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【优化方案】2016年高考数学二轮复习 第一部分专题四 第2讲 空间点、线、面的位置关系专题强化精练提能 理


第一部分专题四 立体几何 第 2 讲 空间点、线、面的位置关系专题 强化精练提能 理
[A 卷] 1.(2015·铜陵市诊断考试)设 a,b 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,a ? α ,b⊥β ,则“α ∥β ”是“a⊥b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A.若 a? α ,b⊥β ,α ∥β ,则由 α ∥β ,b⊥β ? b⊥α ,又 a? α ,所以 a⊥b,若 a⊥b,a? α ,b⊥β ,则 b⊥α 或 b∥α 或 b? α ,此时 α ∥β 或 α 与 β 相交, 所以“α ∥β ”是“a⊥b”的充分不必要条件,故选 A. 2.已知正三棱柱 ABC?A1B1C1 的底面边长为 8,侧棱长为 6,D 为 AC 的中点,则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为( ) 1 2 6 A. B. 5 25 1 2 C. D. 25 5 解析:选 C.如图所示,连接 B1C 交 BC1 于 E,连接 DE,因为四边形 BCC1B1 是平行四边形, 所以 B1E=EC.又 AD=DC,所以 DE∥AB1,则∠DEB 或其补角为异面直线 AB1 与 BC1 所成的角, 2 2 2 5 +5 -(4 3) 1 在△DEB 中,DE=5,BD=4 3,BE=5,所以 cos∠DEB= = .故选 C. 2×5×5 25

3.(2015·南昌市调研测试卷)已知两个不同的平面 α ,β 和两条不重合的直线 m,n, 则下列四个命题中不正确的是( ) A.若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α B.若 m⊥α ,m⊥β ,则 α ∥β C.若 m⊥α ,m∥n,n? β ,则 α ⊥β D.若 m∥α ,α ∩β =n,则 m∥n 解析:选 D.由线面平行、垂直之间的转化知 A、B 正确;对于 C,因为 m⊥α ,m∥n, 所以 n⊥α ,又 n? β ,所以 β ⊥α ,即 C 正确;对于 D,m∥α ,α ∩β =n,则 m∥n,或 m 与 n 是异面直线,故 D 不正确. 4.设 A,B,C,D 是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是( ) A.若 AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面 B.若 AC 与 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线 C.若 AB=AC,DB=DC,则 AD=BC D.若 AB=AC,DB=DC,则 AD⊥BC 解析:选 C.A 中,若 AC 与 BD 共面,则 A,B,C,D 四点共面,则 AD 与 BC 共面;B 中, 若 AC 与 BD 是异面直线,则 A,B,C,D 四点不共面,则 AD 与 BC 是异面直线;C 中,若 AB =AC,DB=DC,AD 不一定等于 BC;D 中,若 AB=AC,DB=DC,可以证明 AD⊥BC. 5.已知 α ,β 是两个不同的平面,给出下列四个条件: ①平面γ 与平面 α ,β 所成的锐二面角相等; ②直线 a∥b,a⊥α ,b⊥β ;
1

③a,b 是异面直线,a⊥平面 α ,b⊥平面 β ,且 a∥β ,b∥α ; ④平面 α 内距离为 d 的两条平行直线在平面 β 内的射影仍为两条距离为 d 的平行线. 其 中可以推出 α ∥β 的条件为( ) A.①③ B.②④ C.② D.③ 解析:选 C.对于①④,平面 α 与平面 β 还可以相交;对于③,一定不能推出 α ∥β , 所以①③④是错误的,易知②正确.故选 C. 6. 如图,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,M,N,P,Q 分别是 AA1,A1D1,CC1,BC 的中点, 给出以下四个结论:①A1C⊥MN;②A1C∥平面 MNPQ;③A1C 与 PM 相交;④NC 与 PM 异面.其 中不正确的结论是( )

A.① C.③ 解析:

B.② D.④

选 B.作出过 M, N, P, Q 四点的截面交 C1D1 于点 S, 交 AB 于点 R, 如图中的六边形 MNSPQR, 显然点 A1,C 分别位于这个平面的两侧,故 A1C 与平面 MNPQ 一定相交,不可能平行,故结论 ②不正确.

7. 如图,在空间四边形 ABCD 中,M∈AB,N∈AD,若 位置关系是________.

AM AN = ,则直线 MN 与平面 BDC 的 MB ND

AM AN MB ND 而 BD? 平面 BDC,MN?平面 BDC, 所以 MN∥平面 BDC.
解析:由 = ,得 MN∥BD. 答案:平行 8.如图,PA⊥圆 O 所在的平面,AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上的一点,E、F 分别是点 A 在 PB、PC 上的正投影,给出的下列结论正确的是________.

2

①AF⊥PB;②EF⊥PB; ③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC. 解析:由题意知 PA⊥平面 ABC,所以 PA⊥BC. 又 AC⊥BC,PA∩AC=A, 所以 BC⊥平面 PAC. 所以 BC⊥AF.因为 AF⊥PC,BC∩PC=C, 所以 AF⊥平面 PBC, 所以 AF⊥PB,又 AE⊥PB,AE∩AF=A, 所以 PB⊥平面 AEF,所以 PB⊥EF. 故①②③正确. 答案:①②③ 9.(2015·潍坊模拟)已知 PA⊥平面 ABCD,ABCD 是正方形,AB=1,PA=t(t>0),当 t 变化时,直线 PD 与平面 PBC 所成角的正弦值的取值范围是________. 解析:把图形补成直四棱柱如图所示,因为 BC⊥平面 DCC1D1,所以平面 PBCD1⊥平面 DCC1D1,连接 D1C,作 DE⊥CD1,连接 PE,则 DE⊥平面 PBCD1,所以∠DPE 就是 PD 与平面 PBCD1 DC×DD1 t DE t 1 1 2 所成的角. 又 DP= 1+t , DE= = , 所以 sin ∠DPE= = ≤ (当 2= 2 CD1 DP 1+t 1 2 1+t t+

t

1 t 1 且仅当 t= ,即 t=1 时取等号),所以 0< 2≤ ,所以直线 PD 与平面 PBC 所成角的正弦 t 1+t 2 ? 1? 值的取值范围是?0, ?. ? 2?

? 1? 答案:?0, ? ? 2? 10. 如图,已知六棱锥 P?ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC.给出下列结论: ①CD∥平面 PAF;②DF⊥平面 PAF;③CF∥平面 PAB;④DF∥平面 PAB.其中正确结论的个数 为________.

解析: 因为六棱锥 P?ABCDEF 的底面是正六边形, 所以 AF∥CD, 由线面平行的判定定理, 得 CD∥平面 PAF,故①正确;由正六边形的特点易知 DF⊥AF,因为 PA⊥平面 ABCD,所以 DF⊥PA,由线面垂直的判定定理,得 DF⊥平面 PAF,故②正确;CF∥AB,由线面平行的判定 定理,得 CF∥平面 PAB,故③正确;连接 AC,由正六边形的特点易知 DF∥AC,又 AC∩平面 PAB=A,故 DF 与平面 PAB 相交,故④不正确.故正确结论的个数是 3.
3

答案:3 11.(2015·泰安模拟) 如图,已知四棱锥 P?ABCD,底面 ABCD 是等腰梯形,且 AB∥CD, 1 O 是 AB 的中点,PO⊥平面 ABCD,PO=CD=DA= AB=4,M 是 PA 的中点. 2

(1)证明:平面 PBC∥平面 ODM; (2)求点 A 到平面 PCD 的距离. 解:(1)证明:由题意,CD∥BO,CD=BO, 所以四边形 OBCD 为平行四边形, 所以 BC∥OD. 又因为 AO=OB,AM=MP,所以 OM∥PB. 又 OM?平面 PBC,PB? 平面 PBC, 所以 OM∥平面 PBC. 同理,OD∥平面 PBC, 又 OM∩OD=O, 所以平面 PBC∥平面 ODM. (2)设点 A 到平面 PCD 的距离为 d. 因为 V 三棱锥 A?PCD=V 三棱锥 P?ACD, 1 1 即 × ×4×2 7×d 3 2 1 1 = × ×4×2 3×4, 3 2 4 21 所以 d= . 7 12.(2015·江西省质量监测)如图,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,AA1=2,E 为棱 CC1 的 中点. (1)求证:B1D1⊥AE; (2)求证:AC∥平面 B1DE.

证明:(1)连接 BD, 则 BD∥B1D1. 因为四边形 ABCD 是正方形, 所以 AC⊥BD. 因为 CE⊥平面 ABCD, 所以 CE⊥BD.

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又 AC∩CE=C, 所以 BD⊥平面 ACE. 因为 AE? 平面 ACE, 所以 BD⊥AE, 所以 B1D1⊥AE. (2)取 BB1 的中点 F,连接 AF,CF,EF, 则 FC∥B1E, 所以 CF∥平面 B1DE. 因为 E,F 是 CC1,BB1 的中点, 所以 EF 綊 BC. 又 BC 綊 AD, 所以 EF 綊 AD, 所以四边形 ADEF 是平行四边形, 所以 AF∥ED. 因为 AF?平面 B1DE,ED? 平面 B1DE, 所以 AF∥平面 B1DE, 因为 AF∩CF=F, 所以平面 ACF∥平面 B1DE. 又因为 AC? 平面 ACF, 所以 AC∥平面 B1DE. 13.(2015·高考山东卷) 如图,三棱台 DEF?ABC 中,AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的 中点.

(1)求证:BD∥平面 FGH; (2)若 CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面 BCD⊥平面 EGH. 证明:(1)法一:如图,连接 DG,设 CD∩GF=O,连接 OH. 在三棱台 DEF?ABC 中, AB=2DE,G 为 AC 的中点,

可得 DF∥GC,DF=GC, 所以四边形 DFCG 为平行四边形, 则 O 为 CD 的中点. 又 H 为 BC 的中点,
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所以 OH∥BD.又 OH? 平面 FGH,BD?平面 FGH, 所以 BD∥平面 FGH. 法二:在三棱台 DEF?ABC 中, 由 BC=2EF,H 为 BC 的中点, 可得 BH∥EF,BH=EF, 所以四边形 BHFE 为平行四边形,可得 BE∥HF. 在△ABC 中,G 为 AC 的中点,H 为 BC 的中点, 所以 GH∥AB. 又 GH∩HF=H,所以平面 FGH∥平面 ABED. 因为 BD? 平面 ABED,所以 BD∥平面 FGH. (2)连接 HE,EG. 因为 G,H 分别为 AC,BC 的中点,

所以 GH∥AB. 由 AB⊥BC,得 GH⊥BC. 又 H 为 BC 的中点, 所以 EF∥HC,EF=HC, 因此四边形 EFCH 是平行四边形. 所以 CF∥HE. 又 CF⊥BC,所以 HE⊥BC. 又 HE,GH? 平面 EGH,HE∩GH=H, 所以 BC⊥平面 EGH. 又 BC? 平面 BCD,所以平面 BCD⊥平面 EGH. 14. (2015·安徽省合肥三中、巢湖一中统考)如图,AB 为圆 O 的直径,点 E,F 在圆 O 上,且 AB∥EF,矩形 ABCD 所在的平面和圆 O 所在的平面互相垂直,且 AD=EF=AF=1,AB =2.

(1)求证:平面 AFC⊥平面 CBF; (2)在线段 CF 上是否存在一点 M,使得 OM∥平面 ADF?并说明理由. 解:(1)证明:因为平面 ABCD⊥平面 ABEF,CB⊥AB, 平面 ABCD∩平面 ABEF=AB,

所以 CB⊥平面 ABEF,因为 AF? 平面 ABEF, 所以 AF⊥CB,又因为 AB 为圆 O 的直径,所以 AF⊥BF,所以 AF⊥平面 CBF.
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因为 AF? 平面 AFC,所以平面 AFC⊥平面 CBF. (2)取 CF 的中点记作 M, 设 DF 的中点为 N,连接 AN,MN, 1 1 则 MN 綊 CD,又 AO 綊 CD,则 MN 綊 AO, 2 2 所以四边形 MNAO 为平行四边形, 所以 OM∥AN,又 AN? 平面 DAF,OM?平面 DAF, 所以 OM∥平面 DAF. [B 卷] 1.如图,在四棱锥 P?ABCD 中,PC⊥底面 ABCD,ABCD 是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD, AB=2AD=2CD=2,E 是 PB 的中点.

(1)求证:EC∥平面 PAD; (2)求证:平面 EAC⊥平面 PBC. 证明:(1)设线段 AB 的中点为 F,连接 EF,CF(图略). 则 AF=CD,AF∥CD, 所以四边形 ADCF 是平行四边形, 则 CF∥AD. 又 EF∥AP,且 CF∩EF=F, 所以平面 CFE∥平面 PAD. 又 EC? 平面 CEF, 所以 EC∥平面 PAD. (2)因为 PC⊥底面 ABCD,所以 PC⊥AC, 因为 ABCD 是直角梯形,且 AB=2AD=2CD=2, 所以 AC= 2,BC= 2. 2 2 2 因为 AB =AC +BC ,所以 AC⊥BC. 因为 PC∩BC=C,所以 AC⊥平面 PBC, 因为 AC? 平面 EAC,所以平面 EAC⊥平面 PBC.

2. (2015·邢台市摸底考试)在如图所示的多面体中, 四边形 ABCD 是梯形, ∠BAD=∠CDA 1 =90°,四边形 CDEF 是矩形,平面 ABCD⊥平面 CDEF,AB=AD=DE= CD=2,M 是线段 AE 2 的中点.

(1)求证:AC∥平面 MDF; (2)平面 MDF 将该几何体分成两部分,求多面体 MDFE 和多面体 ABCDMF 的体积之比. 解: (1)证明:连接 CE,交 DF 于 N,连接 MN,由题意知 N 为 CE 的中点,

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在△ACE 中,MN∥AC, 且 MN? 平面 MDF,AC?平面 MDF, 所以 AC∥平面 MDF. (2)将多面体 ABCDEF 补成三棱柱 ADE?B′CF,如图,

1 则三棱柱的体积为 V=S△ADE·CD= ×2×2×4=8, 2 4 4 4 16 而三棱锥 F?DEM 的体积 VM?DEF= ,则 V 多面体 ABCDMF=V-VF?BB′C-VM?DEF=8- - = , 3 3 3 3 VM?DEF 1 所以 = . VABCDMF 4 3. (2015·河南省洛阳市统考)如图,在四棱锥 P?ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,点 O 是对角线 AC 与 BD 的交点,M 是 PD 的中点,且 AB=2,∠BAD=60°.

(1)求证:OM∥平面 PAB; (2)求证:平面 PBD⊥平面 PAC; 3 时,求 PB 的长. 4 解:(1)证明:因为在△PBD 中,O,M 分别是 BD,PD 的中点, 所以 OM 是△PBD 的中位线,所以 OM∥PB, 又 OM?平面 PAB,PB? 平面 PAB, 所以 OM∥平面 PAB. (2)证明:因为 PA⊥平面 ABCD,BD? 平面 ABCD,所以 PA⊥BD. 因为底面 ABCD 是菱形,所以 BD⊥AC, 又 AC? 平面 PAC,PA? 平面 PAC,AC∩PA=A, 所以 BD⊥平面 PAC. 因为 BD? 平面 PBD,所以平面 PBD⊥平面 PAC. (3)因为底面 ABCD 是菱形,M 是 PD 的中点, 1 1 所以 VM?BCD= VM?ABCD= VP?ABCD,从而 VP?ABCD= 3. 2 4 (3)当三棱锥 M?BCD 的体积等于 又 AB=2,∠BAD=60°,所以 S 四边形 ABCD=2 3. 因为四棱锥 P?ABCD 的高为 PA, 1 3 所以 ×2 3×PA= 3,得 PA= , 3 2 因为 PA⊥平面 ABCD,AB? 平面 ABCD,所以 PA⊥AB.

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在 Rt△PAB 中,PB= PA +AB =

2

2

?3? +22=5. ?2? 2 ? ?

2

4.(2015·洛阳市统考)如图,四边形 ABCD 中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=2AB=4, E,F 分别在 BC,AD 上,EF∥AB.现将四边形 ABCD 沿 EF 折起,使平面 ABEF⊥平面 EFDC.

→ → (1)若 BE=1, 是否在折叠后的线段 AD 上存在一点 P, 且AP=λ PD, 使得 CP∥平面 ABEF? 若存在,求出 λ 的值;若不存在,说明理由; (2)求三棱锥 A?CDF 的体积的最大值,并求此时点 F 到平面 ACD 的距离. 3 解:(1)AD 上存在一点 P,使得 CP∥平面 ABEF,此时 λ = .理由如下: 2 3 AP 3 MP → 3→ 当 λ = 时,AP= PD,可知 = ,过点 P 作 MP∥FD 交 AF 于点 M,连接 EM,则有 = 2 2 AD 5 FD AP 3 = , AD 5 又 BE=1,可得 FD=5,故 MP=3, 又 EC=3,MP∥FD∥EC,故 MP 綊 EC,故四边形 MPCE 为平行四边形,所以 CP∥ME. 又 CP?平面 ABEF,ME? 平面 ABEF, 故 CP∥平面 ABEF. (2)设 BE=x,所以 AF=x(0<x≤4),FD=6-x, 1 1 1 2 故 V 三棱锥 A?CDF= × ×2×(6-x)x= (-x +6x), 3 2 3 当 x=3 时,V 三棱锥 A?CDF 有最大值,且最大值为 3, 此时,EC=1,AF=3,FD=3,DC=2 2,在 Rt△EFC 中,FC= 5,在 Rt△AFD 中,AD =3 2,在 Rt△AFC 中,AC= 14. 2 AD2+DC2-AC2 18+8-14 1 ?1? 在△ACD 中, cos ∠ADC= = = , 故 sin ∠ADC= 1-? ? 2AD·DC ?2? 2×3 2×2 2 2 = 3 , 2 1 1 3 =3 3. 2 2 2 设点 F 到平面 ACD 的距离为 h,由 V 三棱锥 A?CDF=V 三棱锥 F?ADC, 1 1 即 3= ×h×S△ADC= ×h×3 3, 3 3

S△ADC= DA·DC·sin ∠ADC= ×3 2×2 2×

得 h= 3, 故此时点 F 到平面 ACD 的距离为 3.

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