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2005年全国高中数学联赛福建赛区预赛


2006 年第 5 期

29

2005 年全国高中数学联赛福建赛区预赛
  一 、 选择题( 每小题 6 分 , 共 36 分) 1. 设函数 f ( x) 的定义域为 R , 且对任意 π π , , f( tan x )=sin 2 x . 则 2 2 f( 2sin x) 的最大值为(    ) . 实数 x ∈ 1 2

( B) ( C) ( D) 1 2 2 2. 实数列{ a n} 定义为 , a 1 =1 , a 9 =7 , ( A) 0 an -1 + 2an an +1 = ,n = 2 ,3 , … an -1 + 1 则 a5 的值为(    ) . ( A) 3  ( B) 4  ( C) 3 或4  ( D) 8 3. 正 四 面 体 ABCD 的 棱 长 为 1 , E 是 ■ABC 内一点 , 点 E 到边 AB 、BC 、CA 的距离 之和为 x , 点 E 到平面 DAB 、 平面 DBC 、 平面 DCA 的 距 离 之 和 为 y . 则 x +y 等 于 (    ) . 6 5 17 ( B) ( C) ( D) 2 3 12 4. 数列 x 1 , x 2 , …, x 100 满足如下条件 : 对 ( A) 1 于k = 1 , 2 , …, 100 , x k 比其余 99 个数的和小 m k. 已知 x 50 = , m 、n 是 互质的正整数 . 则 n m +n 等于(    ) . ( A) 50   ( B) 100   ( C) 165   ( D) 173 5. 若 sin x +sin y = 2 , cos x +cos y = 2
2 2 2 an

轴分别交于点 M 、N . 则 S ■MON 的 最小值为 (    ) . 9 9 3 27 27 3 ( A)   ( B)   ( C)   ( D) 2 2 4 4 二、 填空题( 每小题 9 分 , 共 54 分) 7. 实数 x 、y 、z 满足 x2 + 2y = 7 , y2 + 4z =7 , z2 + 6 x =14 . 则 x 2 +y 2 +z 2 等于 . 8. 设 S 是集合{ 1 , 2 , … , 15} 的一个非空 子集 . 若正整数 n 满足 : n ∈ S , n + S ∈S , 则称 n 是子集 S 的“ 模范数 ” , 这里 S 表示 集合 S 中元素的个数 . 对集合{ 1 , 2 , …, 15} 的 所有 非 空 子 集 S , 模 范 数 的 个 数 之 和 为 . 1 ≤ ≤ x 1, 当 2 5 2 ( 1 +x )( 1 -x ) ( 12 x) 9. 对于 取到最大值时 , x = 有 f( x) f( y) -f( xy ) =x +y + 2. 3 则 f( 36) 的值为 . 11 . 正四面体 ABCD 的体积为 1 , O 为其 中心 . 正四面体 A′ B′ C′ D′ 与正四面体 ABCD 关于点 O 对称 . 则这两个正四面体的公共部 分的体积为 . n 12 . 在双曲线 xy = 1 上 , 横坐标为n +1的 n+ 1 点为 An , 横坐标为 n 的点为 B n ( n ∈ N +) . 记坐 标 为 ( 1 , 1) 的 点 为 M , Pn ( xn , yn ) 是 ■AnB nM 的外 心 . 则 x 1 + x 2 + … + x 100 = . . 10 . 函数 f( x) 满足 : 对任意实数 x 、y , 都

6 , 则 sin( x +y ) 等于(    ) . 2 ( B) 3 ( C) 6 ( D) 1 2 2 2 2 6. P 为椭圆 x +y =1 在第一象限上的 16 9 动点 , 过点 P 引 圆 x 2 +y 2 =9 的 两条 切线 PA 、PB , 切点分别为 A 、B . 直线 AB 与 x 轴 、y ( A) 2 2

30

中 等 数 学

三、 解答题( 每小题 20 分 , 共 60 分) 13 . 如图 1 , 已知 ■ABC 的内心为 I , AC ≠ BC , 内切圆与边 AB 、BC 、CA 分别相切于点 D 、E 、 F , S =CI ∩ EF , 联 结 CD 与 内切圆 的 另 一个 交点为 M , 过点 M 的切 线 交 AB 的 延长线于点 G . 求 证: ( 1) ■CDI ∽■DSI ; ( 2) GS ⊥CI . 14 . 设 a 、b 、c 是正整数 , 关于 x 的一元 二次方程 ax 2 +bx +c =0 的两实数根的绝对 值均小于 1 . 求 a +b +c 的最小值 . 3 15 . 设集合 A 、B 都是由正整数组成的集
图1

■ABC 的高 , 即

3 3 , 故 x= . 2 2 又 V四面体ABCD = VE -DAB + VE -DBC + VE -DCA , 即 1 S 3 =
■ABC·h

1 1 1 S ·y + S ·y + S ·y , 3 ■DAB 1 3 ■DBC 2 3 ■DCA 3 这里 h 为正四面体的高 , y 1 、y 2 、y 3 分 别是点 E 到平 面 DAB 、平面 DBC 、平面 DCA 的距离 . 于是 , h = 则 y1 + y 2 +y 3 = y . 所以 , y = 4. D. 设 S = x1 + x2 +… + x100 , 则 xk =( S - xk)- k , 即  k +2 xk = S . 对 k 求和得 ( 1 +2 +… +100)+2 S =100 S . 所以 , S =2 525 . 于是 , x50 = S -50 = 75 . 49 2 98 故 m +n =173 . 5. B. 把两个式子分别平方 , 相加得 ( sin2 x +cos2 x)+( sin2 y +cos2 y)+ 2( cos x·cos y +sin x·sin y)=2 . 所以 , cos( x -y)=0 . 把两个式子相乘得   ( sin x· cos y + sin y · cos x) + ( sin x· cos x + sin y · cos y ) = 所以 , sin ( x +y)+sin(x + y) ·cos(x - y)= 故 sin(x + y) = 6. C. 设 P( 4cos θ , 3sin θ ), θ ∈ 0, 方程为 4 xcos θ +3 y sin θ =9 . 9 3 故 OM = , ON = , 4cos θ sin θ 1 27 ≥ 27 S ■MON = OM · ON = . 2 4sin 2 θ 4 π 当θ = , 即点 P 为 2 2 , 3 2 时等号成立 . 4 2 27 故 S ■MON 的最小值为 . 4 二 、7 . 14 . π 2 , 则直 线 AB 的 3 . 2
3 2 .

6 . 3

6 . 3

合 , A =10 , B = 9 , 并且集合 A 满足如下 条件 : 若 x 、y 、 u 、v ∈ A , x + y = u +v , 则 { x , y} = { u , v} . 令 A +B ={ a +b a ∈ A , b ∈ B} . 求证 :A +B ≥50( X 表示集合 X 中元素的个数) .

参考答案
一 、1 . D. 2tan x 2x , 知 f(x)= . 所以 , 1 +tan2 x 1 + x2 4sin x ≤ f( 2sin x)= 1. 1 +4sin 2 x 1 当 sin x = 时 , 上式等号成立 . 2 故 f( 2sin x) 的最大值为 1 . 由 f( tan x) = 2. A. 设 b n = a n +1 , 则 bn +1 -1 =
2 bn 2 bn

3 . 2

-b n -1 = -1 . bn -1 bn -1

所以 , b2 故 b2 n =b n +1b n -1 . 5 = b1 b 9 =16 . 于是 , b5 =4(-4 舍 去 , b 1 、b 5 、b 9 同 正负). 3. D. 点 E 到 边 AB 、 BC 、 CA 的 距 离 之 和 就 等 于

2006 年第 5 期 把三个式子相加得 (x +6 x)+ (y +2 y) +( z +4 z) =-14 . 故(x +3) +( y +1) + ( z +2) =0 . 所以 , x =-3 , y =-1 , z =-2 . 8. 13 ×212 . 只要找 出 , 对 每 个 n 有多 少集 合 , 使 得 n 是 模 范数 , 再关于 n 求和 即可 . 若 n 是 S 的一 个模 范 数 , S 含 有 k 个 元素 , 则 n ∈ S , n +k ∈ S . 所以 , k ≥2 .
k -2 又 k ≤15 -n , S 的 其余 k -2 个元素 有 C13 种 2 2 2 2 2 2

31 若 f( 0)= - 2 , 令 y = 0 , 则 x +2 . 所以 , f( x) =意. 若 f( 0)=3 , 解得 f ( x)= x +3 , 代入检验知 满足 题意 . 故 f( 36)=39 . 1 11 . . 2 若将三棱锥 A - BCD 放在一 个水 平面上 , 易 知 3 . 所 4 以 , 反射的对称面是到 点 A 与底 面距离 相等的 水平 其中心 到 点 A 的距 离是 点 A 到 底 面距 离 的 面. 因此 , 它切割 点 A 所 在的 小 正四 面体 是 原正 四 面体缩小 1 . 同样 , 对 B 、C 、D 三点 处所切割的 正四 2 面体 也是原正四面体的 1 . 当在 原四面 体中切 割掉 2 这四个小正四 面体后 , 即 得到 两个正 四面 体的公 共 部分 , 其体积为 1 -4 × 12 . 200 1 2
3

f( x) f( 0) - f( 0) = 3

3 x -2 . 代入原式 知不满 足题 2

取法 , 故 n 为模范数 时 , 共有
13 -n C0 C1 ( 个). 13 + 13 +… +C13

当 n =1 , 2 , … , 13 时 , 模范数的总数为
1 12 A =13C0 13 +12C13 +… +C13 . 1 2 12 故 2 A =13C0 13 +12C13 +11C13 +… +C13 +

C13 +2C13 +… +12C13 +13C13
1 2 12 13 =13( C0 13 +C13 +C13 +… +C13 +C13)

1

2

12

13

=

=13 ×2 . 因此 , 对集合 { 1 , 2 , … , 15}的所 有 非空 子集 S , 模范数的个数之和为 13 ×212 . 7 9. . 8 考虑[ α ( 1 + x) ] 5[ β( 1 - x) ][ γ ( 2 x -1) ] 2 的最 大值 , 这里 α、β 、γ是 正整 数 , 满足 5 α -β +4 γ=0 , α ( 1 + x)=β( 1 - x) =γ ( 2 x -1). 后者即 β -α β +γ = . β +α 2 γ+β 代入 β =5 α +4 γ ,得 0 =2( 5α -2 γ ) ( α +γ ). 取( α, β , γ ) =( 2 , 30 , 5), 由平均不等式得 [ 2( 1 + x) ] 5[ 30( 1 - x) ] [ 5( 2 x -1) ] 2≤ 当且仅当 x = 15 4
8

13

1 . 2

50 . 101 n n +1 n +1 n 易得 An , , Bn , , 所以 , n +1 n n n +1 AnM = B nM , 且 kAn Bn =-1 . 故 ■MAnB n 是以 AnB n 为底边的等腰 三角形 , 且 底边 所在的 直线 的斜率 为 -1 . 因为点 M 在直线 y = x 上 , 所 以 , 底边的 中垂线 方程为 y = x . 由此得 xn = yn . 因为 AnM 的中点为 E 2 n +1 2 n +1 , , 2(n +1) 2 n

n +1 -1 n n +1 kA nM = =, n n -1 n +1 所以 , 外心 P(xn , xn) 在直线 . 2 n +1 n 2 n +1 y= x2n n +1 2( n +1) 2 ( 2 n +1) 上. 由此得 xn = ,即 2 n( n +1) 2 ( 2 n +1) 1 xn = =2 + 2 n(n +1) 2 n( n +1) 1 1 1 =2 + . 2 n n +1 于是 , x1 + x2 +… + x100 =200 + 1 1 1 1+ 2 2 2 1 1 1 …+ 2 100 101 1 1 2 3 +

7 时 , 上式等号成 立 . 8 7 5 2 所以 , 当 x = 时 ,( 1 + x) ( 1 - x) ( 1 - 2 x) 的 8 37 ×55 最大值为 22 . 2 10 . 39 . f 2( 0) - f( 0) 取 x = y =0 , 则 =2 . 3 所以 , f( 0)=-2 或 f( 0)=3 .

32 50 . 101 三 、13 . ( 1) 在 Rt ■CFI 中 , 由射影定理可得 =200 FI 2 =SI· CI =DI 2 . DI CI = . SI DI 而 ∠CID =∠DIS , 故 ■ C DI ∽■DSI . 所以 , ( 2) 如图 2 , 联 结 IM 、 IF . 因为 D 、 I、 M 、G 四点共圆 , 并且 由( 1) 可得 ∠ISD =∠IDC =∠IMD . 所以 , 点 S 在 四 边形 DIMG 的外接圆上 . 故 ∠GSI =∠ GMI =90 ° ,即G S ⊥ CI . 14 . 设 方程的 两实数根 为 x 1 、 x2 . 由韦 达定理 知 x1 、x 2 均为负数 . c 1 a = x1 x2 < , 得 >9 . 所以 , a 9 c a b 2 ≥4 ac =4 × ×c2 >4 ×9 ×12 =36 . c 解得 b >6 . 故 b ≥7 . 由 又 b =(- x1)+ (- x2)< 1 + 1 = 2 , 所以 , a 3 3 3 a 3 3 ≥ 21 > , a> b . 故 a ≥11 . b 2 2 2 ( 1) 当 b = 7 时 , 由 4 a ≤ 4 ac ≤ b 2 及 a ≥ 11 , 知 a =11 或 12 , c =1 . 但 方 程 11 x2 + 7 x + 1 = 0 有 根 7+ 5 1 <- , 不合题意 ; 方 程 12 x2 +7 x +1 =0 的 22 3 两根为 1 1 , - 也不合题意 . 3 4 ( 2) 当 b = 8 时 , 由 4 ac ≤ b2 =64 及 a ≥ 11 , 知 c = 1 .由 x2 =
图2

中 等 数 学 1 满足题意 . 4 3 27 ( 3) 当 b ≥9 时 , a > b ≥ , 所 以 , a ≥14 . 于 2 2 是 , a +b + c =14 +9 +1 ≥24 . =0 的两根为 x1 = x2 =若 a + b + c < 25 , 只 能 a =14 , b = 9 , c =1 , 此 时 , 方程 14 x +9 x +1 =0 的 两根为 x1 =1 , 不合题意 , 故此时 a + b +c ≥25 . 7 综上所述 , a + b +c 的最小值为 25 . 15 . 考虑一般的情形 . 设 A =m , B =n , A + B ={ s 1 , s 2 , … , sk}. 对任意的 1 ≤ i ≤ k , 设 si 有 f( i) 种方 式表示 为 a + b 的形式 , 其中 a ∈ A , b ∈ B , 即 s i = ai 1 +bi 1 =a i 2 +b i 2 =… = ai f( . i )+b if ( i) 则显然有 f( 1)+f( 2)+… +f ( k)= mn . 对任意的 1 ≤ r <t ≤f(i), 考虑集合{ b ir , bit } ,则 有 C2 对 于 i =1 , 2 , … , k , 共 有 f( i)个 这 样 的 集 合 . C2 C2 +… +C2 个集合 . f( 1)+ f( 2) f( k) 下面证明这些集合是两两不同的 . 若不然 , 则存在 1 ≤ i < j ≤ k 及 b r 、 bt ∈ B ( r≠ t), 使得 s i = x +br = u + bt , sj = v +b r =y + bt , 其中 x 、y 、 u 、v ∈ A . 从而 , x +y = u +v . 由题设知{x , y}= {u , v}. 若 x = u , y = v , 则 b r = bt , 不可能 ; 若 x = v , y = u , 则 s i = sj , 不可能 .
2 2 ≤ 2 从而 , C2 f( 1)+C f( 2)+… +C f( k) C n , 2 2 2 ( ( f( 1) ) +( f( 2) ) +… +( f(k) ) )2

1 , x = 2 2

(f( 1)+ f( 2)+… + f( k) )≤ n 2 - n . 由柯西不等式得
2 2 2 ( ( f( 1) ) +( f( 2) ) +… +( f(k) ) )

a =11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , -b 2

b -4 ac 1 a >- , 解得 4 + 16 - a < . 2a 3 3

a 易知 f(a)= - 16 - a -4 ( a = 11 , 12 , … , 3 16) 为增函数 , 于是 , 4 >0 . 3 而 f( 15)=0 , 故 a 只能为 16 . ≤ f( f(a) 16) = 此时 , a +b + c =16 +8 +1 =25 , 而 16 x2 +8 x +1

1 2 ≥ 1( f( 1)+f( 2)+… +f(k) ) = m2 n2 . k k 1 2 2 m2 n m n -mn ≤ n 2 - n , 即 k ≥ . k m + n -1 当 m =10 , n =9 时 , 所以 , m2 n 100 ×9 k≥ = =50 . m +n -1 10 +9 -1 ( 张 鹏程  提供)


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