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【优化方案】2016年高考数学二轮复习 第一部分专题四 立体几何 第1讲 空间几何体专题强化精练提能 理


第一部分专题四 立体几何 第 1 讲 空间几何体专题强化精练提能 理
[A 卷] 1.如图所示是一个物体的三视图,则此三视图所描述物体的直观图是( )

解析:选 D.先观察俯视图,由俯视图可知选项 B 和 D 中的一个正确,由正视图和侧视 图可知选项 D 正确,故选 D. 2.如图是正方体截去阴影部分所得的几何体,则该几何体的侧视图是( )

解析:选 C.此几何体的侧视图是从左边往右看,故其侧视图应为 C. 3.(2014·高考陕西卷)将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所 得几何体的侧面积是( ) A.4π B.3π C.2π D.π 解析:选 C.由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱,底面半径为 1,高为 1,其侧面 积 S=2π rh=2π ×1×1=2π . 4.(2015·高考全国卷Ⅰ) 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几 何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20π , 则 r=( )

A.1 C.4 解析:选 B. 如图,

B.2 D.8

1

该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体,球的半径为 r,圆柱的底面半径为 r,高 1 2 2 2 2 为 2r, 则表面积 S= ×4π r +π r +4r +π r· 2r=(5π +4)r .又 S=16+20π , 所以(5π 2 2 2 +4)r =16+20π ,所以 r =4,r=2,故选 B. 5.如图是一个体积为 10 的空间几何体的三视图,则图中 x 的值为( )

A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选 A.根据给定的三视图可知,该几何体对应的直观图是一个长方体和四棱锥的 1 组合体,所以几何体的体积 V=3×2×1+ ×3×2×x=10,解得 x=2.故选 A. 3 6. 如图,水平放置的三棱柱的侧棱长为 1,且侧棱 AA1⊥平面 A1B1C1,正视图是边长为 1 的正方形,俯视图为一个等边三角形,则该三棱柱的侧视图面积为( )

A.2 3 3 C. 2

B. 3 D.1 3 ,长为 1 的长方形, 2

解析:选 C.由直观图、正视图以及俯视图可知,侧视图是宽为 所以面积 S= (

3 3 ×1= .故选 C. 2 2 7.(2015·石家庄市第一次模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 )

2

A.64 B.72 C.80 D.112 解析:选 B.由三视图可知该几何体是一个组合体,下面是一个棱长为 4 的正方体;上 1 1 3 面是一个三棱锥,三棱锥的高为 3.故所求体积为 4 + × ×4×4×3=72. 3 2 8.正三棱柱 ABC?A1B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 的体积为( ) 3 A.3 B. 2 C.1 D. 3,D 为 BC 中点,则三棱锥 A?B1DC1

3 2 解析:选 C.由题意可知 AD⊥BC,由面面垂直的性质定理可得 AD⊥平面 DB1C1,又 AD= 1 1 1 2sin 60°= 3,所以 VA?B1DC1= AD·S△B1DC1= × 3× ×2× 3=1,故选 C. 3 3 2 9.(2015·日照二模)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图 所示,则该四棱锥侧面积和体积分别是( )

A.4 5,8 8 C.4( 5+1), 3

B.4 5, D.8,8

8 3

解析:选 B.由题意可知该四棱锥为正四棱锥,底面边长为 2,高为 2,侧面上的斜高为 1 8 ?1 ? 2 2 2 2 +1 = 5,所以 S 侧=4×? ×2× 5?=4 5,V= ×2 ×2= . 3 3 ?2 ?

10. (2015·济南市第一次模拟)如图, 在正四棱柱 ABCD?A1B1C1D1 中, 点 P 是平面 A1B1C1D1 内一点,则三棱锥 P?BCD 的正视图与侧视图的面积之比为( )

3

A.1∶1 B.2∶1 C.2∶3 D.3∶2 解析:选 A.根据题意,三棱锥 P?BCD 的正视图是三角形,且底边为正四棱柱的底面边 长、高为正四棱柱的高,侧视图是三角形,且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的 高,故三棱锥 P?BCD 的正视图与侧视图的面积之比为 1∶1. 11.已知某组合体的正视图与侧视图相同(其中 AB=AC,四边形 BCDE 为矩形),则该组 合体的俯视图可以是________(把正确的图的序号都填上).

解析:几何体由四棱锥与四棱柱组成时,得①正确;几何体由四棱锥与圆柱组成时,得 ②正确; 几何体由圆锥与圆柱组成时, 得③正确; 几何体由圆锥与四棱柱组成时, 得④正确. 答案:①②③④ 12.(2015·滨州模拟)一平面截一球得到直径为 2 5 cm 的圆面,球心到这个平面的距 离是 2 cm,则该球的体积是________. 解析: 因为球心和截面圆心的连线垂直于截面, 由勾股定理得, 球半径 R= 2 +( 5) 4 3 3 =3,故球的体积为 π R =36π (cm ). 3 3 答案:36π cm 13.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是 1∶4,母线长是 10 cm, 则圆锥的母线长为________ cm. 解析:
2 2

作出圆锥的轴截面如图, 设 SA=y,O′A′=x, 利用平行线截线段成比例, 得 SA′∶SA=O′A′∶OA, 40 则(y-10)∶y=x∶4x,解得 y= . 3 40 所以圆锥的母线长为 cm. 3

4

40 答案: 3 14.如图是某空间几何体的三视图,则该几何体的体积为________.

解析:由三视图可知,该几何体是棱长为 2,2,1 的长方体挖去一个半径为 1 的半球, 1 4 2π 3 所以长方体的体积为 2×2×1=4,半球的体积为 × π ×1 = ,所以该几何体的体积是 2 3 3 2π 4- . 3 2π 答案:4- 3 15. 如图,正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别为线段 AA1,B1C 上的点,则三棱 锥 D1?EDF 的体积为________.

解析:因为 B1C∥平面 ADD1A1,所以 F 到平面 ADD1A1 的距离 d 为定值 1,△D1DE 的面积为 1 1 1 1 1 1 D1D·AD= ,所以 VD1 ?EDF=VF?D1 DE= S△D1 DE·d= × ×1= . 2 2 3 3 2 6 1 答案: 6 [B 卷] 1.一个锥体的正(主)视图和侧(左)视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯 视图的是( )

解析:选 C.根据三视图中“正俯长一样,侧俯宽一样,正侧高一样”的规律,C 选项的 3 侧视图宽为 ,不符合题意,故选 C. 2 2. (2015·邢台市摸底考试)已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为 1 的正方形, 如图所示,则该几何体的体积为( )

5

1 6 2 C. 3 A.

1 3 5 D. 6 B.

解析: 选 D.依题意得, 题中的几何体是从棱长为 1 的正方体 ABCD?A′B′C′D′中截去 1 ?1 2? 5 3 三棱锥 A′?ABD 后剩余的部分,因此该几何体的体积等于 1 - ×? ×1 ?×1= ,选 D. 2 3 ? 6 ?

3.(2014·高考湖南卷)一块石材表示的几何体的三视图如图所示.将该石材切削、打 磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )

A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 B. 由三视图可知该几何体是一个直三棱柱,如图所示.

由题意知, 当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时, 该球的 1 半径最大,故其半径 r= ×(6+8-10)=2.因此选 B. 2 π 4.(2015·高考山东卷)在梯形 ABCD 中,∠ABC= ,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯 2 形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )

6

2π 3 5π C. 3 解析:选 C. A.

B.

4π 3

D.2π

过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E, 梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而形成的旋转 体是由以线段 AB 的长为底面圆半径,线段 BC 为母线的圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆半 1 径, ED 为高的圆锥, 如图所示, 该几何体的体积为 V=V 圆柱-V 圆锥=π · AB2· BC- · π· CE2· DE 3 1 5π 2 2 =π ×1 ×2- π ×1 ×1= ,故选 C. 3 3 5.(2015·芜湖市质量监测)已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸 (单位:cm)可得这个几何体的体积是( )

4 3 cm 3 3 C.3 cm A.

8 3 cm 3 3 D.4 cm B.

解析:选 B.由三视图可知该几何体是一个底面为正方形(边长为 2)、高为 2 的四棱锥, 8 3 如图所示.由四棱锥的体积公式知所求几何体的体积 V= cm . 3

6.(2015·聊城市第一次质量预测)某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直 角三角形,则 xy 的最大值为( )

A.32 B.32 7 C.64 D.64 7 解析:选 C.依题意,题中的几何体是三棱锥 P?ABC(如图所示),

7

其中底面 ABC 是直角三角形,AB⊥BC,PA⊥平面 ABC, BC=2 7,PA2+y2=102,(2 7)2+PA2=x2, 因此 xy=x 10 -[x -(2 7) ]= x2+(128-x2) 2 2 x 128-x2≤ =64,当且仅当 x =128-x ,即 x=8 时取等号,因此 xy 2 的最大值是 64,选 C. 7.(2015·山西省第三次四校联考)在半径为 10 的球面上有 A,B,C 三点,如果 AB= 8 3,∠ACB=60°,则球心 O 到平面 ABC 的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:选 C.设 A,B,C 三点所在圆的半径为 r,圆心为 P.因为∠ACB=60°,所以∠APB 4 3 =120°.在等腰三角形 ABP 中,AP= =8,所以 r=8,所以球心 O 到平面 ABC 的距 sin 60° 离为 10 -8 =6,故选 C. 8.(2015·山西省考前质量检测)某几何体的正视图与俯视图如图所示,若俯视图中的 多边形为正六边形,则该几何体的侧视图的面积为( )
2 2 2 2 2

15 B.6+ 3 2 3 C. +3 3 D.4 3 2 解析:选 A.侧视图由一个矩形和一个等腰三角形构成,矩形的长为 3,宽为 2,面积为 1 3 3×2=6.等腰三角形的底边为 3,高为 3,其面积为 × 3× 3= ,所以侧视图的面积 2 2 3 15 为 6+ = ,故选 A. 2 2 9.(2015·洛阳市高三年级统考)如图是某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表 面积为( ) A.

8

A.200π B.150π C.100π D.50π 解析:选 D.由三视图知,该几何体可以由一个长方体截去一个角后得到,该长方体的 2 2 2 长、宽、高分别为 5、4、3,所以其外接球半径 R 满足 2R= 4 +3 +5 =5 2,所以该几何 ?5 2?2 2 体的外接球的表面积为 S=4π R =4π ×? ? =50π ,故选 D. ? 2 ? 10.在三棱锥 P?ABC 中,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,D 为侧棱 PC 上的一点,它的正视图和 侧视图如图所示,则下列命题正确的是( )

8 A.AD⊥平面 PBC,且三棱锥 D?ABC 的体积为 3 8 B.BD⊥平面 PAC,且三棱锥 D?ABC 的体积为 3 16 C.AD⊥平面 PBC,且三棱锥 D?ABC 的体积为 3 16 D.BD⊥平面 PAC,且三棱锥 D?ABC 的体积为 3 解析:选 C.由正视图可知,PA=AC,且点 D 为线段 PC 的中点,所以 AD⊥PC.由侧视图 可知,BC=4.因为 PA⊥平面 ABC,所以 PA⊥BC.又因为 BC⊥AC,且 AC∩PA=A,所以 BC⊥平 1 ?1 ? 面 PAC, 所以 BC⊥AD.又因为 AD⊥PC, 且 PC∩BC=C, 所以可得 AD⊥平面 PBC, VD?ABC= ×? PA? 3 ?2 ? 16 ×S△ABC= . 3 11. 如图,三棱锥 V?ABC 的底面为正三角形,侧面 VAC 与底面垂直且 VA=VC,已知其 2 正视图的面积为 ,则其侧视图的面积为________. 3

9

4 解析:设三棱锥 V?ABC 的底面边长为 a,侧面 VAC 边 AC 上的高为 h,则 ah= ,其侧视 3 图是由底面三角形 ABC 边 AC 上的高与侧面三角形 VAC 边 AC 上的高组成的直角三角形, 其面 1 3 4 3 积为 × × = . 2 2 3 3 3 3 12.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积是________. 答案:

解析:该几何体的直观图如图.

1 1 1 表面积 S=1×1+ ×1×1×2+2× ×(1+2)×1+ × 6× 2=5+ 3. 2 2 2 答案:5+ 3 13.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2,体积分别为 V1,V2,若它们的侧面积相 S1 9 V1 等,且 = ,则 的值是________. S2 4 V2 2 S1 9 π r1 9 r1 解析:设两个圆柱的底面半径和高分别为 r1,r2 和 h1,h2,由 = ,得 2= ,则 = S2 4 π r2 4 r2 2 3 h1 2 V1 π r1h1 3 .由圆柱的侧面积相等,得 2π r1h1=2π r2h2,即 r1h1=r2h2,则 = ,所以 = 2 = . 2 h2 3 V2 π r2h2 2 3 答案: 2 14.(2015·洛阳市统考)已知点 A,B,C,D 均在球 O 上,AB=BC= 6,AC=2 3,若 三棱锥 D?ABC 体积的最大值为 3,则球 O 的表面积为________. π 解析:由题意可得,∠ABC= ,△ABC 的外接圆半径 r= 3,当三棱锥的体积最大时, 2 1 1 1 2 2 VD?ABC= S△ABC· h(h 为 D 到底面 ABC 的距离), 即 3= × × 6× 6h? h=3, 即 R+ R -r = 3 3 2 2 3(R 为外接球半径),解得 R=2,所以球 O 的表面积为 4π ×2 =16π . 答案:16π
10

15.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.

解析:作出三视图所对应的几何体(如图),底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,SD⊥平面 1 ABCD,EC⊥平面 ABCD,SD=2,EC=1,连接 SC,则该几何体的体积为 V=VS?ABCD+VS?BCE= × 3 1 1 10 4×2+ × ×2×1×2= . 3 2 3

10 答案: 3

11


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