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第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八讲 第九节 第十节 角的和、差、倍、分 ............................ 1 线段的和、差、倍、分 .......................... 6 证明两直线的位置关系 ......................... 12 运用角平分线、中垂线和中点 ........

........... 19 灵活运用“三线合一”的性质 ................... 25 旋转的等腰直角三角形 ......................... 31 三角形的三要素 ............................... 37 翻折法、补形法解题 ........................... 47 面积法解题 ................................... 52 中位线的性质解题 ............................. 59

第一节
【典型例题】

角的和、差、倍、分

二倍角问题的辅助线添法
例 1 已知:如图所示, ?ABC 中, ?A ? 2?B, CD 平分 ?ACB .求证:BC=AC+AD.

C

A

D

B

例 2 已知:如图所示,在 ?ABC 中, ?A ? 2?B, AB ? 2 AC .求证: ?C ? 90 ? .

C

A

B

例 3 已知:在 ?ABC 中, ?ACB ? 2?B .求证: 2 AC ? AB .

例 4 已知:AD 是 ?ABC 的中线, ?C ? 2?B, AC ? 角形.

1 BC .求证: ?ADC 是等边三 2

1

证明角的和、差、倍、分
例 1 如图所示,已知 ?ABC 中, ?C ? ?B ,AD 是角平分线, AE ? BC 于 E,求证:
?DAE ? 1 ??C ? ?B ? 2

A

B

DE

C

例 2 如图所示,已知:E 为 ?ABC 的边 BC 延长线上一点, ?ABC ,?ACE 的平分线 相交于 D.求证: ?D ?

1 ?A . 2
D A

B

C

E

例 3

如图所示,已知: ?ABC 中, ?ABC 和 ?ACB 的平分线相交于点 O.求证:

?BOC ? 90 ? ?

1 ?A . 2

A

E

D O

B
2

C

例 4 如图所示,已知 DO 平分 ?ADC ,BO 平分 ?ABC ,求证: ?A ? ?C ? 2?O .

C E O F A G B

D

例 5 如图所示,已知 AB ? AC ,AD 平分 ?BAC, EF ? AD ,垂足为 G,EF 交 AB 于 E,交 AC 于 F,交 BC 的延长线于 M.求证: ?M ?

1 ??ACB ? ?B ? . 2
A

E G B D C M

例 6 如图所示,已知 ?ABC 中,AB=AC, CD ? AB 交 BA 延长线于 D,E,F 分别是 AC、BC 的中点.证明: ?EDF ? 90 ? ?

1 ?BAC . 2

A

D

E B F C

3

【大展身手】
1.如图所示,已知 D 为 ?ABC 内任意一点,求证: ?BDC ? ?A ? ?ABD ? ?ACD .

A

D B C

2.如图所示,线段 BP、BE 把 ?ABC 三等分,线段 CP、CE 把 ?ACB 三等分.求证:

?BPC ?

1 ??A ? ?BEC ? . 2

A

P E B C

3. 如图所示,?ABC 中, 延长 BC 到 D,?ABC 与 ?ACD 的平分线相交于 E 点,?EBC 与 ?ECD 的平分线相交于 F 点,求证: ?F ?

1 ?A . 4
E A F

4

B

C

D

【小试锋芒】
1.求证:等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.

2 . 如 图 所 示 , ?ABC 中 , 外 角 ?CBD,?BCE 的 平 分 线 交 于 点 O , 求 证 :

1 ?BOC ? 90 ? ? ?A . 2

A

B D O

C E

5

第二节
【典型例题】

线段的和、差、倍、分

线段的倍分问题
例 1 已知:如图所示,点 D、E 分别是等边 ?ABC 的边 AC、BC 上的点,AD=CE,BD、AE 交于点 P, BQ ? AE 于 Q.求证: PQ ?

1 PB . 2

A P D

Q B E C

例 2 如图所示,在 ?ABC 中, AB ? AC=2AM.

1 BC ,D 是 BC 的中点,M 是 BD 的中点.求证: 2
A

B

M

D

C

例 3 如图所示,已知 ?ABC 中, ?1 ? ? 2 ,AD=DB, DC ? AC .求证: AC ? A
6

1 AB . 2

1

2 C

例 4

已知:如图所示,在 Rt?ABC 中, ?B ? 90?, ?CAD ?

1 ?BAC ,过点 D 作 2

DE ? AC ,DE 恰好是 ?ADC 的平分线.求证: BD ?

1 DC . 2
A

E

B

D

C

例 5 已知: 如图所示, ?ABC 中, 在 AB=AC,?BAC ? 120 ? , 是 BC 的中点,DE ? AB D 于 E.求证:EB=3EA. A E

B

D

C

例 6 已知:如图所示,锐角 ?ABC 中, ?ABC ? 2?C ,BE 是角平分线, AD ? BE , 垂足是 D.求证:AC=2BD. A E D
7

B

C

例 7 如图所示,在 ?ABC 中,AB=AC, ?BAC ? 90? ,BE 平分 ?ABC ,交 AC 于 D,

CE ? BE 于 E 点,求证: CE ?

1 BD . 2

A E D

B

C

线段和差
例 8 如图所示, 已知 ?ABC 中,?A ? 2?B , 是 ?ACB 的平分线, CD 求证: BC=AC+AD. A D

B

C

例 9 如图所示,在等腰三角形 ABC 中,P 是底边 BC 上的任意一点. (1)求证:P 点到两 腰的距离之和等于腰上的高; (2)若 P 点在 BC 的延长线上,那么点 P 到两腰的距离与腰
8

A

上的高三者之间存在什么关系?(3)若 P 点在 CB 的延长线上呢?

例 10 如图所示,若 E 为正方形 ABCD 的边 BC 上一点,AF 为 ? DAE 的平分线,AF 与 CD 相交于 F 点.求证:AE=BE+DF. A D

F B E C

例 11 如图所示,已知 ?ABC 和 ?ADE 均为等边三角形,B、C、D 在一直线上,求证: CE=AC+CD. A E

B

C

D

例 12 如图所示,等腰三角形 ABC 中,AB=AC, ?A ? 108 ? ,BD 平分 ?ABC .求证: BC=AB+DC. A D B C

9



13

如 图 所 示 , 在 ?A B C中 , AB=AC , D

为 ?ABC 外 的 点 , A

1 ?ABD ? 60?, ?ADB ? 90? ? ?BDC ,求证:AB=BD+DC. 2

B

D C

【大展身手】
1.已知:如图所示,在 ?ABC 中,AB=AC, ?A ? 120 ? ,AB 的垂直平分线 MN 分别交 BC、 AB 于点 M、N.求证:CM=2BM. C

M

B

N

A

2.已知:如图所示, ?ABC 是等边三角形,D 是 AB 的中点,且 DE ? BC 于 E.求证:

BE ?

1 BC . 4

A

D

B 3.如图所示,在 ?ABC 中, ?ACB ? 90? ,P 是 AC 的 中点, A 过 BP 的垂线交 BC 延长线于点 D, 是垂足. 过 E 若

E

C

A

?DBE ? 30? ,求证:BP=4PE.
E P
10

B

C

D

4.已知:如图所示,在 ?ABC 中, AB=AC, ?BAC ? 120 ? , P 是 BC 上一点, 且

?BAP ? 90? .求证:PB=2PC.

A

B

P

C

5.如图所示,已知 ?ABC 是等腰三角形,AB=AC, ?BAC ? 45? ,AD 和 CE 是高,它们 相交于 H,求证:AH=2BD. A

E H B D C

6.如图所示,已知 ?ABC 中, ?A ? 60? ,BD、CE 分别平分 ?ABC 和 ?ACB ,BD、CE 交于点 O.求证:BE+CD=BC. A

E O

D

B 7.如图所示,已知在 ?ABC 中, ?C ? 90 ? ,AC=BC,AD 是 ?BAC 的平分线,求证: AB=AC+CD. C D
11

C

A

B

8.如图所示,等边 ?ABC 和等边 ?BDE ,点 A 在 DE 的延长线上,求证:BD+DC=AD. C D E A B

第三节
【典型例题】

证明两直线的位置关系

证明两线段平行
例 1 如图所示,在 ?ABC 中,P、Q 分别是 BC、AC 上的点,作 PR ? AB,PS ? AC ,垂 足分别是 R、S.若 AQ=PQ,PR=PS.求证: (1)AS=AR; (2)QP∥AR. R P B

C Q S 例 2 如图所示,已知: DE ? AC ,BF ? AC ,垂足分别为 E、F,DE=BF,AF=CE,求 证:AB∥CD. D F E A B C

A

例 3 如图所示,已知 AB=EF,AD=CF,BD=EC,求证: (1)?ADC ? ?FCD ; (2)AC=FD; E
12

A

C

(3)AC∥FD.

例 4 如图所示, 已知: 是线段 AB 上一点, C 分别以 AC、 为边作等边三角形 ACD 和 CBE, CB AE、CD 交于 M,BD 交 CE 于 N.求证:MN∥AB. D E M A N B

C

证明两条直线互相垂直 【典型例题】
例 1 如图所示,已知在 Rt?ABC 中, ?ACB ? 90? ,CA=CB,点 D 在 BC 的延长线上, 点 E 在 AC 上,且 CD=CE,延长 BE 交 AD 于点 F,求证: BF ? AD . D C F E

A

B

例 2 如图所示,在 ?ABC 中, ?BAC ? 90?, AB=AC,E 是 AC 的中点, CD ? AC ,ED 交 BC 于 F.若 CD=AB,求证: AF ? BE . A E B C F

13

D

如图所示,已知 ?XOY ? 90? ,A 在 OX 上,B 在 OY 上, ?MBO ,?NBA 均为等 Y N 边三角形,求证: BM ? MN . B 例3 M O A X

计算法证垂直 【典型例题】
DM ? 例 1 如图所示, 正方形 ABCD 的边长为 a , N 分别在 CD 和 BC 上, M、
求证: AM ? MN . D M

1 2 a, CN ? a , 3 9
C N

A
2

B

例 2 如图所示,在 ?ABC 中,CD 是 AB 边上的高,且 CD ? AD ? BD ,求证: ?ABC 是直角三角形. C

A

D

B

? 例 3 在 Rt?ABC 中, C ? 90?, AB ? c, BC ? a, AC ? b, h 为斜边 AB 边上的高, 求证:
以 h, a ? b, c ? h 为边的三角形是直角三角形.
14

例 4

若 ?ABC 的三边 a, b, c 满足条件 a ? b ? c ? 338 ? 10a ? 24b ? 26c ,试判断
2 2 2

?ABC 的形状.

例 5 已知: 如图所示, AD=4, DC ? 2 3, CB ? 3, BA ? 5, ?ADC ? 90?, ?DAB ? 60?,

DE ? AB 于 E.求证: ?B ? 90? .
D

C

A

E

B

【大展身手】
? 1. 如图所示, 已知 ?ABC 中, 平分 ?ACB , AE ? CE , AED ? ?CAE ? 180 ? . CE 且 求 A 证:ED∥BC.
D E

B

C

2.已知:如图所示,AB∥CD,OA=OD,延长 OA 到 E,延长 OD 到 F,使 AE=DF.求证:EB ∥CF. C D
15

F

O A

3.如图所示, ?ABC 中, ?B ? ?C ,D 是 BC 的中点, ?BDE ? ?CDF ,DE、DF 分 别交 CA、BA 延长线于 E、F.求证:EF∥BC. E A F

B

D

C

4.如图所示,B、E、F、C 在同一直线上, AF ? BC ,DE ? BC ,垂足分别为 F、E, AB=DC,BE=FC,求证:AB∥CD. A

B

E F

C

D 5.如图所示, 已知 AB ? BD,ED ? BD,AB ? CD,BC ? DE ,求证: AC ? CE . A

E

B

C

D

6.已知:如图所示,AB=AC,BE=CF, BF ? AC ,求证: CE ? AB . A

E
16

F

7. 已知: 如图所示, D、 三点在同一直线上,?ADC ,?BDO 为等腰直角三角形. A、 B 证 明: (1)AO=BC; (2) AO ? BC . C E

O

A

D

B

8.如图所示,已知 BE、CF 分别是 ?ABC 中 AC、AB 边上的高,在 BE 上取 BP=AC,在 CF 的延长线上取 CQ=AB,求证: (1)AQ=AP; (2) AQ ? AP . O A F H P B C E

【小试锋芒】
1. 已知: 如图所示, ?ABC 中, 是 BC 上一点, AB=10, 在 D 若 BD=6, AD=8, AC=17, S ?ABC . 求 A

B 2.已知:如图所示,在正方形 ABCD 中,F 为 DC 的中点,E 为 BC 上一点,且 EC ?

D

C

1 BC .求证: AF ? EF . 4

D

F

C E

17

A

B

3.如图所示,已知 ?1 ? ?2,DA ? DB ,AC ?

1 AB ,求证: DC ? AC . 2
C D

A

1 2

B

18

第四节
【典型例题】

运用角平分线、中垂线和中点

运角平分线的性质定理和判定定理
例 1-1 如图所示, 已知 ?ABC 中, 平分 BC 于 D, DE ? AB 于 E,DF ? AC 于 F, AD 若 DE=DF.求证: (1)AD 平分 ?BAC ; (2)AE=AF; (3)AB=AC. A

E B
D

F

C

例 1-2 如图所示,已知 ?ABC 中,AD 平分 ?BAC 交 BC 于 D,E、F 分别是 AB、AC(或 它们的延长线)上的点,且 ?EDF ? ?BAC ? 180 ? .求证:DE=DF. A

F E B C

D

例 1-3 已知:如图所示,AB=CD, S ?ABE ? S ?CDE .求证: ?BOE ? ?DOE . B A E

O

C

D

19

运用中垂线的性质解题
例 2-1 如图所示,已知 AB=AC,AD 平分 ?BAC ,求证: ?DBE ? ?ECD . A

B D E

C

例 2-2 如图所示,已知 AD 平分 ?BAC ,EF 垂直平分 AD,交 BC 延长线于 F,连结 AF, 求证: ?B ? ?CAF . A

E

B

D

C

F

例 2-3 已知:如图所示,在 Rt?ABC 中, ?ACB ? 90? ,D 是 AB 上一点,且 BD=BC, 过 D 作 AB 垂线交 AC 于 E.求证: CD ? BE .

C E

A

D

B

20

添中点问题的辅助线
例 3-1 已知:如图所示,在 ?ABC 中, AB ? AC ,M 为 BC 的中点,过 M 作直线垂直 于 ? A 的平分线 AN,分别交 AB、AC 的延长线于 D、E.求证:BD=CE. A

D B M N C E

例 3-2 已知:如图所示,在 ?ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 为 AC 上一点,BE 交 AD 于 F.若 AE=EF.求证:AC=BF. A

F B D

E

C

例 3-3 已知:如图所示,在 ?ABC 中,AD 平分 ?BAC ,且 BD ? DC .求证:AB=AC. A

B

D

C

【大展身手】
1-1.如图所示,在 ?ABC 中,以 AB、AC 为边向外作等边 ?ABF 和等边 ?ACE ,连结 F BE、CF 交于点 O,求证:AO 平分 ?EOF . A E O
21

B

C

1-2.已知:如图所示,BE 平分 ?ABC ,CE 平分 ?ACD ,BE、CE 相交于 E.求证:E 在

?FAC 的平分线上.
A

F

E

B

C

D

1-3.已知:如图所示, ?ABC 的 ?B, ?C 的外角平分线交于点 D,求证:AD 是 ?BAC 的 平分线. A

B

C

D 1-4.如图所示,在 ?ABC 中,D 为 BC 的中点, DE ? AB 于 E, DF ? AC 于 F,AB=AC, 求证:DE=DF. A

E B

F C

D

2-1. 如图所示, ?ABC 中, 在 AB=2AC,?BAD ? ?CAD, DA ? DB , 求证:DC ? AC . A

B
22

C

D

2-2.如图所示,在 ?ABC 中,AB=AC,分别延长 CB、BC 到 D、E,使 BD=CE.求证:AD=AE. A

D

B

C

E

2-3.已知:如图所示,AD 是 ?ABC 的高,E 为 AD 上一点,且 BE=CE.求证: ?ABC 是 等腰三角形. A

E

B

D

C

2-4.已知:如图所示,在等边三角形 ABC 中, ?ABC, ?ACB 的平分线相交于点 O、BO、 OC 的垂直平分线分别交 BC 于 E 和 F.求证:BE=FC. A

O

B

E

F

C

2-5.已知:如图所示,在 ?ABC 中,BA=BC, ?ABC ? 45? ,AD 是 BC 边上的高,E 是 AD 上一点,ED=CD,连结 EC.求证:EA=EC. A

E

F

B
23

D

C

【小试锋芒】
1.在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,若 AB=6,AC=10,则 AD 的取值范围是 A .

B

D

C

2.已知:如图所示,过 ?ABC 的 BC 边的中点 M 作直线平行于 ?BAC 的平分线 AN,而分 别交 BA 的延长线、AC 于 E、F.求证: 2CF ? AB ? AC . A F E

B

N M

C

3.已知:在 ?ABC 中, ?ACB ? 90? ,CD 是中线.求证:AB=2CD. A D

C

B

24

第五节
【典型例题】

灵活运用“三线合一”的性质

利用“三线合一”证明两角相等
例1 已知:如图所示,在 ?ABC 中, ?ABC ? ?ACB ,BE、CF 相交于 O,连结 AO 并

延长交 BC 于 D.若 OB=OC, ?1 ? ? 2 .求证:AD 平分 ?BAC . A

F O 1 2 B D

E

C

? 例 2 已知: 如图所示, 是 ?ABC 的角平分线, B ? ?EAC, EF ? AD , AD 垂足为 F. 求
证: ?AEF ? ?BEF . A

F B D C E

例 3 已知:如图所示,点 D、E、F 在 ?ABC 的 BC 边上,AB=AC,AD=AE,DF=FE.求证:

?BAD ? ?CAE .

A

B
25

D

F

E

C

例 4 已知: 如图所示, AD∥BC, 平分 ? DAB , 为 DC 的中点. AE E 求证: 平分 ?ABC . BE

A

D

E

B

C

例 5 如图,在△ABC 中, AC ? BC, ?ACB ? 900 , D 是 AC 上一点, AE ? BD 交 BD 的延长线于 E,且 AE ?

1 BD 。求证:BD 是 ?ABC 的角平分线。 2
A

E D C B

利用“三线合一”证明线段垂直
例 6 如图所示,在 ?ABC 中,AB=AC, AD ? BC ,DE ? AB 于 E, DF ? AC 于 F.求 证: AD ? EF . A

E B D

F C

26

? 例 7 已知: 如图所示, AB=AE, B ? ?E,BC ? ED ,F 是 CD 的中点. 求证: ? CD . AF
A B E

D C 例 8 如图所示,已知: ?ABC 是直角三角形, ?ABC ? 90? , ?ABD 和 ?BCE 是等边 三角形,连结 CD、CE.求证: BD ? CE . C A

B E

D

例 9 如图所示,已知在 ?ABC 中, BF ? AC ,CG ? AB ,F、G 是垂足,D、E 分别 是 BC、FG 的中点,求证: DE ? FG . A G E F

B

D

C

利用“三线合一”证明线段相等
例 10 如图所示,已知 ?ABC 中,D、E 为 BC 边上的点,且 AD=AE,BD=EC.求证:AB=AC. A

B

D

E

C

27

例 11 已知:如图所示, ?1 ? ?2,?3 ? ?4 ,AB 与 CD 交于点 O.求证:OC=OD. C

A

1 2

O

3 4

B

D 例 12 如图所示, 已知等边三角形 ABC 中, 是 AC 的中点, 为 BC 延长线上一点, D E CE=CD,

DF ? BC 于 F,求证:F 是 BE 的中点.

A

D

B

F

C

E

例 13 已知:如图所示,AB=AD,AC=AE, ?BAC ? ?DAE .DB 交 AC 于 F,且 AF 平分 BD,CE 交 AD 于 G.求证:CG=GE. B F C

A G

E

D

例 14 已知:如图所示,AB=AC,DB=DC,AD 的延长线交 BC 于点 E.求证:BE=EC. A

D C

B

E

28

【大展身手】
1.如图所示,已知 EF ? BC, ?1 ? ?E, BD ? CD ,求证:AD 平分 ?BAC . E A G B F 1 D C

2.已知:如图所示,在 ?ABC 中,D 是 BC 延长线上的一点,且 CD=AC,F 是 AD 的中点, CE 平分 ?ACB ,交 AB 于 E 点.求证: CE ? CF . E A

F

B

C

D

3.求证:等腰三角形底边上的中点,到两腰的距离相等. A

E B D

F C

4.已知:如图所示,在 ?ABC 中,AB=AC,BD=CD.求证: AD ? BC . A

D B

C

29

5.如图所示,已知 AB=AD,BC=DC,求证: AC ? BD .

D

A

C

B

【小试锋芒】
1.已知:如图所示,AB=AC, BE ? AC 于 E, CF ? AB 于 F,BE、CF 相交于点 O,延 长 AO 交 BC 于 D.求证: AD ? BC . A

F

E O

B

D

C

2.如图所示,在四边形 ABCD 中,AC 平分 ? DAB ,AC 平分 ?DCB ,求证: AC ? BD . A

B C

D

3.已知:如图所示,AB=BC, ?BAD ? ?BCD .求证: AC ? BD . A D

C B

30

第六节
【知识要点】

旋转的等腰直角三角形

等腰直角三角形有什么特征呢?

【典型例题】 例题 如图所示,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,点 M 为 EC 的中点,求证:
B E M A D C

?MBD ? ?MDB .

变式 1 如图所示,将等腰直角三角形 ADE 绕 A 点按逆时针方向旋转 45 ? ,其余条件不变, 结论 ?MBD ? ?MDB 还成立吗?
B E D A M C

31

变式 2 如图所示,将等腰直角三角形 ADE 绕点 A 按逆时针方向旋转 90 ? ,其余条件不变, 结论 ?MBD ? ?MDB 还成立吗?
B E D M A C

变式 3 如图所示, 将等腰直角三角形 ADE 绕点 A 按逆时针方向旋转 135 ? , 其余条件不变, 结论 ?MBD ? ?MDB 还成立吗?
B

D C E A M

变式 4 如图所示, 将等腰直角三角形 ADE 绕点 A 按逆时针方向旋转 180 ? , 其余条件不变, 结论 ?MBD ? ?MDB 还成立吗?
B

D E

A M

C

32

变式 5 如图所示, 将等腰直角三角形 ADE 绕点 A 按逆时外方向旋转 270 ? , 其余条件不变, 结论 ?MBD ? ?MDB 还成立吗?
B

A M D E

C

变式 6 如图所示, 将等腰直角三角形 ADE 绕点 A 按逆时外方向旋转 315 ? , 其余条件不变, 结论 ?MBD ? ?MDB 还成立吗?
B

A D

E M

C

33

【大展身手】
1. ?AC 在 B 于 E. (1) 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 位置时, 求证: ?ADC ? ?CEB ; DE ? AD ? BE ; ① ②
M D

? 中, ACB ? 90? , AC=BC. 直线 MN 经过点 C, AD ? MN 于 D,BE ? MN 且

C

E N

A

图1

B

(2)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 位置时,试问:DE、AD、BE 具有怎样的等量关系?请 写出这个等量关系,并加以证明. 猜想: 证明:
M C

D A 图2 E N B

(3)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 位置时,试问:DE、AD、BE 具有怎样的等量关系?请 写出这个等量关系,并加以证明.
M

猜想: 证明:
E A D N

C

B 图3

34

2. (1)如图 1,若点 P 为正方形 ABCD 边上一点,以 PA 为一边作正方形 AEFP,连 BE、DP, 并延长 DP 交 BE 于点 H.求证: DH ? BE .
C B

P D 图1 A

H F E

(2)如图 2,将正方形 AEFP 逆时针旋转,使点 P 落在正方形 ABCD 内,其余条件不变, (1)的结论是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

C

B

P D 图2 A

F

H E

3.在 ?ABC 中,AD 是中线,O 为 AD 的中点,直线 l 过 O 点,过 A、B、C 三点分别作直 线 l 的垂线,垂足分别为 G、E、F,当直线 l 绕 O 点旋转到与 AD 垂直时(如图 1)易证: BE+CF=2AG. 当直线 l 绕 O 点旋转到与 AD 不垂直时,在图 2、图 3 两种情况下,线段 BE、CF、AG 又是怎样的数量关系?请写出你的猜想,并以图 3 的猜想给予证明.
A F E O (G) A A G F E C B OG C B 图3

l

l
O E D F C

B

D 图1

D 图2 35

l

思考题:把两个全等的等腰直角三角板 ABC 和 EFG(其直角边长均为 4)叠放在一起(如 图 1) ,且使三角板 EFG 的直角顶点 G 与三角形 ABC 的斜边中点 O 重合.现将三角板 EFG 绕 O 点按顺时针方向旋转(旋转角 ? 满足条件: 0? ? ? ? 90? ) ,四边形 CHGK 是旋转过 程中两三角板的重叠部分(如图 2) . (1) 在上述旋转过程中, 与 CK 有怎样的数量关系?四边形 CHGK 的面积有何变化?证 BH 明你发现的结论; (2)连接 HK,在上述旋转过程中,设 BH ? x , ?GKH 的面积为 y ,求 y 与 x 之间的 函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (3) (2) 在 的前提下, 是否存在某一位置, ?GKH 的面积恰好等于 ?ABC 面积的 使 若存在,求出此时 x 的值;若不存在,说明理由.
A G(O) C E 图1 K E B F 图2 F C H B G(O) A

5 ? 16

(1)猜想: 证明:

(2)

(3)

36

第七节
【知识要点】

三角形的三要素

关于三角形的角和边的性质,你能列举几条呢?
A A A E O B B C D E C B C D

(1)



O

(2)若 BO、CO 分别为∠ABC、∠ACB 的平分线,则∠BOC= (3)若 BO、CO 分别为∠DBC、∠ECB 的平分线,则∠BOC= (4)若 BE、CE 分别为∠ABC、∠ACD 的平分线,则∠E=

; ; 。

【典型例题】 三角形的边
例1

a, b, c 为三角形的三边长, 化简 a ? b ? c ? a ? b ? c ? a ? b ? c ? a ? b ? c , 结
) 。 (B) 2a ? 2b ? 2c (C) 4 a (D) 2b ? 2c

果是( (A)0

例 2 如图,两点 A, B 在直线 MN 外的同侧, A 到 MN 的距离 AC ? 8, B 到 MN 的距离

BD ? 5, CD ? 4 , P 在直线 MN 上运动,则 PA? PB 的最大值等于



37

例 3 如图, Rt?ABC 中, ?BAC ? 90 ° AB ? AC, BD 平分 ?ABC 交 AC 于 D ,作

CE ? BD交BD 的延长线于 E , A 作 AH ? BC 交 BD 于 M , BC 于 H , BD 与 过 交 则
CE 的数量关系是


BD ∠ 例 4 如图, △ ABC 中, E 在 AB 上, D 在 BC 上, ? BE , BAD ? ∠BCE , 在 点 点 AD 与 CE 相交于点 F ,试判断 △ AFC 的形状,并说明理由.
A E F B D C

三角形的角
例 1 是 三角形的三个内角分别为 ? , ? , ? ,且 ? ? ? ? ? ,? ? 2? , 则角 ? 的取值范围 。

例 2 在 ? ABC 中, ?B ? 2?C ,则 AC 与 2 AB 之间的大小关系是( (A) AC ? 2 AB (B) AC ? 2 AB (C) AC ? 2 AB



(D) AC ? 2 AB

E 例 3 如图,在四边形 ABCD 中,E,F 分别是两组对边延长线的交点, EG,FG 分别平分∠BEC、∠DFC,若∠ADC=60°,∠ABC=80°,则 ∠EGF 的大小是( A.140° ) B.130° C.120° D.110°
80

D
60

A F

°

G C

B

°

38

例 4 如图,四边形 ABCD 中, AD ? BC , E, F 分别是 AB, CD 的中点, AD, BC 的 延长线分别与 EF 的延长交于 H ,G, 则( (A) ?AHE ? ?BGE (C) ?AHE ? ?BGE ) (B) ?AHE ? ?BGE (D) ?AHE与?BGE 的大小关系不确定

F

例 5 某机器零件的横截面如图所示, 按要求线段 AB 和 DC 的延长线相交成直角才算合 格,一工人测得 ?A ? 23 ,?D ? 31 ,?AED ? 143 ,请你帮他判断该零件是否合格.
? ? ?

A

B
C

E D

面积比在三角形中的运用
例 6 如图,D、E 分别在△ABC 的边 AC、AB 上,BD 与 CE 相交于 F,若 △ABC 的面积 S?ABC ? 21 那么四边形 AEFD 的面积等于 ,
A D E F B C

AE AD 1 ? 2, ? , EB DC 2


39

【大展身手】 关于三角形的角
1.已知 ?ABC 中, ?A ? ?B ? 2?C ,则 ? A 等于( A. 36 ? B. 45 ? C. 72 ? ) D. 144 ? )

2.如果三角形的一个角等于其他两个角的差,则这个三角形一定是( A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形

D.钝角三角形

3.一个三角形三个内角的度数之比为 2 : 3 : 7 ,这个三角形一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 4.已知等腰三角形的一个内角为 50 ,则这个等腰三角形的顶角为( A. 50
? ?

) D. 40 或 65
? ?

B. 80

?

C. 50 或 80

?

?

5.如图,已知△ABC 为直角三角形,∠C =90°,若沿图中虚线剪去 ∠C,则∠1+∠2 等于( A.315° ) B.270° A C.180° D.135

M B

N C

6.如图,在Δ ABC 中,M、N 分别是 AB、AC 的中点,且∠A +∠B=120°,则∠ANM= 7.在 ?ABC 中, ?A : ?B ? 2 :1 , ?C ? 60? ,则 ?A ? _________.

8.如图,已知 AD//BC, ∠EAD=50 ,∠ACB=40 ,则∠BAC= E A B
50 O 40 O

O

O

.

图1

D \ D C

D C A B

9.如图,∠ACD=155 ,∠B=35 ,则∠A=
40

0

0

度.

10.如图,点 C 在线段 AB 的延长线上, ?DAC ? 15? , ?DBC ? 110 ? ,则 ?D 的度数 是_____________ 11.如图所示,已知 ?ABC 中, ?ABC 和 ?ACB 的平分线 BD 与 CE 相交于点 O,且 A ?A ? 70? ,求 ?BOC 的大小. E O B C D

12.如图所示,已知 ?ABC 中,D 在 BA 延长线上,E 在 BC 上,连结 DE 交 AC 于 F 点.若 D ?DFC ? 111 ?,?C ? 31?,?D ? 27? ,求 ?DAF ,?FEC . A F B E C

13.如图所示,已知 ?ABC 中, ?A ? 72? ,另外两个内角相邻的外角平分线交于 P 点, A 求 ? P 的度数. B C

P 14.如图所示, ?ABC 的高 BD、CE 相交于点 O,若 ?A ? 62? ,求 ?BOC 的度数. A E O B 15.已知 ?ABC 顶点,A、B、C 处三个外角比为 3:5:4,求该三角形的三个内角. C D

41

关于三角形的边长
1.若三角形的三边长分别为 3,4,x-1,则 x 的取值范围是( A.0<x<8 B.2<x<8 C.0<x<6
?

) D.2<x<6

2.如图,已知 △ABC 中, ?ABC ? 45 , AC ? 4 , H 是高 AD 和 BE 的交点,则线 A 段 BH 的长度为( A. 6 ) H B.4 C. 2 3 D.5 B C D 3.如图,C 为线段 AE 上一动点(不与点 A,E 重合) ,在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正 三角形 CDE,AD 与 BE 交于点 O,AD 与 BC 交于点 P,BE 与 CD 交于点 Q,连结 PQ.以下五
B

E

个结论: ① AD=BE; ② PQ∥AE;
P

O Q C

D

③ AP=BQ; ④ DE=DP; A ⑤ ∠AOB=60°. 恒成立的结论有______________(把你认为正确的序号都填上).

E

4.如图,将 △ ABC 沿 DE 折叠,使点 A 与 BC 边的中点 F 重合,下列结论中:①

1 1 AB ;② ?BAF ? ?CAF ;③ S四边形ADFE ? AF ?DE ; ? DE 2 2 ④ ?BDF ? ?FEC ? 2?BAC ,正确的个数是( )
EF ∥ AB 且 EF ?
B.2 A D E B F C A.1 C.3 D.4

5.已知 a 、b、c 为三个正整数,如果 a +b+c=12,那么以 a 、b、c 为边能组成的三角形 是:①等腰三角形;②等边三角形;③直角三角形;④钝角三角形.以上符合条件的 正确结论是 . (只填序号) 6.等腰三角形的周长是 12cm,一边与另一边的差为 3cm,求三边长.

42

7. ?ABC 中,三边长分别为 3,1? 2a ,8,周长为偶数,求整数 a 的取值范围和 ?ABC 周长的最大值.

8.已知 ?ABC 的周长为 42,其三边分别为 a, b, c ,且有 a ?

b ? c ? 0, a : c ? 7 : 8 ,求 6

a, b, c .

9.两根木棒的长分别为 3cm 和 5cm,要选择第三根木棒,将它们钉成一个三角形,若第 三根木棒的长为偶数,求第三根木棒的长.

10.已知:等腰三角形 ABC 的周长是 50cm,AD 是底边上的中线, AD : AB ? 5 : 13 ,其 中 ?ABD 的周长是 30cm.求 ?ABC 的各边长及 AD 的长.

11.已知等腰三角形的周长为 12,则腰长 a 的取值范围是( A. a ? 6 C. 4 ? a ? 7 B. a ? 3 D. 3 ? a ? 6



43

12.利用图 1 或图 2 两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定 理,这个定理称为 ,该定理的结论其数学表达式是

关于三角形的面积
1.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD 是 BC 边上的高,点 E、F 是 AD 的三等分点,若△ABC 2 A 的面积为 12cm ,则图中阴影部分的面积是 cm2.
E F B C

D

2.如图所示,已知在 ?ABC 中,AB=6cm,BC=5cm,AC=4cm,求 ?ABC 的面积. C

B

D

A

3.如图所示,在四边形 ABCD 中, ?B ? 90? ,AB=4,BC=3,CD=12,AD=13,求四边形 ABCD 的面积. A D

B

C

44

4.已知:如图所示,在 Rt?ABC 中, ?C ? 90?, ?A ? 15?, BC ? 1,求 ?ABC 的面积. B

C

A

5.等腰三角形的周长为 16,底边上的高为 4,求此等腰三角形的面积.

6.直角三角形中,两直角边 a, b 的和为 8cm,斜边 c 为 34 cm,求此直角三角形的面积.

7.若等边三角形的边长为 a ,求它的面积.

8.如图所示,在 Rt?ABC 中, ?C ? 90 ? ,BC=6cm,CA=8cm,动点 P 从点 C 出发,以每 秒 2cm 的速度沿 CA、AB 运动到点 B,则从 C 点出发多少秒时,可使 S ?BCP ? A

1 S ?ABC ? 4

C

B

45

9.如图, Rt△ A?BC ? 是由 Rt△ ABC 绕 B 点顺时针旋转而得,且点 A,B,C ? 在同一条
? 直线上,在 Rt△ ABC 中,若∠C ? 90 , BC ? 2 , AB ? 4 ,则斜边 AB 旋转到 A?B 所

扫过的扇形面积为 A? C A B
C?



10.已知三角形三个顶点坐标,求三角形面积通常有以下三种方法: 方法一:直接法.计算三角形一边的长,并求出该边上的高. 方法二:补形法.将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与 差. 方法三: 分割法.选择一条恰当的直线, 将三角形分割成两个便于计算面积的三角形. 现给出三点坐标:A(-1,4) ,B(2,2) ,C(4,-1) ,请你选择一种方法计算△ABC 的面积,你的答案是 S△ABC= .

46

第八讲
【典型例题】 翻折问题

翻折法、补形法解题

例 1-1 已知:如图所示,矩形 ABCD 中,AB=6,BC=8,将矩形折叠,使点 C 与点 A 重合, 折痕为 EF,求折痕 EF 的长. A O E D

B

F

C

例 1-2 已知:如图所示,将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠,使点 C 落在 C ? 处, BC ? 交 AD 于点 E,AD=8,AB=4.求 ?BED 的面积. A E C′ D

B

C

例 1-3 如图所示,矩形 ABCD 中,AB=12,AD=10,将矩形折叠使点 B 落在 AD 边上的中点 E 处,则折痕 FG 的长为 . A E D

F O G B C

47

例 1-4 如图所示,有一块面积为 1 的正方形纸 ABCD,M、N 分别为 AD、BC 边的中点,将 C 点折至 MN 上,落在点 P 的位置,折痕为 BQ,连结 PQ. (1)求 MP. (2)求证:以 PQ 为 边长的正方形面积等于

1 . 3

A P

M

D Q

B

N

C

补形法解题
例 2-1 已知八边形所有的内角都相等, 且边长都是整数, 求证: 这个八边形的对边相等. A B C D E H G F

例 2-2 已知: 如图所示, 在四边形 ABCD 中, DAB ? 60?, ?B ? ?D ? 90? , CD=2, BC=11. 求 ? AC 的长. D C

A

B

48

例 2-3 如图所示,六边形 ABCDEF 中, ?A ? ?B ? ?C ? ?D ? ?E ? ?F ,AB+BC=11, FA-CD=3,求 BC+DE 的值. F E

A B C

D

例 2-4 如图所示,在 ?ABC 中, AD ? BC 于 D, ?A ? 45? ,BD=3,CD=2,求 ?ABC 的面 积. A

B

D

C

例 2-5 如图所示,在 ?ABC 中,AB=BC, ?ABC ? 90? ,D 为 AB 的中点,过 B 作直线与 CD 垂直,交 AC 于 E,求证: ?ADE ? ?CDB . A E D

B

C

49

【大展身手】
1.如图所示,将□ABCD 沿 AC 折叠,点 B 落在 B ? 处, AB ? 交 DC 于点 M.求证:折叠后 重合的部分(即 MAC )是等腰三角形. B′ D M C

A

B

2.如图所示,已知 EF 为正方形 ABCD 的对折线,将 ? A 沿 DK 折叠,使它的顶点 A 落在 EF 上的 G 点,则 ?EKG 的度数是 . A K E G F D

B

C

3 . 已 知 六 边 形 ABCDEF 中 , ?A ? ?B ? ?C ? ?D ? ?E ? ?F ? 120 ? , 求 证 :

AB ? BC ? EF ? DE .
A B C D F E

50

【小试锋芒】
1.已知:如图所示,在四边形 ABCD 中, ?A ? 60?, ?B ? ?D ? 90?, AB=2,CD=1.求 BC 和 AD 的长. A

D

B

C

2.如图所示,在凸五边形 ABCDE 中, ?A ? ?B ? 120?, AB=BC=AE=2,CD=DE=4.求它的面 积. C B

A

D

E

3.如图所示,在边长为 12 的正方形 ABCD 的边 BC 上有点 P,且 BP=5.折叠这一正方形, 使点 A 与点 P 重合.求折痕的长. A D

B

P

C

51

第九节
【知识要点】

面积法解题

所谓面积法,是指借助图形面积自身相等的性质、可拆分的性质和可比的性质进行 解题的一种方法。 1.常见面积公式: ① S? ? ② S? ?

1 ah 2

s(s ? a)(s ? b)(s ? c) (S 为三角形周长的一半, a, b, c 为三角形三边)

海伦公式 (推导) ③ S 平行四边形 = ah ⑤ S 菱形 ? ④ S 梯形 ?

1 ( a ? b) h 2
⑥ S正方形 ? a 2 ⑦ S 矩形 ? ab

1 l1l 2 ( l1 ,l 2 为菱形两对角线长) 2

2.面积比定理: ①两个三角形面积之比,等于它们的底高之积的比; ②等底(高)的两个三角形面积之比,等于它们的高(底)之比; ③相似三角形(多边形)面积之比等于它们对应边的平方比. 3.等积定理: ①两个全等图形的面积相等; ②等底、等高的两个三角形面积相等; ③两个等积三角形,若它们的底相等,则它们的高相等,若它们的高相等,则它 们的底也相等; ④一个图形的面积等于它的各部分面积之和. 4.两个基本图形: D A · P S4

S3
A

S1

C D

S1

E C

S2
B
52

B

S2
F

2 S1S2

【典型例题】
一、用面积法证线段相等 例 1 已知: 如图, 是△ABC 的中线, AD CF⊥AD 于 F, BE⊥AD, AD 的延长线于 E。 交 求证:CF=BE。 A

F B D E C

二、用面积法证两角相等 例 2 如图,C 是线段 AB 上的一点,△ACD、△BCE 都是等边三角形,AE、BD 相交于 O。求证:∠AOC=∠BOC。 E

D

O

A

C

B

三、用面积法证线段不等 例 3 如图,在△ABC 中,AB>AC,∠A 的平分线交 BC 于 D。求证:BD>CD。 A

53

B

D

C

四、用面积法证线段的和差 例 4 已知:如图,设等边△ABC 一边上的高为 h,P 为等边△ABC 内的任意一点,PD ⊥BC 于 D,PE⊥AC 于 E,PF⊥AB 于 F。求证:PE+PF+PD=h。 A

E F P D C

B 五、用面积法证比例式或等积式 例 5 如图,AD 是△ABC 的角平分线,求证:

AB BD ? 。 AC DC
A

B

D

C

六、用面积法求线段的比

MD ? 例 6 如图, 在△ABC 中, 已知 BC、 边上的中线 AD、 交于 M, AC BF 求证:

1 AM 。 2
A

M

F

B
54

D

C

例7

AD、BE、CF 交于 ?ABC 内一点 P,并将 ?ABC 分成六个小三角形,其中四个小三 A

角形的面积已在图中给出,求 ?ABC 的面积.

F

8.4

7 O 3 D

E

x
4 B

y
C

例 8 如图,设 P 为 ?ABC 内任一点,直线 AP、BP、CP 交 BC、CA、AB 于点 D、E、F. 求证:

PD PE PF ? ? ? 1. AD BE CF
F P B D

A E

C

【大展身手】
A

1.如图,△ABC 面积是 96,D 分 BC 为 2∶1, E 分 AB 为 3∶1 则△ADE 面积是___
B E D C

2.△ABC 三边 a,b,c 上的高分别是 ha=6, hb=4, hc=3,那么 a∶b∶c= 3.如图,平行四边形 ABCD 中 P,Q 分别是 BC,CD 的中点,写出和△ABP 等积的三角形 .
A D

55
B P C

Q

4.在四边形 ABCD 中, S ?ADO =25, S?ABO =49, S?CDO =125,则△CBO 面积为多少?
A

B

O

D C

5.在矩形 ABCD 中,P 为 CD 上任意一点,PE⊥BD,PF⊥AC,求证:PE+PF 为定值. D E ·F O A B P C

6.如图,在□ABCD 中,AE=CF,证:BO 平分∠AOC. D F O

E

C

A

B

7.如图,过等边 ?ABC 内一点 P,向三边作垂线,PQ=6,PR=8,PS=10,求 ?ABC 的面积. A

R · P B S

Q

56

C

8.如图,已知:△ABC 中,∠ABC=Rt∠,AC=2AB,△ACM 和△BCN 都是等边三角形。求 证:MN 被 AC 平分。
M b C 60 60   a 30 b K a   B

N

A

9.如图,在直角三角形 ABC 中,AB=13,AC=12,BC=5,求 AB 边上的高 CD 的长。 C

B

D

A

10.如图,在△ABC 中,AB>AC,BF、CE 分别是 AC,AB 边上的高,试判断 BF 和 CE 的大小关系,并说明理由。 A

E F

B 11.如图,由图中已知的小三角形的面积的数据,可得△ABC 的面积为 A

D

C 。

F
57

O 40

25

E 35 30 D C

B

12.如图,四边形 ABCD 中,对角线 BD 上有一点 O,OB:OD=3:2,△AOB 的面积 是 6,△COD 的面积是 1,试求△AOD 与△BOC 的面积比。 A O D

B

C

13.如图,P 是等腰三角形 ABC 底边 BC 上的任一点,PE⊥AB 于 E,PF⊥AC 于 F,BH 是等腰三角形 ABC 的 AC 边上的高。猜想:PE、PF、BH 间具有怎样的数量关系? A

H F E B P C

58

第十节
【知识要点】

中位线的性质解题

中位线的定义、性质、判定

【典型例题】 运用中位线定理解题
例 1 已知: 如图所示, ?ABC 中, 是 BC 的中点, 是 CA 的延长线上的点,AD ? 在 E D DE 交 AB 于 F.求证:DF=FE. F D A
1 AC , 2

B

E

C

例 2 如图所示, 已知□ABCD 和形外直线 l ,AE ? l , BF ? l , CH ? l , DG ? l , E, F , G, H 均为垂足,求证: AE ? CH ? BF ? DG . A C B D

E
1

F
1

G

H
1

l

例 3-1 已知:如图所示,BD、CE 分别平分 ?ABC, ?ACB, AM ? CE 于 M, AN ? BD 于 N.求证: MN ?

1 ? AB ? AC ? BC ? . 2
E M

1

A

D N C

B
59

例 3-2 已知: 如图所示, CN 分别为 ?ABC 的外角平分线, AM ? BM , AN ? CN , M、 BM、 且 N 为垂足.求证: MN ? 1 ? AB ? AC ? BC ? . 2

A

M

N

B

C

例 3-3

已 知 : 如 图 所 示 , BM 、 CN 分 别 是 ?ABC 的 内 角 和 外 角 平 分 线 , 且
2

AM ? BM , AN ? CN , M、N 为垂足.求证: MN ? 1 ?? AB ? AC ? BC ? 。
A

M B

N

C

例 4 如图所示,已知 AB∥CD,E、F 分别为 BC 和 AD 的中点,求证: EF ?

1 ?CD ? AB ? . 2

A G E

B F

C

D C

60

例 5 已知: ?1 ? ?2, AC ?

1 AB , AD ? BD ,求证:P 是线段 AD 的中点。 3
A 12 C P B

D

例 6 已知:四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、BC 边的中点,连结 DE、DF,分别与 AC 交于 G、H,G、H 是对角线 AC 的三等分点。求证:四边形 ABCD 是平行四边形。 A G E H B F C D

例 7 如图,已知:矩形 ABCD,AC=CE,F 点是 AE 的中点,求证: DF ? BF 。 A F E B C D

例 8 已知:D、E 分别是△ABC 中 AB 和 AC 边的中点,N 是 BC 延长线上线段 BM 的中点, H 是 EN 的中点,连结 DH 交 BM 于 F 点。求证:CF=FM。 A

D
61

E H

B

C

N

F

M

梯形
1.如图所示,已知梯形 ABCD 中,AB∥CD, ?C ? 80?, ?D ? 50? ,AB=4,DC=10,求 BC 的 长. A B

D

E

C

2.如图所示,已知梯形 ABCD 中,AD∥BC,BD=BC,AB=AC,且 AB ? AC . (1)求证: ?DBC ? 30? . (2)若对角线 AC、BD 交于 E,求证:CD=CE. A E D

B

C

3.已知:如图所示,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AC=BD.求证:AB=DC. A D

B

C

4.如图所示,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,BE 平分∠ABC,AE 平分∠DAB,且 AE、BE 交 DC 于 E 点,求证:AB=AD+BC. A D

E
62

B

C

5.已知:如图所示,AD∥BC,AD=8,BC=13,AB=6,CD=5, ?B ? 53? .求 ?D 的度数. A D

B 6.如图所示,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,且 ?B ? 80?, ?C ? 50? ,求证:AB=BC-AD. A D

C

【大展身手】

B

C 。

1.在△ABC 中,D、E 是 AB、AC 的中点,连接 DE,若∠A+∠B=120°,则∠AED= 2.如图,A、B 两点被池塘隔开,在 AB 外选一点 C,连结 AC 和 BC, 并分别找出 AC 和 BC 的中点 M、N,如果测得 MN=20 m,那么 A、B 两 点的距离是 m。 3.如果梯形一底长为6,中位线长为8,那么另一底长为_________.

4.梯形的中位线长为10,高为8,则梯形的面积=_________。

5.如图,D、E、F分别是△ABC三边的中点,△DEF的面积为10,则△ABC的面积为________。 A D E

C F B 6.已知:在△ABC 中,BC>AC,点 D 在 BC 上,且 DC=AC, ∠ACB 的平分线 CF 交 AD 于 F, 点 E 是 AB 中点,连接 EF。试说明 EF 与 BD 有怎样的数量关系和位置关系,并说明理由。
A

E
63

F

B

C D

7.已知:如图,在四边形 ABCD 中,AB=CD,E、F、G 分别是 BD、AC、BC 中点。求证:△ EFG 是等腰三角形。 A D DF E C G B

8.如图所示,在梯形 ABCD 中,E、F 分别为两条对角线 AC、BD 的中点,求证:

EF ?

1 ? AB ? CD ? . 2

D

C

E

F

A

B

9.如图所示,在梯形 ABCD 中, ?B ? ?C ? 90 ? ,E、F 分别是上、下底的中点,求证:

EF ?

1 ?BC ? AD ? . 2
A

E

D

B

F

C

10.等腰梯形的对角线若互相垂直,则其高与中位线相等.

64


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