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工程光学Chp2习题答案


Chp2
1.针对位于空气中的正透镜组( f ' > 0 )及负透镜组( f ' < 0 ) ,试用作图法分别对以下物 距 ? ∞ , ? 2 f , ? f , ? f / 2 , 0 , f / 2 , f , 2 f , ∞ ,求像平面的位置。 【提示】首先应清楚标示系统基点 HH'和 FF';正确标出物点 A 位置;坚持光线由左向右传 播的原则;注意只有相同空间的参量才能用光线直接相连。 【解】对于正透镜组 f ' > 0

(a ) l = ?∞

(b ) l = ?2 f

=2f

'

F

H

H'

F'

F

H

H' A'

F'

A

(c ) l = ? f

= f

'

(d ) l = ? f / 2 =

f '/ 2

F'(A) F H H' A' F H H' A A'

F'

(e ) l = 0

(f ) l =

f / 2 = ? f '/ 2

F H(A)

H' (A') F'

A F A' H

F' H'

(g) l = f = ? f '

(h) l = 2 f = ?2 f '

A' F(A) H H' F' A F H H' F'

1

(i )l = +∞

A' F H H' F'

对于负透镜组 f ' < 0

(a) l = ?∞

(b) l = ?2 f

A' F' H' H F

A F'

A' H' H F

(c ) l = ? f

(d ) l = ? f / 2

F'(A) A' H'

H

F

F' A A' H'

H

F

(e) l = 0

(f) l = f /2

F' F' H'(A') H (A) F

A'A H' H

F

(g) l = f

( h) l = 2 f

F'

H'

H

A' F(A) F' H' H F

A

2

(i ) l = +∞

A' F' H' H F

2.已知照相物镜的焦距 f ' = 75mm ,被摄景物位于(以 F 点为坐标原点) x = ?∞ 、-10m、 -8m、 -6m、 -4m、 -2m 处, 试求照相底片应分别放在离物镜的像方焦面多远的地方。 【提示】应用牛顿公式 【解】牛顿公式

xx' = ff '

∵ f '= ? f

? f '2 ∴ x' = x

x1' =
' x2 ' x3 ' x4 ' x5 ' x6

? 75 2 =0 (位于像方焦面上) ?∞ ? 75 2 = = 0.5625(mm) (像方焦面右测) ? 10 × 10 3 ? 75 2 = = 0.703125(mm) (像方焦面右测) ? 8 × 10 3 ? 75 2 = = 0.9375(mm) (像方焦面右测) ? 6 × 10 3 ? 75 2 = = 1.40625(mm) (像方焦面右测) ? 4 × 10 3 ? 75 2 = = 2.8125(mm) (像方焦面右测) ? 2 × 10 3

3. 设一系统位于空气中, 垂轴放大率 β = ?10 x , 由物面到像面的距离 (共轭距离) 为 7200mm, 物镜两焦点间距离为 1140mm。求该物镜焦距, 并绘出基点位置图。 【提示】 【解】设系统结构如图 2-1(a)所示, HH ' 间的距 离为 x 因系统位于空气中,故有: f ' = ? f 由已知条件可得到如下方程:
-l A F -f x H H' f' l' F' A'

(a)
-x A F -f -l H' F' f' l' A'

y' l ' ? ? β = y = l = ?10 ? ? f '+ (? f ) + x = 1140 ? l '+(? l ) + x = 7200 ? ?

H

(b) 图 2-1 3

解得: f ' = 600mm , x = ?60mm 该系统的实际基点基面位置如图 2-1(b)所示。 4.已知一个透镜把物体成像为放大 ? 3 x 的实像。当透镜向物体移近 18mm 时,物体将被成 像为放大 ? 4 x 的实像,试求透镜的焦距,并用图解法校核之 【提示】 光学系统的垂轴放大率随物像共轭面位置的变化而变化。 本题可利用高斯公式或牛 顿公式求解,也可利用轴向放大率的概念求解。 【解】方法 1:利用高斯公式求解,设透镜焦距为 f ' , l1 、 l1 ' 、 l 2 、 l 2 ' 分别为物处在两个 位置时的物像距。 根据已知条件可列如下方程

? l1' = = ?3 β ? 1 l1 ? ' ? l2 ? β 2 = = ?4 l2 ? ?? l1 = ?l 2 + 18 ? 1 1 1 ? = ? ? l '1 l1 f ' ? 1 1 1 ? l' ? l = f ' 2 ? 2

? l1 = ?288mm ? ? l1 ' = 864mm ? 解得: ?l 2 = ?270mm ? l ' = 1080mm ?2 ? ? f ' = 216mm

∴ 透镜得焦距为 f ' = 216mm 方法 2:利用牛顿公式求解,设透镜焦距为 f ' = ? f , x1 、 x 2 分别为物处在两个位置时 的物距。 根据已知条件可列出如下方程

f ? ? β 1 = ? x = ?3 1 ? f ? = ?3 ?β 2 = ? x2 ? ? x 2 ? x1 = 18 ? ?

解得: f = ?216mm

∴ 透镜得焦距为 f ' = ? f = 216mm 方法 3:利用轴向放大率得概念求解,设透镜焦距为 f ' = ? f , x1 、 x 2 、 x'1 、 x' 2 分别 为物处在两个位置时的物像距。

α=

Δx ' n ' = β 1 β 2 = (?3)(?4) = 12 Δx n

Δx ' = 12Δx = 12 × (?18) = ?216

4

由牛顿公式 β = ?

x' 得 f' = Δx ' = ?3 + 4 = 1 f'

∴ β1 ? β 2 =

' ' ? x1 + x2

f

'

∴ 透镜得焦距为 f ' = Δx' = 216mm 校验图如图所示。 5.一个薄透镜对某一物成一实像,放大率为 ? 1 ,今以另一个薄透镜紧贴在第一透镜上,则 见像向透镜方向移动 20mm,放大率为原先的 3 4 倍,求两块透镜的焦距为多少? 【提示】利用高斯公式和组合焦距公式求解。 【解】设两个透镜焦距为 f1 、 f 2 , l1 、 l1 ' 是一个透镜成像时的物像距, l ' 、 l ' 是两个透镜 一起成像时的物像距。根据已知条件可列出如下方程
' '
×

? l1' ?β1 = = ?1 l1 ? ' ' ?l = l + 20 ?1 ? 1 1 1 ? = ?1 + ? 2 = ' + ' = ? ? f' f1 f2 ? l' 3 ? ?β = l = ? 4 ? ?1 ? 1 = 1 ?l' l f' ? ? ?l1 = l

2 ?1 ? f ' = l' ? 1 解得 ? 1 1 7 ? = ? ? f ' 4l '

β1 l1'l 4 又有 = = β l1l ' 3
此 式 与
' 1

l1' 4 可知 ' = l 3
联 立 , 得
A B' B -l1 A B 100 -l2 l'2 A' 图 2-2 B' l'1 A'

l1' = l ' + 20

? ?l = 80 ? l1 = l = -80 ?' ? ?l = 60
则 ?1 =

1 40
'

?=

7 1 ?2 = 240 240
f 2' = 240mm

可得到 f1 = 40mm

6.有一正薄透镜对某一物成倒立的实像,像高 为物高的一半, 今将物面向物体移近 100mm, 则所得像与物同大小, 求该正透镜组的焦距。 【提示】
5

β1 =
【解】由已知得:
' l2 = ?1 l2

l1' 1 =? 2 l1

β2 =

? l1 = ?l 2 + 100 1 1 1 1 ? = ' ? l2 l1' l1 l 2

由高斯公式: 解得: f
'

=

? l2 = 100mm 2

7.希望得到一个对无限远成像的长焦距物镜,焦距 f ' = 1200mm ,由物镜顶点到像面的距 离(筒长) L = 700mm ,由系统最后一面到像平面距离(工作距)为 lk = 400mm ,按
'

最简单结构的薄透镜系统考虑,求系统结构,并画出光路图。 【提示】此系统为摄远型光学系统,也是一个透镜组合成像问题,要首先搞清楚摄远型物镜 的一般结构组成特点,然后应用两个透镜组合焦距公式或应用正切计算法求解。 【解】方法 1,应用正切计算法求解。 筒长 L = d + l F = 700mm l F = 400mm
' '

f ' = 1200mm
u'1 u'2 l' F

由上知 d = L ? l F = 300mm
'

h1 ? ' ? f = tgu ' ? 2 由 ? ?tgu ' = h2 2 ' ? lF ?
h tgu = 1' f1
' 1

d

?

h1 f1 1200 = ' = =3 400 h2 l F

- l' H f'

h d h2 = h1 ? d ? tgu = h1 ? d ? 1' = h1 (1 ? ' ) f1 f1
' 1

图 2-3

∴1 ?

d 1 = f1' 3

可 知 f1' = 450mm
可得

由 ? = ?1 + ? 2 ? d?1? 2

1 1 1 = + ? 2 ? 300 × ?2 1200 450 450

∴? 2 = ?

5 1200

f 2' = ?240mm
'

方法 2,利用组合透镜的焦距公式求解,由已知条件可知 d = L ? l F = 300mm 又可推出
' = f (1 ? lF

d ) f1'
6

所以 l H = ?( f ? l F ) = ? f ?
' ' ' '

d 300 = ?1200 × ' = ?(1200 ? 400) 解得 f1' = 450mm ' f1 f1 ∴ f 2' = ?240mm
'

又∵ f = ?
'

f1' f 2' Δ

即 1200 = ?

450 ? f 2' 300 ? 450 ? f 2'

8.一短焦距物镜,已知其焦距为 35mm,筒长 L = 65mm ,工作距离 lk = 50mm ,按最简 单的薄透镜系统考虑,求系统结构。 【提示】此系统为反远距型光学系统,根据最简单的结构组成应用正切计算法求解, 【解】根据已知条件可知
' d = L ? lF = 15mm

应用正切计算法可列出下列方程

? ' h1 ?tgu 2 = f ' ? ? h ' ?tgu 2 = '2 ? lF ?

h 10 ? 2 = h1 7
h1 f1'
图 2-4

f' l' F

F

L

∵ h2 = h1 ? d ? tgu1' = h1 ? d h2 d = (1 ? ' ) h1 f1 ∵? = ?1 + ? 2 ? d?1? 2

∴ f1' = ?35mm ∴ f 2' = 25mm

9.已知一透镜 r1 = ?200mm, r2 = ?300mm, d = 50mm, n = 1.5 ,求其焦距,光焦度,基点位置。 【提示】 【解】

? = 1 / f ' = (n ? 1)( ρ1 ? ρ 2 ) +
f ' = ?1440mm

(n ? 1) 2 dρ 1 ρ 2 = ?0.69m ?1 n

n ?1 dρ 1 ) = ?1560mm n n ?1 l F = ? f ' (1 + dρ 2 ) = 1360mm n n ?1 ' lH = ? f '( )dρ 1 = ?120mm n n ?1 lH = f ' ( )dρ 2 = ?80mm n
' lF = f ' (1 ?

10. 一薄透镜组焦距为 100mm, 和另一焦距为 50mm 的薄透镜组合, 其组合焦距仍为 100mm, 问两薄透镜的相对位置,并求基点位置,以图解法校核之。 【提示】
7

【解】∵ ? = ?1 + ? 2 ? d?1? 2

d=

100 50 d 100 ' = f ' (1 ? ' ) = 100 × (1 ? lF )=0 100 f1 lF = ? f ' (1 +
' lH =?f'

?1 + ? 2 ? ? 1100 + 150 ? 1100 = = 100mm 1 ?1? 2 ×1

d 100 ) = ?100 × (1 + ) = 100mm ?50 f2

F1

O 1 (H)

H F

d 100 = ?100 × = ?100mm ' 100 f1 d 100 = ?100 × = 200mm f2 ?50

lH = ? f '

11.长 60mm,折射率为 1.5 的玻璃棒,在其两端磨成曲率半径为 10mm 的凸球面,试求其 焦距及基点位置。 【提示】 【解】

(n ? 1) 2 ? = (n ? 1)( ρ1 ? ρ 2 ) + ? dρ1 ρ 2 n 1 1 0.25 1 1 = 0.5 × ( + ) + × 60 × × (? ) 10 10 1.5 10 10 1 1 = ? =0 10 10

f' =∞

' lF = f ' (1 ?

n ?1 ? dρ1 ) = ∞ n

l F = ? f ' (1 +

n ?1 ? dρ 2 ) = ∞ n n ?1 ' lH =?f' ? dρ1 = ∞ l H = ∞ n

12.一束平行光垂直入射到平凸透镜上,会聚于透镜后 480mm 处,如在此透镜凸面上镀银, 则平行光会聚于透镜前 80mm 处,求透镜折射率核凸面曲率半径。 【提示】 【解】①平行光线通过球面折射

l = ?∞, n ' = 1, l ' = 480
得到方程

代入

n' n n' ? n ? = l' l r

1 1? n = 480 r

→①

②平行光线经球面反射

8

1 1 2 + = l' l r
③光线经平面镜成像

其中

l = ?∞, l ' =

r 2

n' n ? =0 l' l
则有

将 B2 看成物, B1 看成像

l = ?∞, l ' =

r 2

C

B1(F')

B2 80 f '=480

A1

代入得

n 1 + =0 r 2 80

? r = ?160n → ②

r/2
图 2-6

将①②联立,得: ?

?n = 1.5 ?r = ?240mm

13.试以两个薄透镜组按下列要求组成光学系统: (1)两透镜组间间距不变,物距任意而倍 率不变。 (2)物距不变,两透镜组间间距任意改变而倍率不变。问该两透镜组焦距间关 系,求组合焦距的表达式。 【提示】 【解】∵ x1 x1 = f1 f1
' '

x1' =

f1 f1' x1 f2 x2

β1 = ?

f1 x1

β2 = ?

β = β1 β 2 = ?

f1 f1 f 2 ? f2 ? = ' x1 f1 f1 f1 f1' ? x1Δ ?Δ x1

① 若 d 不变时, x1 变而 β 不变 则 Δ=0 系统构成无焦系统

β=

f2 f' = ? 2' f1 f1

② 若 x1 不变,d 改变时而 β 不变 则 x1 = 0 即物位于第一个透镜的物方焦平面上。
' '

14.由两个薄透镜组成一个成像系统,两薄透镜组焦距分别为 f1 , f 2 ,间隔为 d,物平面 位于第一透镜组的焦平面上,求此系统的垂轴放大率、焦距及基点位置的表达式。 【提示】

9

【解】 (1)方法Ⅰ:

由前题推出

β=

f1 f 2 f1 f1' ? x1Δ

当 x1 = 0 时 方法Ⅱ:

β=

f2 f' = ? 2' f1 f1

F

x F1

-f1
- lF

F'1

F2

F'2 f'2

-x'

图 2-7

r=

tgu ' h f 2' f1' = = ? tgu ? h f1' f 2'
f 2 f 2' f 2' ? x' β = ? 'F = Δ = ? f1' f 2 f f1' Δ

β=

1 f' = ? 2' r f1

方法Ⅲ:

方法Ⅳ(此方法需要先求出基点位置) :β =?

f f =? x f ? lF

(2) ? = ?1 + ? 2 ? d?1? 2

f'=

f1' f 2' f1' + f 2' ? d

(3) l F = f (1 ?
' '

d f 2' (d ? f1' ) ) = f1' d ? f1' ? f 2'

d f1' ( f 2' ? d ) l F = ? f (1 + ) = f2 d ? f1' ? f 2'
' ' lH =?f '?

d df 2' = f1 d ? f1' ? f 2'

lH = ? f ' ?

d ? df1' = f 2 d ? f1' ? f 2'

15.一块厚透镜, n = 1.6, r1 = 120mm, r2 = ?320mm, d = 30mm, 试求该透镜焦距和基点位置。 如果物距 l1 = ?5m 时,问像在何处?如果平行光入射时,使透镜绕一和光轴垂直的轴转
10

动,而要求像点位置不变,问该轴应装在何处? 【提示】 首先应明确物 (像) 距的概念。 对于理想光学系统, 物 (像) 距一般指主面到物 (像) 的距离;对于实际光学系统,物(像)距一般指透镜第一面顶点(最后一面顶点)到物 (像)的距离。本题通常有两种解法: (1)先将透镜等效为一个理想光学系统,求出系 统的基点和基面位置;把透镜系统物镜转换为理想光学系统物镜求解,求出像距值后再 转到透镜系统中。 (2)可按照两个单个折射球面的组合直接求解。 【解】方法 I 先求厚透镜的等效理想光学系统模型:

f '=

nr1 r2 = 149.27 mm (n ? 1)[n( r2 ? r1 ) + (n ? 1)d ]

n ?1 dρ 1 ) = 135.28mm n n ?1 l F = ? f ' (1 + dρ 2 ) = ?144.02mm n n ?1 ' lH =?f ' dρ 1 = ?13.99mm n n ?1 lH = ? f ' dρ 2 = 5.25mm n
' lF = f ' (1 ?

A

H

H'

A'

- l1 -l

lH

l'H l'

l'2

各参数如图所示。 根据高斯公式求像点位置:

图 2-8

l = l1 ? l H = ?5000 ? 5.25 = ?5005.25mm ∵ 1 1 1 ? = l' l f '

∴ l ' = 153.86mm

' ' l2 = l ' + lH = 153.86 ? 13.99 = 139.89mm

方法 II


n'1= n2=1.6 n1=1.33 n'2=1

根据节点的性质,绕过像方节 点 H' 的轴旋转可满足要求。 16.如上题中的透镜第一面在水中, 求 基 点位 置及 物 、像 方焦 距 。 当
F

F'

l1 = ?5m 时,问像面应在何处?当
平行光入射时,转轴装在何处,可 使像点不移动? 【提示】 【解】 (1)如右图所示 设
11 -x
- l1 -lF lH -l'H -l'F

-f

f'

图 2-9

h1 = 10mm

l = ?∞

i1 =

h1 10 = 0.08333 r1 120 h1 1.33 i = × 0.08333 = 0.0692681 ' 1 h1 1.6

i1' =

' ' u1 = i1 ? i1 = 0.140619

h1 = l1u1 = l1'u1'

∴ l1 = 711.13956(mm)

l 2 = l1' ? d = 681.13956 h2 = h1 ? d ? tgu1' = 10 ? 30 × 0.0140625 = 9.578125(mm)
' i2 =

n2 i = 1.6 × i2 = ?0.0253906 ' 2 n2

' ' u2 = u2 + i2 ? i2 = 0.023584

f'=

h1
' u2

= 424.01628(mm)

' lF =

h2
' u2

= 406.1281(mm)

' ∴ lH = ?17.888185(mm)

(2)设

h1 = 10mm

i1 =
i1' =

10 = 0.03125 320
h1 × i1 = 0.0195313 h1'

' ' u1 = u1 + i1 ? i1 = 0.0117188 ' h1 = l1u1 = l1' u1

∴ l1' =

10 = 853.33333 0.0117188

l 2 = l1' ? d = 823.33333

12

? f ' = 248.646(mm) ?' ?l F = 238.273(mm) ?' ?l H = ?10.373(mm)

? f = ?331.445(mm) ? ?l F = ?319.793(mm) ?l = 11.652(mm) ?H

x = ?4680.207(mm)
' ∴ l2 = 255.882(mm)

x ' = 17.609(mm)

(3)轴应装在第二面的顶点左侧 93.172mm 处。 17 . 由 三 个 薄 透 镜 , 其 焦 距 分 别 为 f1 = 100mm, f 2 = 50mm, f 3 = ?50mm , 其 间 隔
' ' '

d1 = 10mm, d 2 = 10mm ,求组合系统的基点位置。
【提示】 【解】组合Ⅰ: (如下图所示)正向光距近迹:
L1 L2 L3

10 F F1 H H' 4.359

10
l'F

F'

F'1

f' 64.1025 10.2564

图 2-10



h1 = 10mm u1 = 0

tgu1' = tgu1 +

h1 10 = = 0.1 = tgu 2 f1' 100

h2 = h1 ? d ? tgu1' = 10 ? 10 × 0.1 = 9mm
' tgu 2 = tgu 2 +

h2 9 = 0.1 + = 0.28 = tgu3 ' f2 50

' h3 = h2 ? d ? tgu 2 = 9 ? 10 × 0.28 = 6.2mm

' tgu3 = tgu3 +

h3 6.2 = 0.28 ? = 0.156 ' f3 50

13

' ∵ tgu 3 =

h1 f'

∴f'=

10 = 64.1025mm 0.156
主面位于第一光组左侧.4.359mm.

' lF =

h3 6.2 = = 39.7435mm ' tgu 3 0.156

组合Ⅱ: (如下图所示)
L3 L2 L1

h1

h2

h3
l'H f' l'F

F'

图 2-11

设 h1 = 10mm

u1 = 0

tgu1' = tgu1 +

h1 10 = = ?0.2 = tgu2 ' f1 ? 50

h2 = h1 ? d ? tgu1' = 10 + 10 × 0.2 = 12mm
' tgu 2 = tgu 2 +

h2 12 = ?0.2 + = 0.04 = tgu3 ' f2 50

' h3 = h2 ? d ? tgu 2 = 12 ? 10 × 0.04 = 11.6mm

' tgu 3 = tgu 3 +

h3 11.6 = 0.04 + = 0.156 ' 100 f3 ∴f'= 10 = 64.1025mm 0.156
' ' ∵ lH + f ' = lF ' ∴ lH = 10.2564mm

' ∵ tgu 3 =

h1 f'

' lF =

h3 11.6 = = 74.358974mm ' tgu 3 0.156

将此参数放回原光路中,得

f = ?54.1025mm

l H = ?10.2564mm

14


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