为 G(x) (万元) ,其中固定成本为 3.2 万元,并且每生产 1 千 台的生产成本为 4 万元(总成本=固定成本+生产成本) .销售收入 R(x) (万元)满足 R(x) = ,假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉) ,根

据上述统计规律,请完成下列问题: (Ⅰ)写出利润函数 y=f(x)的解析式(利润=销售收入﹣总成本) ; (Ⅱ)工厂生产多少千台产品时,可使盈利最多? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)由题意得 G(x)=3.2+4x,由 R(x)= ,

f(x)=R(x)﹣G(x) ,能写出利润函数 y=f(x)的解析式. (Ⅱ)当 x>5 时,由函数 f(x)递减,知 f(x)<f(5)=3.2(万元) .当 0≤x≤5 时,函数 f 2 (x)=﹣0.5(x﹣4) +3.6,当 x=4 时,f(x)有最大值为 3.6(万元) .由此能求出工厂生产 多少台产品时,可使盈利最多. 解答: 解: (Ⅰ)由题意得 G(x)=3.2+4x.…(2 分) ∴f(x)=R(x)﹣G(x)= .…(8 分)

(Ⅱ)当 x>5 时,∵函数 f(x)递减,∴f(x)<f(5)=3.2(万元) .…(10 分) 2 当 0≤x≤5 时,函数 f(x)=﹣0.5(x﹣4) +3.6, 所以当 x=4 时,f(x)有最大值为 3.6(万元) . …(14 分) 所以当工厂生产 4 千台产品时,可使赢利最大,且最大值为 3.6 万元.…(16 分) 点评: 本题综合考查了总成本=固定成本+生产成本、利润=销售收入﹣总成本、分段函数的 性质、二次函数与一次函数的单调性等基础知识与基本方法,属于中档题. 19. (16 分)已知函数 f(x)是定义在(﹣4,4)上的奇函数.当﹣4<x<0 时,f(x)=loga (x+b) ,且图象过点(﹣3,0)与点(﹣2,1) . (Ⅰ)求实数 a,b 的值,并求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f(x)=m 有两个不同的实数解,请写出实数 m 的取值范围; (Ⅲ)解关于 x 的不等式(x﹣1)f(x)<0,写出解集. 考点: 函数奇偶性的性质;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由题意将点的坐标代入得到关于 a,b 的方程组解之即可; (2)可以借助于函数图象的平移、对称变换得到函数 f(x)的图象,然后即可得到 m 的范围;

(3)将 f(x)代入不等式,然后解之即可,注意分两种情况. 解答: 解: (Ⅰ)∵loga(﹣3+b)=0,∴b﹣3=1,∴b=4 又∵loga2=1,∴a=2∴当﹣4<x<0 时,f(x)=log2(x+4) 当 0<x<4 时,﹣4<﹣x<0,f(﹣x)=log2(﹣x+4)∵f(﹣x)=﹣f(x) ,∴﹣f(x)=log2 (4﹣x) , 即 f(x)=﹣log2(4﹣x) ,





(Ⅱ)易知当﹣4<x<0 时,f(x)的图象是由 y=log2x 的图象沿 x 轴向左平移 4 个单位得到 的; 当 0<x<4 时,f(x)的图象是先将 y=log2x 沿 y 轴对称,然后再向右平移 4 个单位,最后再 沿 x 轴作对称变换,最终得到所求图象. 据题意图象如下:

因为 f(x)=m 的解即为 y=f(x)与 y=m 图象交点的横坐标,如图所示,当 y=m 的取值介于 y=﹣2 与 y=2 之间(去掉 y=0)时,有两个交点, 故所求 m 的范围是﹣2<m<0 或 0<m<2. (Ⅲ)① ∴1<x<3 ② ,∴ ,∴﹣3<x<0 ,∴ ,

综上:解集为{x|﹣3<x<0 或 1<x<3}. 点评: 本题考查了函数的零点、方程的根之间以及与不等式的解之间关系,注意数形结合 的思想的应用.

20. (16 分)已知函数 f(x)=ax ﹣|x|+2a﹣1(a 为实常数) . (1)若 a=1,求 f(x)的单调区间; (2)若 a>0,设 f(x)在区间[1,2]的最小值为 g(a) ,求 g(a)的表达式; (3)设 ,若函数 h(x)在区间[1,2]上是增函数,求实数 a 的取值范围.

2

考点: 函数的单调性及单调区间;函数单调性的性质;函数的最值及其几何意义. 专题: 综合题;分类讨论. 分析: (1)由 a=1,将函数转化为分段函数,进而每一段转化为二次函数,用二次函数法 求得每段的单调区间即可. (2)受(1)的启发,用二次函数法求函数的最小值,要注意定义域,同时由于 a 不具体,要 根据对称轴分类讨论. (3)由“函数 h(x)在区间[1,2]上是增函数”要转化为恒成立问题.可用单调性定义,也可 用导数法.
2

解答: 解: (1)a=1,f(x)=x ﹣|x|+1=

(2

分) ∴f(x)的单调增区间为( f(x)的单调减区间为(﹣ (2)由于 a>0,当 x∈[1,2]时, ①若 ②若 ③若 ,即 ,即 ,即 ,则 f(x)在[1,2]为增函数 g(a)=f(1)=3a﹣2 , 时,f(x)在[1,2]上是减函数: ) , (﹣ ,0) ; ) , ( ) (4 分)

g(a)=f(2)=6a﹣3.

综上可得

(10 分)

(3)

在区间[1,2]上任取 x1、x2,



= ∵h(x)在[1,2]上是增函数 ∴h(x2)﹣h(x1)>0 ∴(*)可转化为 ax1x2﹣(2a﹣1)>0 对任意 x1、x2∈[1,2] 且 x1<x2 都成立,即 ax1x2>2a﹣1 ①当 a=0 时,上式显然成立 ②a>0, ③a<0, 所以实数 a 的取值范围是 ,由 1<x1x2<4 得 ,由 1<x1x2<4 得, (16 分)

(*) (12 分)

,解得 0<a≤1 ,得

点评: 本题主要考查分段函数,考查求其单调区间,方法是一段一段地求出即可,考查求 其最值,方法是每一段求出其最值,各段中最大的为最大值,最小的为最小值,考查其单调性 的应用,这类问题要转化为恒成立问题,实质还是研究最值,这里就会涉及到构造新函数的问 题.


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