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06 不等式


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不等式(组)
一、选择题 1. ( 2014?广西贺州, 第 7 题 3 分) 不等式 A. B. C. 的解集在数轴上表示正确的是 ( D. )

考点: 在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组. 分析: 先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部

分,然后把不等式的解 集表示在数轴上即可 解答: 解: 故选:A. 点评: 把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画) ,数轴上的点 把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一 样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实 心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示. ,解得 ,

2. ( 2014?广西玉林市、 防城港市, 第 10 题 3 分) 在等腰△ABC 中, AB=AC, 其周长为 20cm, 则 AB 边的取值范围是( A.1cm<AB<4cm ) C.4cm<AB<8cm D.4cm<AB<10cm

B.5cm<AB<10cm

考点: 等腰三角形的性质;解一元一次不等式组;三角形三边关系. 分析: 设 AB=AC=x,则 BC=20﹣2x,根据三角形的三边关系即可得出结论. 解答: 解:∵在等腰△ABC 中,AB=AC,其周长为 20cm, ∴设 AB=AC=xcm,则 BC=(20﹣2x)cm, ∴ ,

解得 5cm<x<10cm.
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故选 B. 点评: 本题考查的是等腰三角形的性质,熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键.

3. (2014 年云南省,第 3 题 3 分)不等式组 A. x> B. ﹣1≤x< C.x<

的解集是(



D.x≥﹣1

考点: 解一元一次不等式组. 分析: 分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可. 解答: 解: ,由①得,x> ,由②得,x≥﹣1,

故此不等式组的解集为:x> . 故选 A. 点评: 本题考查的是解一元一次不等式组,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找; 大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

4.(2014 年广东汕尾,第 3 题 4 分)若 x>y,则下列式子中错误的是( A.x﹣3>y﹣3 B. > C.x+3>y+3



D.﹣3x>﹣3y

分析:根据不等式的基本性质,进行选择即可. 解:A、根据不等式的性质 1,可得 x﹣3>y﹣3,故 A 正确; B、根据不等式的性质 2,可得 > ,故 B 正确; C、根据不等式的性质 1,可得 x+3>y+3,故 C 正确; D、根据不等式的性质 3,可得﹣3x<﹣3y,故 D 错误;故选 D. 点评:本题考查了不等式的性质: (1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子) ,不等号的方向不变. (2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. (3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.

5.(2014?毕节地区,第 5 题 3 分)下列叙述正确的是( ) A.方差越大,说明数据就越稳定

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B.在不等式两边同乘或同除以一个不为 0 的数时,不等号的方向不变 C.不在同一直线上的三点确定一个圆 D.两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等

考点: 分析:

方差;不等式的性质;全等三角形的判定;确定圆的条件 利用方差的意义、不等号的性质、全等三角形的判定及确定圆的 条件对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项.

解答:

解:A、方差越大,越不稳定,故选项错误; B、在不等式的两边同时乘以或除以一个负数,不等号方向改变, 故选项错误; C、正确; D、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等,故选项错误. 故选 C.

点评:

本题考查了方差的意义、不等号的性质、全等三角形的判定及确 定圆的条件,属于基本定理的应用,较为简单.

6.(2014?武汉)为了解某一路口某一时段的汽车流量,小明同学 10 天中在同一时段统计通 过该路口的汽车数量(单位:辆),将统计结果绘制成如下折线统计图:

由此估计一个月(30 天)该时段通过该路口的汽车数量超过 200 辆的天数为( ) A.9 www.czsx.com.cn 考点: 分析: 折线统计图;用样本估计总体 先由折线统计图得出 10 天中在同一时段通过该路口的汽车数量超 B.10 C.12 D.15

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过 200 辆的天数,求出其频率,再利用样本估计总体的思想即可求 解. 解答: 解:由图可知,10 天中在同一时段通过该路口的汽车数量超过 200 辆的有 4 天,频率为: =0.4,

所以估计一个月(30 天)该时段通过该路口的汽车数量超过 200 辆的天数为:30× 0.4=12(天). 故选 C. 点评: 本题考查了折线统计图及用样本估计总体的思想,读懂统计图,从 统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.

7.(2014?邵阳,第 6 题 3 分)不等式组 A. B. C.

的解集在数轴上表示正确的是( ) D.

考点: 分析:

在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组 先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分, 然后把不等式的解集表示在数轴上即可.

解答:

解: 故选:B.

,解得



点评:

把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左 画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示 解集的线的条数与不等式的个数一样, 那么这段就是不等式组的解 集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示; “<”,“>”要用空心圆点表示.

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8. (2014· 台湾,第 22 题 3 分)图为歌神 KTV 的两种计费方案说明.若晓莉和朋友们打算 在此 KTV 的一间包厢里连续欢唱 6 小时,经服务生试算后,告知他们选择包厢计费方案会 比人数计费方案便宜,则他们至少有多少人在同一间包厢里欢唱?( )

A .6

B.7

C.8

D.9

分析:设晓莉和朋友共有 x 人,分别计算选择包厢和选择人数的费用,然后根据选择包厢计 费方案会比人数计费方案便宜,列不等式求解. 解:设晓莉和朋友共有 x 人, 若选择包厢计费方案需付:900× 6+99x 元, 若选择人数计费方案需付:540× x+(6﹣3)× 80× x=780x(元), ∴900× 6+99x<780x, 5400 633 解得:x> =7 . 681 681 ∴至少有 8 人. 故选 C. 点评:本题考查了一元一次不等式的应用,解答本题的关键是读懂题意,找出合适的不等关 系,列不等式求解.

9. (2014?湘潭,第 6 题,3 分)式子 A.x>1 B.x<1

有意义,则 x 的取值范围是( C.x≥1 D.x≤1



考点: 二次根式有意义的条件. 分析: 根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式 x﹣1≥0,通过解该不等式即可求得 x 的取值范围.

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解答: 解:根据题意,得 x﹣1≥0, 解得,x≥1. 故选 C. 点评: 此题考查了二次根式的意义和性质.概念:式子 (a≥0)叫二次根式.性质:二次

根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义. 10. (2014?益阳,第 5 题,4 分)一元二次方程 x2﹣2x+m=0 总有实数根,则 m 应满足的条 件是( A. m>1 考点: 根的判别式. 分析: 根据根的判别式,令△≥0,建立关于 m 的不等式,解答即可. 解答: 解:∵方程 x2﹣2x+m=0 总有实数根, ∴△≥0, 即 4﹣4m≥0, ∴﹣4m≥﹣4, ∴m≤1. 故选 D. 点评: 本题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系: (1)△>0?方程有两个不相等的实数根; (2)△=0?方程有两个相等的实数根; (3)△<0?方程没有实数根. 11. (2014?株洲, 第 2 题, 3 分) x 取下列各数中的哪个数时, 二次根式 A.﹣2 B.0 C.2 D.4 有意义 ( ) ) B. m=1 C.m<1 D.m≤1

考点: 二次根式有意义的条件. 分析: 二次根式的被开方数是非负数. 解答: 解:依题意,得 x﹣3≥0, 解得,x≥3. 观察选项,只有 D 符合题意.

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故选:D. 点评: 考查了二次根式的意义和性质.概念:式子 (a≥0)叫二次根式.性质:二次根式

中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义. 12. (2014?株洲,第 6 题,3 分)一元一次不等式组 ( A. 4 ) B.5 C.6 D.7 的解集中,整数解的个数是

考点: 一元一次不等式组的整数解. 分析: 先求出不等式的解集,再求出不等式组的解集,找出不等式组的整数解即可. 解答: 解:∵解不等式 2x+1>0 得:x>﹣, 解不等式 x﹣5≤0 得:x≤5, ∴不等式组的解集是﹣<x≤5, 整数解为 0,1,2,3,4,5,共 6 个, 故选 C. 点评: 本题考查了解一元一次不等式,解一元一次不等式组的应用,解此题的关键是求出不 等式组的解集.

13.(2014?滨州,第 6 题 3 分)a,b 都是实数,且 a<b,则下列不等式的变形正确的是( ) A.a+x>b+x B.﹣a+1<﹣b+1 C.3a<3b D. >

考点: 分析:

不等式的性质 根据不等式的性质 1,可判断 A,根据不等式的性质 3、1 可判断 B,根据不等式的性质 2,可判断 C、D.

解答:

解:A、不等式的两边都加或都减同一个整式,不等号的方向不 变,故 A 错误; B、不等式的两边都乘或除以同一个负数,不等号的方向改变, 故 B 错误; C、 不等式的两边都乘以或除以同一个正数, 不等号的方向不变,

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故 C 正确; D、 不等式的两边都乘以或除以同一个正数, 不等号的方向不变, 故 D 错误; 故选:C. 点评: 本题考查了不等式的性质,不等式的两边都乘或除以同一个负 数,不等号的方向改变. 14.(2014?德州,第 6 题 3 分)不等式组 A. B. C. 的解集在数轴上可表示为( D. )

考点: 在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组 分析: 先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分,然后把不等式的解 集表示在数轴上即可. 解不等式组得: 解答: 解: 故选:D. 点评: 本题考查了在数周表示不等式的解集,把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>, ≥向右画;<,≤向左画) ,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表 示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要 几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示. 15. (2014 年山东泰安,第 15 题 3 分)若不等式组 值范围是( ) B. a≤﹣36 C.a>﹣36 D.a≥﹣36 有解,则实数 a 的取 ,再分别表示在数轴上即可得解.

解得



A.a<﹣36 分析:

先求出不等式组中每一个不等式的解集, 不等式组有解, 即两个不等式的解集

有公共部分,据此即可列不等式求得 a 的范围. 解: ,解①得:x<a﹣1,解②得:x≥﹣37,

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则 a﹣1>﹣37,解得:a>﹣36.故选 C. 点评: 本题考查的是一元一次不等式组的解, 解此类题目常常要结合数轴来判断. 还

可以观察不等式的解,若 x>较小的数、<较大的数,那么解集为 x 介于两数之间.

二.填空题 1. ( 2014?广东,第 15 题 4 分)不等式组 考点: 解一元一次不等式组. 专题: 计算题. 分析: 分别求出不等式组中两不等式的解集,找出两解集的公共部分即可. 解答: 解: , 的解集是 1<x<4 .

由①得:x<4;由②得:x>1, 则不等式组的解集为 1<x<4. 故答案为:1<x<4. 点评: 此题考查了解一元一次不等式组,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

2. (2014?新疆,第 10 题 5 分)不等式组 考点: 解一元一次不等式组

的解集是



分析: 先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分就是不等式组的解 集. 解答: 解: 解①得:x>﹣5, 解②得:x<﹣2, 则不等式组的解集是:﹣5<x<﹣2. 故答案是:﹣5<x<﹣2. 点评: 本题考查的是一元一次不等式组的解,解此类题目常常要结合数轴来判断.还可以观 ,

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察不等式的解,若 x>较小的数、<较大的数,那么解集为 x 介于两数之间.

3. (2014?温州,第 13 题 5 分)不等式 3x﹣2>4 的解是 x>2 . 考点: 解一元一次不等式. 分析: 先移项,再合并同类项,把 x 的系数化为 1 即可. 解答: 解:移项得,3x>4+2, 合并同类项得,3x>6, 把 x 的系数化为 1 得,x>2. 故答案为:x>2. 点评: 本题考查的是解一元一次不等式, 熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关 键.

4. (2014?毕节地区, 第 17 题 5 分) 不等式组

的解集为 ﹣4≤x≤1 .

考点: 分析: 解答:

解一元一次不等式组 分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可. 解: 由①得,x≤1, 由②得,x≥﹣4, 故此不等式组的解集为:﹣4≤x≤1. 故答案为:﹣4≤x≤1. ,

点评:

本题考查的是解一元一次不等式组,熟知“同大取大;同小取小;大小小 大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

5.(2014?武汉,第 18 题 6 分)已知直线 y=2x﹣b 经过点(1,﹣1),求关于 x 的不等式 2x ﹣b≥0 的解集. 考点: 一次函数与一元一次不等式

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分析: 解答:

把点(1,﹣1)代入直线 y=2x﹣b 得到 b 的值,再解不等式. 解:把点(1,﹣1)代入直线 y=2x﹣b 得, ﹣1=2﹣b, 解得,b=3. 函数解析式为 y=2x﹣3. 解 2x﹣3≥0 得,x≥ .

点评:

本题考查了一次函数与一元一次不等式,要知道,点的坐标符合函数解析式. 的解集是 1<x≤ .

6. (2014?四川自贡,第 12 题 4 分)不等式组 考点: 解一元一次不等式组 分析: 分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可. 解答: 解:

,由①得,x≤,由②得,x>1,

故此不等式组的解集为:1<x≤. 故答案为:1<x≤. 点评: 本题考查的是解一元一次不等式组,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找; 大大小小找不到”的原则是解答此题的关键. 7. (2014· 浙江金华,第 11 题 4 分)写出一个解为 x ? 1 的一元一次不等式 【答案】 x ? 1 ? 0 (答案不唯一). 【解析】 试题分析:根据不等式的性质,从 x≥1 逆推即可得到一元一次不等式: x ? 1 ? x ? 1 ? 0 (答 案不唯一). 考点:1.开放型;2.不等式的解集. ▲ .

8. (2014?株洲,第 16 题,3 分)如果函数 y=(a﹣1)x2+3x+ 标系的四个象限,那么 a 的取值范围是 a<﹣5 . 考点: 抛物线与 x 轴的交点 分析: 函数图象经过四个象限,需满足 3 个条件: (I)函数是二次函数;
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的图象经过平面直角坐

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(II)二次函数与 x 轴有两个交点; (III)二次函数与 y 轴的正半轴相交. 解答: 解:函数图象经过四个象限,需满足 3 个条件: (I)函数是二次函数.因此 a﹣1≠0,即 a≠1① (II)二次函数与 x 轴有两个交点.因此△=9﹣4(a﹣1) a<﹣ ② >0,解得 a>1 或 a<﹣5③ =﹣4a﹣11>0,解得

(III)二次函数与 y 轴的正半轴相交.因此 综合①②③式,可得:a<﹣5. 故答案为:a<﹣5.

点评: 本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与 x 轴的交点、二次函数与 y 轴交点等知 识点,解题关键是确定“函数图象经过四个象限”所满足的条件.

9. (2014 年江苏南京,第 15 题,2 分)铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之 和不超过 160cm,某厂家生产符合该规定的行李箱,已知行李箱的高为 30cm,长与宽的 比为 3:2,则该行李箱的长的最大值为 考点:一元一次不等式的应用。 分析:设长为 3x,宽为 2x,再由行李箱的长、宽、高之和不超过 160cm,可得出不等式, 解出即可. 解答:设长为 3x,宽为 2x,由题意,得:5x+30≤160, 解得:x≤26,故行李箱的长的最大值为 78.故答案为:78cm. 点评:本题考查了一元一次不等式的应用,解答本题的额关键是仔细审题,找到不等关系, 建立不等式. cm.

10. (2014 年江苏南京,第 16 题,2 分)已知二次函数 y=ax2+bx+c 中,函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表: x y … … ﹣1 10 0 5 . 1 2 2 1 3 2 … …

则当 y<5 时,x 的取值范围是 考点:二次函数与不等式

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分析:根据表格数据,利用二次函数的对称性判断出 x=4 时,y=5,然后写出 y<5 时, x 的取值范围即可. 解答:由表可知,二次函数的对称轴为直线 x=2,所以,x=4 时,y=5, 所以,y<5 时,x 的取值范围为 0<x<4.故答案为:0<x<4. 点评: 本题考查了二次函数与不等式, 观察图表得到 y=5 的另一个 x 的值是解题的关键.

三.解答题 1. ( 2014?安徽省,第 20 题 10 分)2013 年某企业按餐厨垃圾处理费 25 元/吨、建筑垃圾处 理费 16 元/吨的收费标准,共支付餐厨和建筑垃圾处理费 5200 元.从 2014 年元月起,收费 标准上调为:餐厨垃圾处理费 100 元/吨,建筑垃圾处理费 30 元/吨.若该企业 2014 年处理 的这两种垃圾数量与 2013 年相比没有变化,就要多支付垃圾处理费 8800 元. (1)该企业 2013 年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨? (2) 该企业计划 2014 年将上述两种垃圾处理总量减少到 240 吨, 且建筑垃圾处理量不超过 餐厨垃圾处理量的 3 倍,则 2014 年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元? 考点: 一次函数的应用;二元一次方程组的应用;一元一次不等式的应用. 分析: (1)设该企业 2013 年处理的餐厨垃圾 x 吨,建筑垃圾 y 吨,根据等量关系式:餐 厨垃圾处理费 25 元/吨× 餐厨垃圾吨数+建筑垃圾处理费 16 元/吨× 建筑垃圾吨数=总费用, 列 方程. (2)设该企业 2014 年处理的餐厨垃圾 x 吨,建筑垃圾 y 吨,需要支付这两种垃圾处理费共 a 元,先求出 x 的范围,由于 a 的值随 x 的增大而增大,所以当 x=60 时,a 值最小,代入求 解. 解答: 解: (1)设该企业 2013 年处理的餐厨垃圾 x 吨,建筑垃圾 y 吨,根据题意,得 , 解得 .

答:该企业 2013 年处理的餐厨垃圾 80 吨,建筑垃圾 200 吨; (2)设该企业 2014 年处理的餐厨垃圾 x 吨,建筑垃圾 y 吨,需要支付这两种垃圾处理费共 a 元,根据题意得, ,解得 x≥60.

a=100x+30y=100x+30(240﹣x)=70x+7200, 由于 a 的值随 x 的增大而增大,所以当 x=60 时,a 值最小,
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最小值=70× 60+7200=11400(元) . 答:2014 年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共 11400 元. 点评: 本题主要考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用, 找准等量关系正确的列 出方程是解决本题的关键;

2. ( 2014?珠海,第 12 题 6 分)解不等式组: 考点: 解一元一次不等式组. 分析: 分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可. 解答: 解:



,由①得,x>﹣2,由②得,x≤﹣1,

故此不等式组的解集为:﹣2<x≤﹣1. 点评: 本题解一元一次不等式组,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小 找不到”的法则是解答此题的关键.

3. ( 2014?珠海,第 20 题 9 分)阅读下列材料: 解答“已知 x﹣y=2,且 x>1,y<0,试确定 x+y 的取值范围”有如下解法: 解∵x﹣y=2,∴x=y+2 又∵x>1,∵y+2>1.∴y>﹣1. 又∵y<0,∴﹣1<y<0. …① 同理得:1<x<2. …② 由①+②得﹣1+1<y+x<0+2 ∴x+y 的取值范围是 0<x+y<2 请按照上述方法,完成下列问题: (1)已知 x﹣y=3,且 x>2,y<1,则 x+y 的取值范围是 1<x+y<5 . (2)已知 y>1,x<﹣1,若 x﹣y=a 成立,求 x+y 的取值范围(结果用含 a 的式子表示) . 考点: 一元一次不等式组的应用. 专题: 阅读型. 分析: (1)根据阅读材料所给的解题过程,直接套用解答即可;

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(2)理解解题过程,按照解题思路求解. 解答: 解: (1)∵x﹣y=3, ∴x=y+3, 又∵x>2, ∴y+3>2, ∴y>﹣1. 又∵y<1, ∴﹣1<y<1,…① 同理得:2<x<4,…② 由①+②得﹣1+2<y+x<1+4 ∴x+y 的取值范围是 1<x+y<5; (2)∵x﹣y=a, ∴x=y+a, 又∵x<﹣1, ∴y+a<﹣1, ∴y<﹣a﹣1, 又∵y>1, ∴1<y<﹣a﹣1,…① 同理得:a+1<x<﹣1,…② 由①+②得 1+a+1<y+x<﹣a﹣1+(﹣1) , ∴x+y 的取值范围是 a+2<x+y<﹣a﹣2. 点评: 本题考查了一元一次不等式组的应用,解答本题的关键是仔细阅读材料,理解解题 过程,难度一般.

4. ( 2014?广西玉林市、防城港市,第 24 题 9 分)我市市区去年年底电动车拥有量是 10 万辆,为了缓解城区交通拥堵状况,今年年初,市交通部门要求我市到明年年底控制电动车 拥有量不超过 11.9 万辆,估计每年报废的电动车数量是上一年年底电动车拥有量的 10%, 假定每年新增电动车数量相同,问: (1)从今年年初起每年新增电动车数量最多是多少万辆?

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(2)在(1)的结论下,今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是多少?(结果精确 到 0.1%) 考点: 一元二次方程的应用;一元一次不等式的应用. 分析: (1)根据题意分别求出今年将报废电动车的数量,进而得出明年报废的电动车数量, 进而得出不等式求出即可; (2)分别求出今年年底电动车数量,进而求出今年年底到明年年底电动车拥有量的 年增长率. 解答: 解: (1)设从今年年初起每年新增电动车数量是 x 万辆, 由题意可得出:今年将报废电动车:10× 10%=1(万辆) , ∴[(10﹣1)+x](1﹣10%)+x≤11.9, 解得:x≤2. 答:从今年年初起每年新增电动车数量最多是 2 万辆; (2)∵今年年底电动车拥有量为: (10﹣1)+x=11(万辆) , 明年年底电动车拥有量为:11.9 万辆, ∴设今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是 y,则 11(1+y)=11.9, 解得:y≈0.082=8.2%. 答:今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是 8.2%. 点评: 此题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用, 分别表示出今年与 明年电动车数量是解题关键.

5.(2014 年四川资阳,第 22 题 9 分)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共 20 台, 空调的采购单价 y1 (元/台) 与采购数量 x1 (台) 满足 y1=﹣20x1+1500 (0<x1≤20, x1 为整数) ; 冰箱的采购单价 y2 (元/台) 与采购数量 x2 (台) 满足 y2=﹣10x2+1300 (0<x2≤20, x2 为整数) . (1) 经商家与厂家协商, 采购空调的数量不少于冰箱数量的 元,问该商家共有几种进货方案? (2)该商家分别以 1760 元/台和 1700 元/台的销售单价售出空调和冰箱,且全部售完.在 (1)的条件下,问采购空调多少台时总利润最大?并求最大利润. 考点: 二次函数的应用;一元一次不等式组的应用. , 且空调采购单价不低于 1200

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分析: (1)设空调的采购数量为 x 台,则冰箱的采购数量为(20﹣x)台,然后根据数量 和单价列出不等式组,求解得到 x 的取值范围,再根据空调台数是正整数确定进货方案; (2)设总利润为 W 元,根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到 W 与 x 的函数关 系式并整理成顶点式形式,然后根据二次函数的增减性求出最大值即可. 解答: 解: (1)设空调的采购数量为 x 台,则冰箱的采购数量为(20﹣x)台, 由题意得, 解不等式①得,x≥11, 解不等式②得,x≤15, 所以,不等式组的解集是 11≤x≤15, ∵x 为正整数, ∴x 可取的值为 11、12、13、14、15, 所以,该商家共有 5 种进货方案; (2)设总利润为 W 元, y2=﹣10x2+1300=﹣10(20﹣x)+1300=10x+1100, 则 W=(1760﹣y1)x1+(1700﹣y2)x2, =1760x﹣(﹣20x+1500)x+(1700﹣10x﹣1100) (20﹣x) , =1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000, =30x2﹣540x+12000, =30(x﹣9)2+9570, 当 x>9 时,W 随 x 的增大而增大, ∵11≤x≤15, ∴当 x=15 时,W 最大值=30(15﹣9)2+9570=10650(元) , 答:采购空调 15 台时,获得总利润最大,最大利润值为 10650 元. 点评: 本题考查了二次函数的应用,一元一次不等式组的应用, (1)关键在于确定出两个 不等关系, (2)难点在于用空调的台数表示出冰箱的台数并列出利润的表达式. ,

6.(2014 年天津市,第 19 题 8 分)解不等式组 请结合题意填空,完成本题的解答:
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(Ⅰ)解不等式①,得 (Ⅱ)解不等式②,得

; ;

(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来;

(Ⅳ)原不等式组的解集为



考点: 解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集. 分析: 分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集,并在数轴上表示出来即可. 解答: 解: (I)解不等式①,得 x≥﹣1; (II)解不等式②得,x≤1, (III)在数轴上表示为: ; (IN)故此不等式的解集为:﹣1≤x≤1. 故答案分别为:x≥﹣1,x≤1,﹣1≤x≤1. 点评: 本题考查的是解一元一次不等式组,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找; 大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

7. (2014?舟山,第 21 题 8 分)某汽车专卖店销售 A,B 两种型号的新能源汽车.上周售出 1 辆 A 型车和 3 辆 B 型车,销售额为 96 万元;本周已售出 2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车,销售 额为 62 万元. (1)求每辆 A 型车和 B 型车的售价各为多少元. (2)甲公司拟向该店购买 A,B 两种型号的新能源汽车共 6 辆,购车费不少于 130 万元, 且不超过 140 万元.则有哪几种购车方案?

考点: 一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用 分析: (1)每辆 A 型车和 B 型车的售价分别是 x 万元、y 万元.则等量关系为:1 辆 A 型车 和 3 辆 B 型车,销售额为 96 万元,2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车,销售额为 62 万元; (2)设购买 A 型车 a 辆,则购买 B 型车(6﹣a)辆,则根据“购买 A,B 两种型号的 新能源汽车共 6 辆,购车费不少于 130 万元,且不超过 140 万元”得到不等式组. 解答: 解: (1)每辆 A 型车和 B 型车的售价分别是 x 万元、y 万元.则
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, 解得 .

答:每辆 A 型车的售价为 18 万元,每辆 B 型车的售价为 26 万元; (2)设购买 A 型车 a 辆,则购买 B 型车(6﹣a)辆,则依题意得 , 解得 2≤a≤3. ∵a 是正整数, ∴a=2 或 a=3. ∴共有两种方案: 方案一:购买 2 辆 A 型车和 4 辆 B 型车; 方案二:购买 3 辆 A 型车和 3 辆 B 型车. 点评: 本题考查了一元一次不等式组的应用和二元一次方程组的应用. 解决问题的关键是读 懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量的等量关系.

8.(2014 年广东汕尾,第 23 题 11 分)某校为美化校园,计划对面积为 1800m2 的区域进行 绿化,安排甲、乙两个工程队完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化 的面积的 2 倍,并且在独立完成面积为 400m2 区域的绿化时,甲队比乙队少用 4 天. (1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少 m2? (2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为 0.4 万元,乙队为 0.25 万元,要使这次的绿化总 费用不超过 8 万元,至少应安排甲队工作多少天? 分析: (1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是 xm2,根据在独立完成面积为 400m2 区域的 绿化时,甲队比乙队少用 4 天,列出方程,求解即可; (2)设至少应安排甲队工作 x 天,根据这次的绿化总费用不超过 8 万元,列出不等式,求 解即可. 解: (1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是 xm2,根据题意得: 解得:x=50 经检验 x=50 是原方程的解, 则甲工程队每天能完成绿化的面积是 50× 2=100(m2) , 答:甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是 100m2、50m2;
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=4,

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(2)设至少应安排甲队工作 x 天,根据题意得: 0.4x+ ×0.25≤8,解得:x≥10,

答:至少应安排甲队工作 10 天. 点评:此题考查了分式方程的应用,关键是分析题意,找到合适的数量关系列出方程和不等 式,解分式方程时要注意检验. 9.(2014?襄阳,第 24 题 10 分)我市为创建“国家级森林城市”政府将对江边一处废弃荒地进 行绿化,要求栽植甲、乙两种不同的树苗共 6000 棵,且甲种树苗不得多于乙种树苗, .某承 包商以 26 万元的报价中标承包了这项工程.根据调查及相关资料表明:移栽一棵树苗的平 均费用为 8 元,甲、乙两种树苗的购买价及成活率如表: 品种 甲 乙 购买价(元/棵)成活率 20 32 90% 95%

设购买甲种树苗 x 棵,承包商获得的利润为 y 元.请根据以上信息解答下列问题: (1)设 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量取值范围; (2)承包商要获得不低于中标价 16%的利润,应如何选购树苗? (3)政府与承包商的合同要求,栽植这批树苗的成活率必须不低于 93%,否则承包商出资 补载;若成活率达到 94%以上(含 94%) ,则城府另给予工程款总额 6%的奖励,该承包商 应如何选购树苗才能获得最大利润?最大利润是多少? 考点: 一次函数的应用;一元一次不等式组的应用 分析: (1)根据利润等于价格减去成本,可得答案; (2)根据利润不低于中标价 16%,可得不等式,根据解不等式,可得答案; (3)分类讨论,成活率不低于 93%且低于 94%时,成活率达到 94%以上(含 94%) , 可得相应的最大值,根据有理数的比较,可得答案. 解答: 解: (1)y=260000﹣[20x+32(6000﹣x)+8× 6000=12x+20000, 自变量的取值范围是:0<x≤3000; (2)由题意,得 12x+20000≥260000×16%, 解得:x≥1800, ∴1800≤x≤3000, 购买甲种树苗不少于 1800 棵且不多于 3000 棵;

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(3)①若成活率不低于 93%且低于 94%时,由题意得 , 解得 1200<x≤2400 在 y=12x+20000 中, ∵12>0, ∴y 随 x 的增大而增大, ∴当 x=2400 时, y 最大=48800, ②若成活率达到 94%以上(含 94%) ,则 0.9x+0.95(6000﹣x)≥0.94×6000, 解得:x≤1200, 由题意得 y=12x+20000+260000× 6%=12x+35600, ∵12>0, ∴y 随 x 的增大而增大, ∴当 x=1200 时,y 最大值=5000, 综上所述,50000>48800 ∴购买甲种树苗 1200 棵, 一种树苗 4800 棵, 可获得最大利润, 最大利润是 50000 元. 点评: 本题考查了一次函数的应用,利用了价格减成本等于利润,分类讨论是解题关键.

10.(2014?孝感,第 23 题 10 分)我市荸荠喜获丰收,某生产基地收获荸荠 40 吨.经市场 调查, 可采用批发、 零售、 加工销售三种销售方式, 这三种销售方式每吨荸荠的利润如下表: 销售方式 利润(百元/吨) 批发 12 零售 22 加工销售 30

设按计划全部售出后的总利润为 y 百元,其中批发量为 x 吨,且加工销售量为 15 吨. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2) 若零售量不超过批发量的 4 倍, 求该生产基地按计划全部售完荸荠后获得的最大利润. 考点: 一次函数的应用;一元一次不等式组的应用. 分析: (1)根据总利润=批发的利润+零售的利润+加工销售的利润就可以得出结论; (2)由(1)的解析式,根据零售量不超过批发量的 4 倍,建立不等式求出 x 的取值

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范围,由一次函数的性质就可以求出结论. 解答: 解: (1)依题意可知零售量为(25﹣x)吨,则 y=12 x+22(25﹣x)+30× 15 ∴y=﹣10 x+1000;

(2)依题意有:



解得:5≤x≤25. ∵k=﹣10<0, ∴y 随 x 的增大而减小. ∴当 x=5 时,y 有最大值,且 y 最大=950(百元) . ∴最大利润为 950 百元. 点评: 本题考查了总利润=批发的利润+零售的利润+加工销售的利润的运用,一元一次不等 式组的运用,一次函数的性质的运用,解答时求出一次函数的解析式是关键.

11.(2014?邵阳,第 23 题 8 分)小武新家装修,在装修客厅时,购进彩色地砖和单色地砖 共 100 块,共花费 5600 元.已知彩色地砖的单价是 80 元/块,单色地砖的单价是 40 元/块. (1)两种型号的地砖各采购了多少块? (2)如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共 60 块,且采购地砖的费用不超过 3200 元,那 么彩色地砖最多能采购多少块? 考点: 分析: 二元一次方程组的应用;一元一次不等式的应用 (1)设彩色地砖采购 x 块,单色地砖采购 y 块,根据彩色地砖和单色地砖的 总价为 5600 及地砖总数为 100 建立二元一次方程组求出其解即可; (2)设购进彩色地砖 a 块,则单色地砖购进(60﹣a)块,根据采购地砖的 费用不超过 3200 元建立不等式,求出其解即可. 解答: 解:(1)设彩色地砖采购 x 块,单色地砖采购 y 块,由题意,得 , 解得: .

答:彩色地砖采购 40 块,单色地砖采购 60 块;

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(2)设购进彩色地砖 a 块,则单色地砖购进(60﹣a)块,由题意,得 80a+40(60﹣a)≤3200, 解得:a≤20. ∴彩色地砖最多能采购 20 块. 点评: 本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用,列一元一次不等式解实际 问题的运用, 解答时认真分析单价× 数量=总价的关系建立方程及不等式是关 键.

12. (2014?四川自贡,第 21 题 10 分)学校新到一批理、化、生实验器材需要整理,若实验 管理员李老师一人单独整理需要 40 分钟完成, 现在李老师与工人王师傅共同整理 20 分钟后, 李老师因事外出,王师傅再单独整理了 20 分钟才完成任务. (1)王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟? (2)学校要求王师傅的工作时间不能超过 30 分钟,要完成整理这批器材,李老师至少要工 作多少分钟? 考点: 分式方程的应用;一元一次不等式的应用 专题: 应用题. 分析: (1)设王师傅单独整理这批实验器材需要 x 分钟,则王师傅的工作效率为,根据李 老师与工人王师傅共同整理 20 分钟的工作量+王师傅再单独整理了 20 分钟的工作量 =1,可得方程,解出即可; (2)根据王师傅的工作时间不能超过 30 分钟,列出不等式求解. 解答: 解: (1)设王师傅单独整理这批实验器材需要 x 分钟,则王师傅的工作效率为, 由题意,得:20( 解得:x=80, 经检验得:x=80 是原方程的根. 答:王师傅单独整理这批实验器材需要 80 分钟. (2)设李老师要工作 y 分钟, 由题意,得: (1﹣ 解得:y≥25. 答:李老师至少要工作 25 分钟.
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+)+20× =1,

)÷

≤30,

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点评: 本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用,解答本题的关键是仔细审题, 找到不等关系及等量关系.

13. (2014?湘潭,第 21 题)某企业新增了一个化工项目,为了节约资源,保护环境,该企 业决定购买 A、B 两种型号的污水处理设备共 8 台,具体情况如下表: A型 价格(万元/台) 12 B型 10 160

月污水处理能力(吨/月)200

经预算,企业最多支出 89 万元购买设备,且要求月处理污水能力不低于 1380 吨. (1)该企业有几种购买方案? (2)哪种方案更省钱,说明理由. 考点: 一元一次不等式组的应用 分析: (1)设购买污水处理设备 A 型号 x 台,则购买 B 型号(8﹣x)台,根据企业最多支 出 89 万元购买设备,要求月处理污水能力不低于 1380 吨,列出不等式组,然后找出 最合适的方案即可. (2)计算出每一方案的花费,通过比较即可得到答案. 解答: 解:设购买污水处理设备 A 型号 x 台,则购买 B 型号(8﹣x)台, 根据题意,得 , 解这个不等式组,得:2.5≤x≤4.5. ∵x 是整数, ∴x=3 或 x=4. 当 x=3 时,8﹣x=5; 当 x=4 时,8﹣x=4. 答: 有 2 种购买方案: 第一种是购买 3 台 A 型污水处理设备, 5 台 B 型污水处理设备; 第二种是购买 4 台 A 型污水处理设备,4 台 B 型污水处理设备; (2)当 x=3 时,购买资金为 12× 1+10× 5=62(万元) , 当 x=4 时,购买资金为 12× 4+10× 4=88(万元) .

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因为 88>62, 所以为了节约资金,应购污水处理设备 A 型号 3 台,B 型号 5 台. 答:购买 3 台 A 型污水处理设备,5 台 B 型污水处理设备更省钱. 点评: 本题考查了一元一次不等式组的应用,本题是“方案设计”问题,一般可把它转化为求 不等式组的整数解问题,通过表格获取相关信息,在实际问题中抽象出不等式组是解 决这类问题的关键. 14. (2014?益阳,第 19 题,10 分)某电器超市销售每台进价分别为 200 元、170 元的 A、 B 两种型号的电风扇,下表是近两周的销售情况: 销售时段 销售数量 A 种型号 第一周 第二周 3台 4台 5台 10 台 销售收入 B 种型号 1800 元 3100 元

(进价、售价均保持不变,利润=销售收入﹣进货成本) (1)求 A、B 两种型号的电风扇的销售单价; (2)若超市准备用不多于 5400 元的金额再采购这两种型号的电风扇共 30 台,求 A 种型号 的电风扇最多能采购多少台? (3)在(2)的条件下,超市销售完这 30 台电风扇能否实现利润为 1400 元的目标?若能, 请给出相应的采购方案;若不能,请说明理由. 考点: 二元一次方程组的应用;一元一次方程的应用;一元一次不等式的应用. 分析: (1)设 A、B 两种型号电风扇的销售单价分别为 x 元、y 元,根据 3 台 A 型号 5 台 B 型号的电扇收入 1800 元,4 台 A 型号 10 台 B 型号的电扇收入 3100 元,列方程组求 解; (2)设采购 A 种型号电风扇 a 台,则采购 B 种型号电风扇(30﹣a)台,根据金额不 多余 5400 元,列不等式求解; (3)设利润为 1400 元,列方程求出 a 的值为 20,不符合(2)的条件,可知不能实 现目标. 解答: 解: (1)设 A、B 两种型号电风扇的销售单价分别为 x 元、y 元, 依题意得: 解得: , ,

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答:A、B 两种型号电风扇的销售单价分别为 250 元、210 元; (2)设采购 A 种型号电风扇 a 台,则采购 B 种型号电风扇(30﹣a)台. 依题意得:200a+170(30﹣a)≤5400, 解得:a≤10. 答:超市最多采购 A 种型号电风扇 10 台时,采购金额不多于 5400 元; (3)依题意有: (250﹣200)a+(210﹣170) (30﹣a)=1400, 解得:a=20, ∵a>10, ∴在(2)的条件下超市不能实现利润 1400 元的目标. 点评: 本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用,解答本题的关键是读懂题意, 设出未知数,找出合适的等量关系和不等关系,列方程组和不等式求解.

15. (2014 年江苏南京,第 17 题)解不等式组: 考点:一元一次不等式组的解



分析:先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分,就是不等式组的解 集. 解答: ,解①得:x≥1,解②得:x<2,

则不等式组的解集是:1≤x<2. 点评:本题考查的是一元一次不等式组的解,解此类题目常常要结合数轴来判断.还可以观 察不等式的解,若 x>较小的数、<较大的数,那么解集为 x 介于两数之间. 16. (2014?扬州,第 26 题,10 分)对 x,y 定义一种新运算 T,规定:T(x,y)= 中 a、 b 均为非零常数) , 这里等式右边是通常的四则运算, 例如: T (0, 1) = (1)已知 T(1,﹣1)=﹣2,T(4,2)=1. ①求 a,b 的值; ②若关于 m 的不等式组 恰好有 3 个整数解,求实数 p 的取值范围; (其 =b.

(2)若 T(x,y)=T(y,x)对任意实数 x,y 都成立(这里 T(x,y)和 T(y,x)均有意 义) ,则 a,b 应满足怎样的关系式?

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考点: 分式的混合运算;解二元一次方程组;一元一次不等式组的整数解 分析: (1)①已知两对值代入 T 中计算求出 a 与 b 的值; ②根据题中新定义化简已知不等式,根据不等式组恰好有 3 个整数解,求出 p 的范围 即可; (2)由 T(x,y)=T(y,x)列出关系式,整理后即可确定出 a 与 b 的关系式. 解答: 解: (1)①根据题意得:T(1,﹣1)= T=(4,2)= 解得:a=1,b=3; =1,即 2a+b=5, =﹣2,即 a﹣b=﹣2;

②根据题意得:



由①得:m≥﹣ ; 由②得:m< , ,

∴不等式组的解集为﹣ ≤m<

∵不等式组恰好有 3 个整数解,即 m=0,1,2, ∴2≤ <3,

解得:﹣2≤p<﹣ ; (2)由 T(x,y)=T(y,x) ,得到 整理得: (x2﹣y2) (2b﹣a)=0, ∵T(x,y)=T(y,x)对任意实数 x,y 都成立, ∴2b﹣a=0,即 a=2b. 点评: 此题考查了分式的混合运算,解二元一次方程组,以及一元一次不等式组的整数解, 弄清题中的新定义是解本题的关键. = ,

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17.(2014?呼和浩特,第 19 题 5 分)已知实数 a 是不等于 3 的常数,解不等式组 ,并依据 a 的取值情况写出其解集. 考点: 解一元一次不等式组. 专题: 分类讨论. 分析: 首先分别解出两个不等式,再根据实数 a 是不等于 3 的常数,分两种情况进行讨论: ①当 a>3 时,②当 a<3 时,然后确定出不等式组的解集. 解答: 解: 解①得:x≤3, 解②得:x<a, ∵实数 a 是不等于 3 的常数, ∴当 a>3 时,不等式组的解集为 x≤3, 当 a<3 时,不等式组的解集为 x<a. 点评: 此题主要考查了解一元一次不等式组, 关键是掌握解集的规律: 同大取大; 同小取小; 大小小大中间找;大大小小找不到. ,

18. (12 分) (2014?菏泽,第 15 题 6 分) (2)解不等式组 考点: 分析: 解答: 解一元一次不等式组 (2)分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集,进而可得出结论. 解: (2) , ,并判断 x= 是否为该不等式组的解.

由①得,x>﹣3,由②得,x≤1, 故此不等式组的解集为:﹣3<x≤1, ∵ ∴x= >1, 是该不等式组的解.

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点评:

此题主要考查了解一元一次不等式组,估计无理数的大小是解题的关键

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