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2002年CMO试题解答


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A , C上 取 E F, / E BA , 使 D B=Z , D C= C / F  
/B . B A DE ∽ △ FDC.  

20 0 2年 CMO 试题 解 答 
程  华 

又 D到A , B AC边 上 的距 离 相 等 , 而 可  从 知 A  DE 丝 A  DC, DE=ZC B F /B DF,B   E=
cF.  

综 上, 所求充要条件 是 Z B>Z A 2. B C,   () E 和 F 存 在 的情 况 下 , 1证 明知  2在 由()
/B DE =  
? . .

AAB 的三 边 长 分 别 为 口6 C6<c C ,,, ,   A 是 角 A 的 内角 平 分 线 , D 在 边 B D 点 C上 .   () 1 求在 线 段 AB, 内分 别 存 在 点  ,C 4 (不 是 顶 点 ) 满 足 B E=C 和 ZB F DE=   / D 的充要条件 ( 角 A B C表示 ); C F 用 ,,   () 2 在点 E和 F存在 的情况下, 口6c 用 ,, 





, DE =CD .  

BE = BD +DE 一 2BD . DE c A  os



BD + CD 一2 BD . CD c s o A 
 



)+ : 
b+ C  

) 一2 :  

.  

cs   oA

D+ C  

b+c D+C    

表示 施 的长.  

口 ( +b 一2 b o A    c   c cs ) 口.    ( 6+c  ) ( 6+c ’ ) 
胞 - .   .  
b+ C  

解: )由 (  D是 1  
C   F
? . .

E/ /   /  F
D 

知 蹴 裘, 厶— c , =    瓯 , — 一c c    
BD . DE sn/B i DE 


二 、 设多项 式序 列  ( 满 足 :   =  )  ()   1 ,   ( =2 (  1 且 只+     xx 一 ) , 1 ( l) (   
)   一1 , =23… . 一 ) r ,,    /



CD ? DF sn/CDF. i  
?

/D B E=/ DF, C   ①  B DE= D. F  D. C D . ②  在A DE与A C F中, B D 分别 由余弦定理得 
? . ? . .



 

设  为 只 ) 各项 系数 的绝 对值之 和,   对

B D + DE 一2 D . B DEc s o ZBDE 


BE : CF 

于任 意正整数 刀 , 求非 负整 数  使得 2k 为  -  . 奇 数.   解 : 由题 设 知 对 r=23…, / ,, 有 
+。

C   F 一 C D o / D 。③  D +D   2 D. Fcs C F 由① , , 知  ②③ B + E = D + F. D  D   C   D     ④  由②, ④可得 


( 。 砰( 一  -),   (  一  = ( 1    
(   。 一 () (       

从 而 对 刀=34… , ,, 有 

=  

( D +DE) C +DF) , B  =( D   



B D+ E=C D D+D   F. ⑤  由②, 还可得  ④ ( D —DE  =( D—DF) , B ) C    B D— E= D— F   D C D , ⑥  或B D—D E=D F—C . D  ⑦  若⑥成 立, 由⑤ 知, D=C 这与 已知  则 B D, 6 矛盾, <C 因此只 能⑦成 立.   由⑤, ⑦知 B D=D , E= D. F D C  
? . . ? . . ’ . .



.  

(  只一( 一 。 , :     (     ) (   + 一  )  ¨(   。   ( 。  
(  ( + 一( ,  (     :   

=  

墨 ! 墨 ! — x+ L x ! ± = :t ) — d ) ! ! ' t A
. 

()   

一() 。    

由此 递 推 可 得 
-___?。。__-__ _________一

+。

( + 。 . 只( + (     (        
= ‘ __-_ _?-?-?____一 - _

-  

(  

(  

△ BDE 丝 A  DC, F  
B = /C D > LB . AC / . 2 

由  ( = -1 ( =2 (  ) 递 推      ,     xx -1及 式 可 得  ) 4  =(x 一O(  )从 而 可 得  x —1,
! !

。 . . 

反之, 若 

>/ AC/ , 由 6<C B 2则 知 

! 生! 2  ± !  : x
. 

ZC>/   . B ZC>/B C/ 从 而 可 分 别 在  A 2.

【  

即  。 -2 ( =   

)  。 ) . + ( =0    
?3l?  

① 

 

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① 式 对 任 意 r ,, 都 成 立 . 定 义  / 3 =2 …, 若 P() 0 则易知① 式对任意 正整数 r o =, x / 都成立,  
且 它 的特 征 方 程 为 


另方面 当  ≠ 时,   由①易 知 
+ 

=mi(.  )  nk, , .

2 以 +l   :0

. :姓    

.  

从 而 对 任 意 正 整 数 r可 设 r=2 +2 / , /     + …+2 其 中 0 f <,  ,  f /  <…, , 0 o   贝有  I
=f o+ 1  f / .

由此 可 得 

(    :

【c x 2 1 一j   (+ ̄ - ) (一 j x " c
)】 一.  

三、 8 l 支足球 队进行 单循 环赛, 即每轮将  l   8支球 队分 成 9组, 每组 的两队赛一场, 下一  轮重新分组进行 比赛, 共赛 l   使 得每 队都  7轮, 与另外 l 7支队各赛一场 . 意可行 的程序  按任
比赛 了 几 轮 之 后 , 存 在 4 支 球 队 , 们 之 间  总 它 总 共 只 赛 了 l , r的 最 大 可 能 值 . 场 求 /  

? .
. 

(= : j一) j ∑c c 1 c )  (    

- 。  

c { 其= 中 
= 一 ∑ ( 1  )
m= 0 


) . )  
-- _ 2! l m∑( 
k=0  mfk  

( 0 -  扣   c   -2()   1 ∑ : .
kf i f 0 

解 :将 l 8支球 队先分 为 A、B 两 大组,   每组各有 9 支球 队, 作  记 A= 口 a,   ) B={l 2 6> {l z , …, , 6 6, 9 . , …,   按如下程序进 行单循环赛 :   第 i =l , 9 轮 按如下分组 比赛 : ( , …,) i 2  

由此 可 知 
屯 


( 岛 , j ) 6, ) q, ) a, , , , (   (    
其中_ , +七量2( d )l ,, . i mo g , '  9    _ 第 9+kk=l2…,) 按 如 下 分 组 比  ( ,, 8 轮

2   ¨: ∑∑ c  
kf0mf i f k 

6 . 


一 

占一  

2   ∑c-Zc 2 艺 :2 :    ?
m =0   k= 0  m= 0 

赛:q 6) 中 _ 七 ( o g, ,, . ( ,,其 , +i d )  ,_   量 m l  9


=  

【 + ) 一(- )】 (   - 1    . 1 I  

对 于 任 意 的 四支 球 队 , 若有 3支 球 队在 同  大 组 内 , 妨 设 同 在 A 组 内 , 们 是  , 不 它  


令  =(+√ )+ 1 √ ) 贝  o , 1 2  (一 2- 0 S =0 I ,  
=2 t=r=2 且   ,o l ,

+√2 =21   (+√2- ), I  
- -

2 Z 。。 2 + 2 = ( ∑ 。。  1 2) ,
m>0   m>1  

?





r/   2为奇 数 .  

对 于 任 意 的 正整 数 册, , r 有  /

+4 s + =2 4 ) 2 .  0+ 2 
=  +√   × 4 s)2 ( 2  + 2 .I 
=tl/ +s S +  I t )2  l 2      2 S   / ,    + =(   +r ) 2  _ /.   ①  令 册=r 即得  =( 2 ?s . / ,  / )2 .  

. . 

由  / 2为奇 数 , 数 学 归 纳 法 易 知  及
=,  + 1  .

口 , 易知 七 , + , 册它 们 于关 于模  一则 + , 册,+ 七 9 不同余, 互 从而在前 8 比赛 中, 轮 这三 队之 间  至少赛过 2 所 以这 四支 球队之间在前 8 场, 轮  至 少 赛 过 2场 .   若4 支球 队中各有 2 球队分属于 A、   支 B 两大组, a ,, 设 Ia ∈A( ) 6 , ∈B m <r . k<, _ ,   ( /  ) 现在 将上述 的单循环 赛程序 按逆 序排列,   即第 , 轮变为第 l 一 . 8 砖仑   若有 2 支不 同组球队的序 号相 同, 不妨 设  七=册 则  与 b, , q与 6 在前 8轮 中都 比赛  一 过一场 ; 若没有 2支不 同组球 队的序 号相 同,   则  与 6 , 与  , _  q与 6 , 与  在前 8轮  埘  中都赛过 一场 .   综上知  的最 大可能值小于 8 .   今 证 刀的最 大可 能 值 为 7反 证 法) ( .   设按任意可行 的程序 比赛 7轮这后, 不存  在 4支 球 队, 们 之 间 总 共 只 赛 了 l . 它 场  

?3 ? 2  

 

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现任 取经过 7 比赛后赛过一场 的 口,2 轮 l   a 两 支球 队, 前 7 中 Q,’ 则在 轮 I 还分别 与其他 6 口  


+ 
. .


+ 

4m,  

J —m + 3 l 4 }   m
,l , 

:7 +√ . >5    

队 赛 过 , 此 至 少 还 有 4 支 球 队 未 与 口,2 因 l 比  a

赛过 , 为 b,  , 易 知 ,  , 之 间在  设 l  ,  .  ,   前 7 轮 中均赛过 一场, 否则与反设 矛盾 . 从而  在前 7 中,l 2 轮 6 6还要分别 与 6 b, 3 之外  , I 2 6, ,  . 的 4支 球 队 比赛 过 , 因此 至 少 还 有 6支 球 队 未  与 6 6 比赛过, l2 , 设为 c ,  . I …, 同理这 6支球  , 队之 间在前 7轮 中均应赛过一场, 因此有 前 7   轮 中,   还应分别与这.支球 队之外 的 2  , 6 支  球 队比赛过, 从而至少还有 8 支球未与 c  赛  l , 过 , 为  , , , . 设   …   同理 这 8 球 队在 前 7轮  支 中, 它们两两之间都赛过一场, 从而有 l   0支球  队  , …, 均 未 与  ,2   赛 过 . 理   ,  。 d, …, 同

若  , , 只 中没 有三 点共线 的,    , 则考虑 

尸  2 s 6 。   2 r i 0= o n
r  

. .

.  
. 

k 5 +43   m m  5十  
,  , l

若四点构成 凸包为四边 形, 如下 图所示 .   若 有 一 内角 大 于 10 不 妨 设  >10 则  2。, 2 。,

在前 7轮 中必须两两赛过一场, 这  显 然 是 不 可 能 的. 此  的最 大 可 能 值 为 7 因 .   四、对 平面上 任意 四个不 同点 , ,     只,
,   ,… , 。  

由引理知. >√ , k>5 3   只 3 从而 +√ .
若每 个 内角 均 不大 于 10 , 总有 两 相  2 。但 邻 的 内 角 之 和 不 小 于 10 如 图 , 妨 设  8 o. 不 + ≥1 0     8 。, , 由  ≤10 知  则 2 。,
6 。从 而  0.
0 s 一 s6 。 。     0.  
.  .  

∑ 
只, 求 
m I n  ,   I ‘< ’   j4  

.  

~    一一 一~ 不知
的最小值.  

∑ 

+f)4 4 。 1 /  5,  

’记=l Jm  ‘ 七  ’】 P 旱 =,jI,, :     =i ’ I : =   m ,  g ;  。 ‘   ,l n ‘ , s n ‘ 。
首 先 易 知 , 平 面 上 四 个 不 同 点  , , 当     只, 构 成 一 个 内 角 为 6 。 菱 形 的 四个 顶 点  只 O的
r  

0  - )4 5. 。 p / ≤1。   尸 + 2   只
2 sna/) i( / ) m(i( 2 +s f 2) nl  


尸  3

4 i(c+f)4c s( —f)4  msn( 1 /)o ( r 1 / ) r c
4 sn4 。 o l 。 o r i 5 cs5 

m 时。 5 七:— m+43




5√. +   



2 (i6 。 i3 。   +1   e n r s 0 +s 0)=( n ) m,


1t t ' 


今证 七 +√ 。  5 3为此先证如下 引理:  
在 A A C中, B   B   2 i{ B A }i( / ) C m n A , C s A 2. n   事 实上, 作  的平分线 A 过 , D, C分别  引 A 的垂 线 B ,F 垂足为 及 F ( D EC , ’ 图略 ),   则 B =ABs ( 2 , F =A i( 2 , E i A/ ) n C CsnA/ )  
BC  B + cF  E



七  

±  ± !  
,l , 



5+ 

,  

综上 即知。 求的最小值 为 5 3  所 +√ . 五 、平面 上横纵坐标 都为有理数 的 点称 
为有 理 点. 明平 面 上 的全 体 有理 点 可分 为  证 三个两两不相交 的集合, 满足条件 :   ( ) 以每个有理 点为圆心的任一圆 内 1在   定包含这三个集合 中每个集 合 的点:   () 2 在任意一条直线上不可 能有 三个点  分别属于这三个集合.  


=( +AC)i( 2    snA/ ) ≥2 n A A snA/ ) mi{ B, C}i( 2 .  

现考虑  , , 只 四个不同点,    , 若有 三点  共 线 , 妨 设  , , 共 线 , 不   只 则 

证 :记平 面上 全体有理点集合为  因为 
任 一 个 有 理 数 均 可 表 示 为 b 。 中 口h   /其 a ,∈ Z,  l从 而 易 知  口 ,

?3 ? 3  

 

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M :{兰 Z) ”vw∈Z, ( l   w>l ”' w :l. , ,, , } ( , )  
, ,

硎 +b +C y W=0  ,

⑨ 

现 将   划 分 成 三 个 两 两 不 变 的子 集 :  


{ , ) 2 u    - lt } V { , )2 ”   - l1 V


且 2 ”2 2 c I,   I.   ④  由③ 、④ 知 2 b 这与 2 6 I, 卜 矛盾, 以  中  所 的 点 不 在 厶上 .   若 C 中 的 点 在 J上 , 存 在 ”yW使 得   f 即 l ,,
口 ”+b + w=0  y  , ⑤ 



2 v, I}  

c:{ , I ”21,    ) 21,   . v 

且 2 , I, b. I 2 '2 c ,   由⑤ 、⑥ 知 2 W, 而 (,, I 从  ' ,  


⑥  2 这 与  ,

现证 以任 一有理 点 P w v w 为圆心,  , ,, )   任 意长 r 为 半径 的圆 内一 定包 含 上述 三  >0 个 集 合 中每 个 集 合 的 点 .   令 (   ,   )_.k ’ 2WU  
,  

vw =l , ) 矛盾, 以 C中的点不在 f   所 l 上. 综上 即知在任 意一 条直线上 不可 能有三  个 点 分 别 属 于   、 、C这 三 个 集 合 .     六、给 定 c ∈0/ , , 最 小 常 数   使 得   21 求 ) 对 任 意 整 数 刀 2及 实 数 0<   ,   a  …  2

,  



南 测  
-   -  

只要满足 ∑  = ∑a,   c k 总有

I    尸

,尸 畴 ) II      ,  

∑a k  M∑a, k  
k=I   k=l  

其 中 m 是 不 超 过  的 最 大 整数 .   解 :由题 设可 得 

显 然 , 给 定 r>0及 W、 扒 ' 取 充 分  对 ,可 大的 毛 使得  ∈ 尸 ∈B 只∈ , 1 尸I ,  ,2 , C 且   <r  

I2 < , 尸Ir 即条 件 () 到 满足 . 证  尸尸I r1 < ,   1得 下 如上划分 满足条件 () 2.   易知若 直线 , 过两个有理 点, 则直线 , 的  方 程 可 写 为  + +c_0, 中 口bc∈z    _ 其 ,, ,
(,,) . 而把至 少经过两 个有理 点的直  口bc =1从 线 分成如下三种类型:  
I: + +c=02r; 『    I ,J   c

k  

记r , 【 , =, ∑ , =  = 】o 0 S  =  
j l = 

则 ∑(-) = k rS一 。   k rk∑(-)k 一  a ( )
k=l  
月  


k=1  
R-I  

∑(一) ∑(+—  七r  一 七 lr
月一I  

f: + y+ = , I,’ ; 2  b c 02 c2 6 I  毛:x y c , I 2 b a +b + =02 c I. ,   今 证  中的点不在 厶 上  中的点不在 f 2  
上 , 中 的 点 不 在 I上 . C 『   I

= r ∑   一)  一
k=l  

= lr ∑ ,  +—)  一  


事实上, 若  中的点在 f 即存在 “vW 1 上, ,   , 使 得  口 +y   0 ” b + w= ,   ①  且 2 , I, I.   2 c2 b   ②  由① 、 ②知 2 口 从而 (,,) , I, 口bc  2 这与 ( ’  口, 6 c = 矛盾, 以  中的点不在 f   ) l 所 1 上.

∑ = lr    +—)  .

由 口,2… , 是 递 增 的 , 而 易 知 数 列  l ,   a 从 /, /, , / l   2…   n也 是 递 增 的, 即 


/  j

/ 1 J m, m,      

m -i  
?
. . 

若  中的点在 f上, ' 即在 ”y ,, w使得 

缶-下 I   m,m  . -= - I  ̄

②  

?3 ? 4  

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对 于 k=0l2… ,  , ,,,  一 有 
(  一m 一七 ( )   一 )     (  一m 一七七 + )  I≤七  一 +) (   I,  
? . .

∑  =  
I l : 

(   S + ≤( -m一七 S  一,) mI n ) m+k . S,  
=  

∑ 

m( m+1 )  
2   2  

2n c m—m( m+1 )   (  (  一,)  +m +1 c ) —2 n 
= C,   l?


≤  


【 (   ) +七 .  一, 一七   】  
m  

~   ∑
I 

n + m —

+1 2 n’ — c  

[ nm     ( -
+l 一  2  



 

+ 
k=0  

∑ 
= +(  ) 2 n -m( +1    一   c      ) m m  

( + )     .  

~   ∑
纠 

③ 
”m  
= —— —_ —— — —— ——  —  — —— 一 ‘  

由①知 

+ m + l一 2c n 
n 
? . .

(+-) = n 1r . ∑  S
I l : 

n 

∑  = 册∑C. 1  k
k=I   k   =l

(   ) nS +  _ 二  .  + s?  


. . 

,  

即上 述 构造 的数 列 满足 题 设 的条件 , 从  而 对 任 意 充 分 大 的  总 有 

+ l m 一 2r +  
=   ,  

( m+1 . ’ . ’ >,  )
M  

∑a k  
一  

∑  
+ 


∑ 
. 

?


M   —I .

⑤ 


I= l  

l c —  

tm   i

∑ 一  
an   —

现 证 M =_  , 此 构 造 如 下 数 列 : 为  
q =口 =…  2 =l 口 + = 口 + =… = ,卅 l 卅 2  

丝±丝 ±!   =
m  

2 n —m( +1 cm m )   ( —m)n+m +1 —— —。 n ——( ————-— n —-————— —— 2 —   — — — c)

+ m + l一 2c n 

(’ <o ) 。m . n 

首 先 证 明 以上 构 造 的 数 列 满 足 题 设 , 为  此必须满足  2 n —m( cm m+1 )  
≥(  一mX n+m+l c )  一2 n .
=  

+ l一   l  

l —c+ l   /
l  

2 + t m +  i



2n 一 竹 c 2  , 一m( m+1 )  

+2 n , c m  
?
. .

n  一2 n  + c  ≤0 即 n+l c   0  , 一2 n ,
1  
> 一 .  

l  n —c O—c  )

. 

.  

2 一1 c  

由于 上 式 对 任 意 充 分 大  都 成 立 ,  
?


因 此 只 要 取 充 分 大 的  , 即可 保 证 上 述 构  造 的数 列 是 不 减 的 正 实数 数 列 , 且 



M > -  

,  
. 

⑥ 

I— C 

由⑤ 、⑥ 知 M :—l -

?3 ? 5  


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