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求函数的解析式


函数解析式的求法

一、直接代入法
例1. 已知f ( x) ? 2 x ? 1,求f ( x ? 1)
2

x 1 例2. 已知f ( x ) ? 2 ,求f ( ) x x ?1

二、待定系数法:
题设条件求出待定系数 .
例3.已知f ( x )是一次函数,且 f [ f ( x )] ? 4 x ? 3, 求f ( x ).

已知函数的类型或解析 结构时, 可先设出其解析式,然 后根据

例4.若f ( x )为二次函数 ,且 f ( x ? 4) ? f ( x ? 1) ? x ? 2 x, 求f ( x )
2

例5.已知二次函数 f ( x )满足当x ? 2时, f ( x )有最小值 ? 9,又知函数f ( x ) 的图象与x轴有两个交点,它们 之间的距离为 6,求函数f ( x )的 解析式.

三、配凑法
x代替即可.

已知f [ g( x )]的解析式, 要求f ( x )时, 可从 f [ g( x )]的解析式中配凑出 " g( x )".即用 g( x )来表示,再将解析式的 两边的g( x )用

(1) f ( x ? 1) ? 2 x ? 3,求f ( x )的 解 析 式 ( 2) f ( x ? 1) ? x ? 3 x ? 1 求f ( x )的 解 析 式
2

四、换元法
已知f [ g( x )]的解析式,求f ( x )时,可令 t ? g( x ), 再求出f ( t )的解析式, 然后将x代替t即可。

(1) f ( x ? 1) ? 2 x ? 3,求f ( x )的 解 析 式 ( 2) f ( x ? 1) ? x ? 3 x ? 1 求f ( x )的 解 析 式
2

五、消去法
已知的关系式为对称形 式,即f ( x )与 1 f ( ? x )、f ( x )与f ( )同时出现时 ,通 x 过列方程组消去法 .

例6.已 知af ( x ) ? f ( ? x ) ? bx, 其 中a ? 1, 求f ( x ).

六、特殊值法
例7.设f ( x )是R上 的 函 数 ,且满足 f (0) ? 1, 并 且 对 任 意 实 数 x , y有 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? y( 2 x ? y ? 1), 求f ( x )的 表 达 式 .

小结 求解析式的常用方法: 1.直接代入法; 2.换元法; 3.配凑法; 4.待定系数法; 5.消去法( 解方程组法); 6.特殊值法.

练习: 1. 已 知f ( x )是 一 次 函 数 , 且 满 足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17, 求f ( x )的 解 析 式 . 2. 已 知f ( x ) ? 3 x ? 1, f [h( x )] ? g( x ) ? 2 x ? 3, h( x )是x的 一 次 函 数 , 求 h( x )的 解 析 式 . 3. 已 知f ( x ? 1) ? x ? 2 x 求 : (1) f ( x ); ( 2) f ( x ? 1); ( 3) f ( x ).
2

x ?1 x ?1 1 4.已 知f ( )? ? , 求f ( x ). 2 x x x 1 2 5.已 知 2 f ( x ) ? f ( ) ? x , 求f ( x ). x 1 2 6.已 知 2 f ( x ) ? f ( 2 ) ? x , 求f ( x ). x
2


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