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高二 运算空间向量求解线面角、二面角,线线位置关系 贺德松答案


No.

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稳定持久赢高分

运算空间向量求解线面角、二面角,线线位置关系参考答案
四、典题探究 例 1.60° 例 2.A 例 3.证明: (Ⅰ) 因为 AB // CD , CD ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB , 所以 CD //平面 PAB . 因为 CD ? 平面 PCD ,平面 PAB ? 平面 PCD ? m , 所以 CD // m . (Ⅱ) :因为 AP ^ 平面 ABCD , AB ^ AD ,所以以 A 为坐标原点, AB, AD, AP 所在的 直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系, 则 B(4, 0, 0) , P(0, 0, 4) , D(0, 2 2,0) , C (2, 2 2,0) . 所以 BD ? (?4,2 2,0) , AC ? (2, 2 2,0) ,

??? ?

??? ?

??? ? AP ? (0,0, 4) ,
所以 BD ? AC ? (?4) ? 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 0 ? 0 ? 0 ,

z P

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? BD ? AP ? (?4) ? 0 ? 2 2 ? 0 ? 0 ? 4 ? 0 .
所以 BD ? AC , BD ? AP . 因为 AP ? AC ? A , AC ? 平面 PAC ,
A C D y

PA ? 平面 PAC , 所以 BD ? 平面 PAC . PQ = ? (其中 0 #? (Ⅲ)解:设 PB
所以 PQ =

B x

1) (, , ) , Qxyz

,直线 QC 与平面 PAC 所成角为 ? .

??? ?

? PB .

??? ?

所以 ( x, y, z - 4) = ? (4,0, - 4) .

ì x = 4? , ? ? ? 所以 í y = 0, 即 Q(4? ,0, - 4? + 4) . ? ? ? ? ? z = - 4? + 4, ??? ? 所以 CQ = (4? - 2, - 2 2, - 4? + 4) .
由(Ⅱ)知平面 PAC 的一个法向量为 BD ? (?4,2 2,0) .

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CQ ×BD 因为 sin ? = cos < CQ, BD > = ??? ? ??? ? , CQ ×BD
1 耐心 细心 责任心

No. 所以

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3 ?4(4? ? 2) ? 8 . ? 3 2 6 ? (4? ? 2)2 ? 8 ? (?4? ? 4) 2

7 ? [0,1] . 12 PQ 7 = 所以 . PB 12
解得 ? ? 例 4.证明: (Ⅰ)设 AC 与 BD 相交于点 O ,连结 FO . 因为 四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD , 且 O 为 AC 中点. 又 FA ? FC ,所以 AC ? FO . 因为 FO ? BD ? O , 所以 AC ? 平面 BDEF . (Ⅱ)因为四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, 所以 AD // BC , DE // BF , 所以 平面 FBC //平面 EAD . 又 FC ? 平面 FBC , 所以 FC // 平面 EAD . 解: (Ⅲ)因为四边形 BDEF 为菱形,且 ?DBF ? 60? ,所以△ DBF 为等边三角形. 因为 O 为 BD 中点,所以 FO ? BD ,故 FO ? 平面 ABCD . 由 OA, OB, OF 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz . 设 AB ? 2 .因为四边形 ABCD 为菱形, ?DAB ? 60? ,则 BD ? 2 ,所以 OB ? 1 ,

OA ? OF ? 3 .
所以 O(0,0,0), A( 3,0,0), B(0,1,0),C(? 3,0,0), F (0,0, 3) . 所以 CF ? ( 3,0, 3) , CB ? ( 3,1,0) .

??? ?

??? ?

??? ? ? ?n ? CF ? 0, 设平面 BFC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ??? ? ? ? n ? CB ? 0.
所以 ?

? 3x ? 3z ? 0, ? 3 x ? y ? 0.

取 x ? 1 ,得 n ? (1,? 3,?1) .

易知平面 AFC 的法向量为 v ? (0,1, 0) . 由二面角 A ? FC ? B 是锐角,得 cos? n, v ? ?

n?v n v

?

15 . 5

所以二面角 A ? FC ? B 的余弦值为

15 . 5
2 耐心 细心 责任心

No. 五、演练方阵 1.[

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? ?
3
,

A 档(巩固专练) ]

2

2.C 3.

4 5 9

4.3 5.[ 60ο,90ο] 6.45ο 7.证明: (Ⅰ)取 BE 中点 D ,连结 DF . 因为 AE ? CF ? 1 , DE ? 1 ,
? 所以 AF ? AD ? 2 ,而 ?A ? 60 ,即△ ADF 是正三角形.

又因为 AE ? ED ? 1 , 所以 EF ? AD . 所以在图 2 中有 A1E ? EF , BE ? EF . 所以 ?A 1EB 为二面角 A 1? EF ? B 的平面角. 又二面角 A 1? EF ? B 为直二面角, 所以 A1E ? BE . 又因为 BE ? EF ? E , 所以 A1E ⊥平面 BEF ,即 A1E ⊥平面 BEP . 解: (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 A1E ⊥平面 BEP , BE ? EF ,如图,以 E 为原点,建立空间直角 坐标系 E ? xyz , 则 E (0 , 0 , 0) , A1 (0 , 0 ,1)
z A1

B(2 , 0 , 0) , F (0, 3 , 0) .
在图1中,连结 DP . 因为

E F B x P C y

CF CP 1 ? ? , FA PB 2 1 BE ? DE . 2

所以 PF ∥ BE ,且 PF ?

所以四边形 EFPD 为平行四边形. 所以 EF ∥ DP ,且 EF ? DP . 故点 P 的坐标为(1, 3 ,0).

3

耐心 细心 责任心

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???? ? ???? ? ??? ? 所以 A1B ? (2 , 0 , ? 1) , BP ? (?1, 3,0) , EA1 ? (0 , 0 ,1) . ???? ? ? A B ? 1 ? n ? 0, 不妨设平面 A1 BP 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ??? ? ? ? BP ? n ? 0.
? ?2 x ? z ? 0, 令 y ? 3 ,得 n ? (3 , 3 , 6) . ? ? x ? 3 y ? 0. ???? ? ???? ? n ? EA1 6 3 ????? ?? ? 所以 cos ? n, EA1 ?? . 2 | n || EA1 | 1? 4 3
即? 故直线 A 1E 与平面 A 1 BP 所成角的大小为

? . 3

8.证明: (Ⅰ)取 AD 中点 O,连结 OP,OB,BD. 因为 PA=PD, P 所以 PO⊥AD. 因为 菱形 ABCD 中,∠BCD=60? , 所以 AB=BD, 所以 BO⊥AD. O 因为 BO∩PO=O, A 所以 AD⊥平面 POB. 所以 AD⊥PB. 解: (Ⅱ)由(Ⅰ)知 BO⊥AD,PO⊥AD. 因为 侧面 PAD⊥底面 ABCD, 且平面 PAD∩底面 ABCD=AD, 所以 PO⊥底面 ABCD. 以 O 为坐标原点,如图建立空间直角坐标系 O ? xyz . 则 D(?1, 0, 0) , E(?1, 3,0) ,

Q D E B C

z P Q D O A x B E y C

P(0, 0,1) , C(?2, 3,0) ,
因为 Q 为 PC 中点, 所以 Q(?1,

3 1 , ). 2 2 3 1 , ), 2 2

所以 DE ? (0, 3,0) , DQ ? (0,

??? ?

????

所以平面 DEQ 的法向量为 n1 ? (1,0,0) . 因为 DC ? (?1, 3,0) , DQ ? (0,

??

????

????

3 1 , ), 2 2
4 耐心 细心 责任心

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???? ?? ? ?? x ? 3 y ? 0, ?? ? ? ? ? DC ? n2 ? 0, 设平面 DQC 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) , 则 ? ???? ?? ?? 3 ? 1 y ? z ? 0. ? ? ? DQ ? n2 ? 0 ? 2 2 ?? ? 令 x ? 3 ,则 y ? 1 , z ? ? 3 ,即 n2 ? ( 3,1, ? 3) .

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 21 ? ? . cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? 7 | n1 || n2 |
由图可知,二面角 E-DQ-C 为锐角,所以余弦值为 (Ⅲ)因为

21 . 7

??? ? ??? ? PQ ? ? ,所以 PQ ? ? PC , PC ??? ? ??? ? 由(Ⅱ)知 PC ? (?2, 3, ?1) , PA ? (1,0, ?1) ,
若设 Q( x, y, z ) ,则 PQ ? ( x, y, z ?1) ,

??? ?

? x ? ?2? ??? ? ??? ? ? 由 PQ ? ? PC , 得 ? y ? 3? , ? z ? ?? ? 1 ?
在平面 DEQ 中, DE ? (0, 3,0) , DQ ? ( x ?1, y, z) ? (1 ? 2?, 3?,1 ? ?) , 所以平面 DEQ 法向量为 n1 ? (1 ? ?,0, 2? ?1) , 又因为 PA // 平面 DEQ, 所以 PA ? n1 ? 0 , 即 (1 ? ? ) ? (?1)(2? ? 1) ? 0 ,得 ? ? 所以,当 ? ?

??? ?

????

??

??? ? ??

2 . 3

2 时,PA // 平面 DEQ. 3

9.证明: (Ⅰ)取 AD 的中点 N ,连接 MN,NF . 在△ DAB 中, M 是 BD 的中点, N 是 AD 的中点,所以 MN//AB,MN = 又因为 EF//AB,EF =

1 AB , 2

F

E

1 AB , 2

所以 MN//EF 且 MN = EF . 所以四边形 MNFE 为平行四边形, 所以 EM//FN . 又因为 FN ? 平面 ADF , EM ? 平面 ADF , A
5

D N B M

C

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故 EM// 平面 ADF . 解法二:因为 EB ? 平面 ABD , AB ? BD ,故以 B 为原点,建立如图所示的空间直角坐标 系 B - xyz . 由已知可得 B(0,0,0), A(0, 2,0), D(3,0,0),

3 C(3,-2,0), E(0,0, 3), F (0,1, 3), M ( ,0,0) 2 ??? ? ???? 3 ??? ? (Ⅰ) EM = ( ,0,- 3) ,AD= (3,-2,0) , AF = ( 0 , - 1 , . 3 ) z 2 F E 设平面 ADF 的一个法向量是 n ? ( x, y,z ) . ??? ? ? ?n ? AD ? 0, ? ? 3x - 2 y = 0, 由 ? ??? 得? ? ? ?-y + 3z = 0. ? n ? AF ? 0, ?
令 y = 3 ,则 n ? (2,3, 3) . M y B

x D C

A ???? 3 又因为 EM ? n ? ( ,0,- 3) ? (2,3, 3) = 3 + 0 - 3 = 0 , 2 ???? 所以 EM ? n ,又 EM ? 平面 ADF ,所以 EM // 平面 ADF . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面 ADF 的一个法向量是 n ? (2,3, 3) . 因为 EB ? 平面 ABD ,所以 EB ? BD . 又因为 AB ? BD ,所以 BD ? 平面 EBAF . 故 BD ? (3,0,0) 是平面 EBAF 的一个法向量.

??? ?

??? ? ??? ? BD ? n 1 = ,又二面角 D- AF - B 为锐角, 所以 cos < BD,n ?? ??? ? BD ? n 2
故二面角 D- AF - B 的大小为 60 ? . (Ⅲ)假设在线段 EB 上存在一点 P ,使得 CP 与 AF 所成的角为 30 ? . 不妨设 P(0,0, t) ( 0 ? t ? 3 ) ,则 PC = (3,-2,-t ), AF = (0,-1, 3) .

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? PC ? AF 2 - 3t ??? ? ??? ? 所以 cos < PC,AF ?? ??? , ? ??? ? ? PC ? AF 2 t 2 +13
由题意得

2 - 3t 2 t 2 +13

?

3 , 2

化简得 ?4 3t ? 35 ,

? 0. 4 3 所以在线段 EB 上不存在点 P ,使得 CP 与 AF 所成的角为 30 ?

解得 t ? ?

35

6

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10.证明: (I)连接 B1C,与 BC1 相交于 O,连接 OD. ∵BCC1B1 是矩形,∴O 是 B1C 的中点. 又 D 是 AC 的中点,∴OD//AB1. ∵AB1 ? 面 BDC1, OD ? 面 BDC1, ∴AB1//面 BDC1. 解: (II)如图,建立空间直角坐标系, 则 C1(0,0,0) ,B(0,3,2) , C(0,3,0) ,A(2,3,0) , D(1,3,0) ,

B1

z

B

C C1 D

???? ???? ? C1B ? (0,3, 2) , C1D ? (1,3,0) ,
设 n ? ( x1 , y1 , z1 ) 是面 BD C1 的一个法向量,则

y
A

?

x

A1

? ???? ?n ? C1 B ? 0, ?3 y1 ? 2 z1 ? 0, ? 1 1 ? ? ? ? ???? 即? ,取 n ? (1, ? , ) n ? C D ? 0 x ? 3 y ? 0 ? ? 1 ? 1 1 3 2 ???? ? 易知 C1C ? (0,3,0) 是面 ABC 的一个法向量. ? ? ???? ? n? C1C 2 ? ???? cos n, C1C ? ? ???? ? ?? . 7 n ? C1C
∴二面角 C1—BD—C 的余弦值为

2 . 7

(III)假设侧棱 AA1 上存在一点 P 使得 CP⊥面 BDC1. 设 P(2,y,0) (0≤y≤3) ,则 CP ? (2, y ? 3,0) ,

??? ?

??? ? ???? ? C1 B ? 0, ?CP? ? 3( y ? 3) ? 0, ? ???? ? 则 ? ??? ,即 ? . C1 D ? 0 ? ? CP? ?2 ? 3( y ? 3) ? 0

? y ? 3, ? 7 ? 解之 ? y ? ∴方程组无解. 3 ?
∴侧棱 AA1 上不存在点 P,使 CP⊥面 BDC1.

B 档(提升精练) 1.

6 4

2.A 3.C

7

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4.证明:(I)∵在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, BC ? CC1 ,点 N 是 B1C 的中点, ∴ BN ? B1C

AB ? BC , AB ? BB1 , BB1 ? BC ? B
∴ AB ⊥平面 B1 BCC1

B1C ? 平面 B1 BCC1
∴ B1C ? AB ,即 B1C ? GB 又 BN ? BG ? B ∴ B1C ? 平面 BNG (II )当 G 是棱 AB 的中点时, CG //平面 AB1 M 证明如下: 连结 AB1 ,取 AB1 的中点 H,连接 HG, HM , GC , 则 HG 为 ?AB1 B 的中位线 ∴ GH ∥ BB1 , GH ?

1 BB1 2

∵由已知条件, B1 BCC1 为正方形 ∴ CC1 ∥ BB1 , CC1 ? BB1 ∵ M 为 CC1 的中点, ∴ CM ?

1 CC1 2
∴四边形 HGCM 为平行四边形 ∴ CG //平面 AB1 M

∴ MC ∥ GH ,且 MC ? GH ∴ GC ∥ HM

又 ∵ GC ? 平面AB1 M , HM ? 平面AB1 M 解:(III) ∵ 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 且 AB ? BC

依题意,如图:以 B1 为原点建立空间直角坐标系 B1 ? xyz ,

? B1 (0,0,0) , B(0, 2, 0) , M (2,1,0) , A(0, 2, 2) , C1 (2,0,0)
则 B1 A ? (0, 2, 2) , B1 M ? (2,1,0) 设平面 B1 AM 的法向量 n ? ( x, y, z) ,

????

?

8

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? ???? ? ?2 y ? 2 z ? 0 ? n ? B1 A ? 0 则 ? ? ????? ,即 ? , 2 x ? y ? 0 n ? B M ? 0 ? ? ? 1
令 x ? 1 ,有 n ? (1,?2,2) 又? 平面 B1 AB 的法向量为 B1C1 ? (2,0,0) ,

???? ?

???? ? ? ???? ?? B1C1 ? n 1 ? cos ? B1C1, n ? = ???? ? ? = , B1C1 ? n 3
设二面角 M ? AB1 ? B 的平面角为 ? ,且 ? 为锐角

???? ? ? 1 ? cos ? ? ? cos B1C1 , n ? . 3
5.证明:(Ⅰ)连结 BD , ∵ PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,∴ PA ? BD , 又∵ BD ? AC , AC ? PA ? A , ∴ BD ? 平面 PAC , 又∵ E , F 分别是 BC 、 CD 的中点,∴ EF // BD , ∴ EF ? 平面 PAC ,又 EF ? 平面 NEF , ∴平面 PAC ? 平面 NEF ; 解:(Ⅱ)建立如图所示的直角坐标系, 则 P(0, 0, 4) , C (4, 4,0) , E (4, 2,0) , F (2, 4,0) , ∴ PC ? (4, 4, ?4) , EF ? (?2, 2,0) , 设点 M 的坐标为 (0,0, m) ,平面 MEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ME ? (4, 2, ?m) ,

??? ?

??? ?

?

????

? ???? ? n ?4 x ? 2 y ? mz ? 0 6 ? ? ME ? 0 所以 ? ? ??? ,即 ? ,令 x ? 1 ,则 y ? 1 , z ? , ? m ??2 x ? 2 y ? 0 ? ?n ? EF ? 0 6 ? 故 n ? (1,1, ) , m ??? ? ? ∵ PC // 平 面 M E F , ∴ PC ? n ? 0 , 即
24 ? 0 ,解得 m ? 3 , m 故 AM ? 3 ,即点 M 为线段 PA 上靠近 P 的 四等分点;故 PM : MA ? 1: 3 ??? ? (Ⅲ) N (4, 4, 2) ,则 EN ? (0,2,2) ,设平面 4?4?

?? NEF 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,

9

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?? ???? ? ?2 y ? 2 z ? 0 ?m ? EN ? 0 则 ? ?? ??? ,即 ? ,令 x ? 1 , ? ? 2 x ? 2 y ? 0 m ? EF ? 0 ? ? ? ?? 则 y ? 1 , z ? ?1 ,即 m ? (1,1, ?1) ,
当 M 是 PA 中点时, m ? 2 ,则 n ? (1,1,3) , ∴ cos ? m, n ??

?

?? ?

1?1? 3 33 , ?? 33 3 ? 11
33 . 33

∴二面角 M ? EF ? N 的余弦值为 ?

6.证明: (Ⅰ) AC ? BD ? O ,连结 HO , FO 因为 ABCD 为正方形,所以 O 是 AC 中点, 又 H 是 AD 中点, 所以 OH / / CD , OH ? E F

1 CD , 2
D C

EF / / AB , EF ?

1 AB , 2
H

所以 EF / / OH 且 EF ? OH , 所以四边形 EHOF 为平行四边形, 所以 EH / / FO , A FO ? FAC EH ? FAC 又因为 平面 , 平面 . 所以 EH / / 平面 FAC . 证明: (Ⅱ)因为 AE ? ED , H 是 AD 的中点, 所以 EH ? AD 又因为 AB / / EF , EF ? EA ,所以 AB ? EA 又因为 AB ? AD 所以 AB ? 平面 AED , 因为 EH ? 平面 AED , 所以 AB ? EH , 所以 EH ? 平面 ABCD . 解: (Ⅲ) AC , BD , OF 两两垂直,建立如 图所示的坐标系,设 EF ? 1 , 则 AB ? 2 ,

O B

z E F

D

C

B(0, 2,0) , C(? 2,0,0) , F (0, 0,1)
设平面 BCF 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,

??

H A

O B y

??? ? ??? ? BC ? (? 2, ? 2,0), CF ? ( 2,0,1) ,

x

10

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No.

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?? ??? ? ?? ? ??? ? n1 ? BC ? 0, n1 ? CF ? 0
所以 n1 ? (?1,1, 2) 平面 AFC 的法向量为 n2 ? (0,1,0)

??

?? ?

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 1 cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? ? . n1 ? n2 2
二面角 A ? FC ? B 为锐角,所以二面角 A ? FC ? B 等于

? . 3

7.证明: (Ⅰ)取 AB 中点 O ,连结 EO , DO . 因为 EB ? EA ,所以 EO ? AB . 因为四边形 ABCD 为直角梯形, AB ? 2CD ? 2 BC , AB ? BC , 所以四边形 OBCD 为正方形,所以 AB ? OD . 所以 AB ? 平面 EOD . 所以 AB ? ED . 解: (Ⅱ)因为平面 ABE ? 平面 ABCD ,且 EO ? AB , 所以 EO ? 平面 ABCD ,所以 EO ? OD . 由 OB, OD, OE 两两垂直,建立如图所示的空间直 角坐标系 O ? xyz . 因为三角形 EAB 为等腰直角三角形,所以 OA ? OB ? OD ? OE ,设 OB ? 1 ,所以

O(0,0,0), A(?1,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), E (0,0,1) .
所以 EC ? (1,1,?1) ,平面 ABE 的一个法向量为 OD ? (0,1,0) . 设直线 EC 与平面 ABE 所成的角为 ? ,

??? ?

??? ? ???? ??? ? ???? | EC ? OD | 3 ? ???? ? 所以 sin ? ? | cos? EC, OD? | ? ??? , | EC || OD | 3
即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为 解: (Ⅲ)存在点 F ,且

3 . 3

EF 1 ? 时,有 EC // 平面 FBD . EA 3 1 1 1 1 2 4 2 证明如下:由 EF ? EA ? (? ,0,? ) , F (? ,0, ) ,所以 FB ? ( ,0,? ) . 3 3 3 3 3 3 3 ??? ? ? ?v ? BD ? 0, 设平面 FBD 的法向量为 v ? (a, b, c) ,则有 ? ??? ? ? ?v ? FB ? 0.

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No.

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??a ? b ? 0, ? 所以 ? 4 取 a ? 1 ,得 v ? (1,1,2) . 2 a ? z ? 0. ? 3 ?3
因为 EC ? v ? (1,1,?1) ? (1,1,2) ? 0 ,且 EC ? 平面 FBD ,所以 EC // 平面 FBD . 即点 F 满足

EF 1 ? 时,有 EC // 平面 FBD . EA 3

8.证明: (Ⅰ)过 M 作 MN ? BC 于 N ,连结 FN ,

1 1 则 MN // AB ,又 CM ? AC ,所以 MN ? AB . 4 4 1 又 EF // AB 且 EF ? AB , 4 EF // MN EF ? MN , 所以 ,且 所以四边形 EFNM 为平行四边形, 所以 EM // FN . 又 FN ? 平面 FBC , EM ? 平面 FBC ,
所以 EM // 平面 FBC . (Ⅱ)因为 EA ? 平面 ABCD , AB ? AD ,故 以 A 为原点, 建立如图所示的空间直角坐标系 A - xyz . 由已知可得 A(0,0,0), B(4,0,0), C (4,4,0), D(0,4,0), E (0,0, 2), F (1,0, 2) . ??? ? ??? ? ??? 显然 AF = (1,0,2), BC = (0,4,0), EB = (4,0,-2) .

E F

A M B N C

D

z E F

A B x M C

D

y

??? ? ??? ? ??? ? ??? 则 AF ? BC = 0, AF ? EB = 0 , ??? ? ??? ? ??? ? ??? 所以 AF ? BC, AF ? EB .
即 AF ? BC , AF ? EB ,故 AF ? 平面 EBC . (Ⅲ)因为 EF//AB ,所以 EF 与 AB 确定平面 EABF , ??? ? ??? ??? ? 由已知得, BC = (0,4,0), FB = (3,0,-2) , BD = (-4,4,0) .

因为 EA ? 平面 ABCD ,所以 EA ? BC . 由已知可得 AB ? BC 且 EA ? AB = A , ??? ? 所以 BC ? 平面 ABF ,故 BC 是平面 ABF 的一个法向量. 设平面 DFB 的一个法向量是 n ? ( x, y,z ) .

??? ? ? ? n ? BD ? 0, ? ?4 x ? 4 y ? 0, 由 ? ??? 得? ? ? n ? FB ? 0, ? 3x ? 2 z ? 0,
令 x ? 2 ,则 n ? (2, 2,3) .

? y ? x, ? 即? 3 z ? x, ? 2 ?

12

耐心 细心 责任心

No. Date ??? ? ??? ? BC ? n 2 17 ? 所以 cos < BC , n ?? ??? . ? 17 BC ? n 由题意知二面角 A- FB- D 锐角, 故二面角 A- FB- D 的余弦值为

Time

稳定持久赢高分

2 17 . 17

9.证明: (Ⅰ)(ⅰ)连接 BD,交 AC 于点 O,连接 OP. 因为 P 是 DF 中点,O 为矩形 ABCD 对角线的交点, 所以 OP 为三角形 BDF 中位线, F 所以 BF // OP, E 因为 BF ? 平面 ACP,OP ? 平面 ACP, 所以 BF // 平面 ACP. (ⅱ)因为∠BAF=90? , A 所以 AF⊥AB, 因为 平面 ABEF⊥平面 ABCD, B 且平面 ABEF ∩平面 ABCD= AB, 所以 AF⊥平面 ABCD, z 因为四边形 ABCD 为矩形, F 所以以 A 为坐标原点,AB,AD, E AF 分别为 x,y,z 轴,建立如图 所示空间直角坐标系 O ? xyz .
A

P

D O C

P

D y

所以 B(1, 0, 0) , E ( , 0,1) ,
x

1 2

B C

1 P (0,1, ) , C (1, 2, 0) . 2 ??? ? ??? ? 1 1 所以 BE ? (? , 0,1) , CP ? ( ?1, ?1, ) , 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BE ? CP 4 5 ? ??? ? ? 所以 cos ? BE, CP ?? ???? , | BE | ? | CP | 15
即异面直线 BE 与 CP 所成角的余弦值为 解: (Ⅱ)因为 AB⊥平面 ADF, 所以平面 APF 的法向量为 n1 ? (1,0,0) . 设 P 点坐标为 (0, 2 ? 2t , t ) , 在平面 APC 中, AP ? (0, 2 ? 2t, t ) , AC ? (1, 2,0) , 所以 平面 APC 的法向量为 n2 ? ( ?2,1,
13

4 5 . 15

??

??? ?

??? ?

?? ?

2t ? 2 ), t
耐心 细心 责任心

No.

Date

Time

稳定持久赢高分

?? ?? ? ?? ?? ? | n1 ? n2 | ? ? 所以 cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? | n1 | ? | n2 |

2 (?2)2 ? 1 ? ( 2t ? 2 2 ) t

?

6 , 3

解得 t ?

2 ,或 t ? 2 (舍) . 3

此时 | PF |?

5 . 3

10.证明: (Ⅰ)在正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1中

? 四边形 ABCD 是正方形, ? AD ? CD
? DD1 ? 平面ABCD,AD ? 平面ABCD ? AD ? DD1 ? DD1 ? CD ? D ? AD ? 平面CDD1C1

? D1F ? 平面CDD1C1

? A D? D 1 F

M ,连结 ME , MF . (Ⅱ)在正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,连结 A 1 D ,交 AD 1 于点 ? M 为 AD1 中点. ? E 为 AD 中点, F 为 CC1 中点.
又? CF // DD1且CF ?

? ME / / DD1且ME ?

1 DD1 2

1 DD1 2

? 四边形 CEMF 是平行四边形. ? CE // MF
? CE / / 平面 AD1F .

? CE ? 平面 AD1F , MF ? 平面 AD1F .

解: (Ⅲ)以 D 为坐标原点,分别以 DA, DC, DD1 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系如图. 则 D(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,0), D1 (0,0, 2), F (0,1,1)

???? ? ? 平面 ABCD 的法向量为 DD1 ? (0,0, 2)
D1

z
C1 B1

设平面 AD1F 的法向量为 n ? ( x, y, z ) .

A1

??? ? ???? ? ? AF ? (?1,1,1), AD1 ? (?1,0, 2) , ???? ? ? n ? AF ? 0, 则有 ? ???? ? n ? AD ? ? 1 ? 0.
所以 ?

F M

?? x ? y ? z ? 0, ?? x ? 2 z ? 0.
A E

D B

C

y

x
14 耐心 细心 责任心

No. 取 z ? 1 ,得 n ? (2,1,1) .

Date

Time

稳定持久赢高分

???? ? ???? ? n ? DD1 6 . co? sn DD , 1 ? ? ???? ? ? 6 n DD1

? 平面 AD1 F 与平面所成二面角为锐角.
所以平面 AD1F 与底面 ABCD 所成二面角的余弦值为 C 档(跨越导练) 1.B 2.D 3.B 4.证明: (Ⅰ)因为 MB // NC , MB ? 平面 DNC , NC ? 平面 DNC , 所以 MB //平面 DNC . 因为 AMND 为矩形, 所以 MA // DN . 又 MA ? 平面 DNC , DN ? 平面 DNC , 所以 MA //平面 DNC . 又 MA ? MB ? M ,且 MA , MB ? 平面 AMB , M x 所以平面 AMB //平面 DNC . 又 AB ? 平面 AMB , 所以 AB // 平面 DNC . 解: (Ⅱ)由已知平面 AMND ? 平面 MBCN ,且平面 AMND ? 平面 MBCN ? MN ,
N C y B A z D

6 6

DN ? MN , 所以 DN ? 平面 MBCN ,又 MN ? NC ,故以点 N 为坐标原点,建立空间直角坐标系

N ? xyz .
由已知得 MC ? 2 3, ?MCN ? 30? ,易得 MN ? 3 , NC ? 3 . 则 D(0,0,3) , C (0,3, 0) , B( 3, 4,0) .

???? ??? ? DC ? ( 0 , 3 ?, , 3 )CB ? ( 3,1,0) .
设平面 DBC 的法向量 n1 ? ( x, y, z ) ,

???? ? ? 3 y ? 3 z ? 0, ?n1 ? DC ? 0, ? 则? 即? 令 x ? ?1 ,则 y ? 3 , z ? 3 . ??? ? 3 x ? y ? 0. ? n ? CB ? 0. ? ? ? 1
所以 n1 ? (?1, 3, 3) .

15

耐心 细心 责任心

No.

Date

Time

稳定持久赢高分

又 n2 ? (0, 0,1) 是平面 NBC 的一个法向量, 所以 cos n1 , n2 ?

n1 ? n2 3 21 . ? ? n1 n2 7 7
21 . 7

故所求二面角 D ? BC ? N 的余弦值为

5.证明: (Ⅰ)因为点 E 为线段 PB 的中点,点 O 为线段 AB 的中点, 所以 OE ∥ PA . 因为 PA ? 平面 PAC , OE ? 平面 PAC , 所以 OE ∥平面 PAC. 因为 OM ∥ AC , 因为 AC ? 平面 PAC , OM ? 平面 PAC , 所以 OM ∥平面 PAC. 因为 OE ? 平面 MOE , OM ? 平面 MOE , OE ? OM = O , 所以 平面 MOE ∥平面 PAC. 证明: (Ⅱ)因为 点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上, 所以 ? ACB 90? ,即 BC ? AC . PA ^ 平面 ABC , BC ? 平面 ABC , 因为 所以 PA ? BC . 因 为 AC ? 平 面 PAC , PA ? 平 面 PAC , PA ? AC = A , 所以 BC ^ 平面 PAC . 因为 BC ? 平面 PBC , 所以 平面 PAC ^ 平面 PCB . (Ⅲ)解:如图,以 C 为原点, CA 所在的直线为 x 轴,

z P

E C D A x M B O y

CB 所在的直线为 y 轴,建立空间直角坐标系 C ? xyz .
因为 ? CBA

30? , PA = AB = 2 ,

所以 CB = 2cos30? 延长 MO 交 CB 于点 D . 因为 OM ∥ AC ,

3 , AC = 1 .

所以 MD ^ CB, MD = 1 +

1 3 1 3 = , CD = CB = . 2 2 2 2 3 3 , 0) . 2 2

所以 P(1, 0, 2) , C (0,0,0) , B(0, 3,0) , M ( , 所以 CP = (1,0, 2) , CB = (0, 3,0) .
16

??? ?

??? ?

耐心 细心 责任心

No. 设平面 PCB 的法向量 m = ( x, y, z ) .

Date

Time

稳定持久赢高分

??? ? ì ? m ? CP 因为 ? ??? ? í ? ? ? m ?CB
? 所以 ? í

0, 0.
0, 0,
即? í

ì ( x, y, z ) ?(1, 0, 2) ? ? ? ( x, y, z ) ?(0, 3, 0)

ì ? x + 2 z = 0, ? ? 3 y = 0. ?

令 z = 1 ,则 x = - 2, y = 0 . 所以 m = (- 2,0,1) . 同理可求平面 PMB 的一个法向量 n ? 1, 3,1 所以 cos m, n ?

?

?

1 m?n 1 ? ? . 所以 cos ? = . 5 m?n 5

6.(Ⅰ)证明: 因为 DE ? 平面 ABCD , 所以 DE ? AC . 因为 ABCD 是正方形, 所以 AC ? BD , 从而 AC ? 平面 BDE . (Ⅱ)解:因为 DA, DC, DE 两两垂直, 所以建立空间直角坐标系 D ? xyz 如图所示. 因为 BE 与平面 ABCD 所成角为 60 ,即 ?DBE ? 60 ,
0
?

z E

F A x

D

分 所以

ED ? 3. DB

C ………………5 y M B

由 AD ? 3 可知 DE ? 3 6 , AF ? 6 . 则 A(3, 0, 0) , F (3,0, 6) , E(0,0,3 6) , B(3,3, 0) , C (0,3, 0) , 所以 BF ? (0, ?3, 6) , EF ? (3,0, ?2 6) ,

??? ?

??? ?

??? ? ? ? ?n ? BF ? 0 ??3 y ? 6 z ? 0 设平面 BEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ??? ,即 ? , ? 3 x ? 2 6 z ? 0 ? ? ?n ? EF ? 0 ?
令z?

6 ,则 n ? (4, 2, 6) .

17

耐心 细心 责任心

No.

Date

Time

稳定持久赢高分

??? ? ??? ? 因为 AC ? 平面 BDE ,所以 CA 为平面 BDE 的法向量, CA ? (3, ?3,0) , ??? ? ??? ? n ? CA 6 13 所以 cos? n, CA? ? . ? ??? ? ? n CA 3 2 ? 26 13
因为二面角为锐角,所以二面角 F ? BE ? D 的余弦值为 (Ⅲ)解:点 M 是线段 BD 上一个动点,设 M (t , t , 0) . 则 AM ? (t ? 3, t ,0) , 因为 AM // 平面 BEF , 所以 AM ? n ? 0 , 即 4(t ? 3) ? 2t ? 0 ,解得 t ? 2 . 此时,点 M 坐标为 (2, 2, 0) , BM ?

13 . 13

???? ?

???? ?

1 BD ,符合题意. 3
P

7. (Ⅰ)证明:因为 E , O 分别为 PA , AC 的中点, 所以 EO ∥ PC . 又 EO ? 平面 BDE , PC ? 平面 BDE . 所以 PC ∥平面 BDE . (Ⅱ)证明:连结 OP , 因为 PB ? PD , 所以 OP ? BD . 在菱形 ABCD 中, BD ? AC , 又因为 OP ? AC ? O , A 所以 BD ? 平面 PAC . 又 PH ? 平面 PAC , 所以 BD ? PH . 在直角三角形 POB 中, OB ? 1 , PB ? 2 , 所以 OP ? 3 . 又 PC ? 3 , H 为 OC 的中点, 所以 PH ? OC . 又因为 BD ? OC ? O 所以 PH ? 平面 ABCD . (Ⅲ)解:过点 O 作 OZ ∥ PH ,所以 OZ ? 平面 ABCD . 如图,以 O 为原点, OA , OB , OZ 所在直线为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系. 可得, A( 3,0,0) , B(0,1, 0) , C (? 3,0,0) ,

E

D H O B

C

P(?

3 3 3 3 , 0, ) , E ( , 0, ) . 2 2 4 4
18 耐心 细心 责任心

No. 所以 AB ? (? 3,1,0) , AP ? (?

Date

Time

稳定持久赢高分

??? ?

??? ?

3 3 3 , 0, ) , 2 2

??? ? 5 3 3 CE ? ( , 0, ) . 4 4 设 n ? ( x, y, z ) 是平面 PAB 的一个法向量,则 ??? ? ?? 3x ? y ? 0 ? ? ?n ? AB ? 0 ,即 ? 3 3 , ? ? ??? 3 x? z ?0 ? ?? ?n ? AP ? 0 ? 2 2 令 x ? 1 ,则 n ? (1, 3, 3) . 设直线 CE 与平面 PAB 所成的角为 ? , ??? ? 4 4 〈n, CE 〉 ? . 可得 sin ? ? cos 所以直线 CE 与平面 PAB 所成角的正弦值为 . 7 7
8.解法一: (Ⅰ)因为 ?PAD ? 90? ,所以 PA ? AD . 又因为侧面 PAD ? 底面 ABCD ,且侧面 PAD ? 底面 ABCD ? AD , 所以 PA ? 底面 ABCD . 而 CD ? 底面 ABCD , 所以 PA ? CD .

在底面 ABCD 中,因为 ?ABC ? ?BAD ? 90? , AB ? BC ? 所以 AC ? CD ?

1 AD , 2

2 AD , 所以 AC ? CD . 2

又因为 PA ? AC ? A , 所以 CD ? 平面 PAC . (Ⅱ)在 PA 上存在中点 E ,使得 BE / / 平面 PCD , 证明如下:设 PD 的中点是 F , 连结 BE , EF , FC , P

1 AD . 2 由已知 ?ABC ? ?BAD ? 90? , 1 所以 BC // AD . 又 BC ? AD , 2 B 所以 BC // EF ,且 BC ? EF , 所以四边形 BEFC 为平行四边形,所以 BE // CF . 因为 BE ? 平面 PCD , CF ? 平面 PCD , 所以 BE // 平面 PCD .
则 EF // AD ,且 EF ? (Ⅲ)设 G 为 AD 中点,连结 CG , 则 CG ? AD . 又因为平面 ABCD ? 平面 PAD , 所以 CG ? 平面 PAD . 过 G 作 GH ? PD 于 H ,
19

E A

F D

C

P

H A G D

B

C
耐心 细心 责任心

No.

Date

Time

稳定持久赢高分

连结 CH ,由三垂线定理可知 CH ? PD . 所以 ?GHC 是二面角 A ? PD ? C 的平面角. 设 AD ? 2 ,则 PA ? AB ? CG ? DG ? 1, DP ? 5 . 在 ?PAD 中,

GH DG 1 ? ,所以 GH ? . PA DP 5

所以 tan ?GHC ?

CG 6 ? 5 , cos ?GHC ? . GH 6

即二面角 A ? PD ? C 的余弦值为 解法二: 因为 ?PAD ? 90? , 所以 PA ? AD . 又因为侧面 PAD ? 底面 ABCD , 且侧面 PAD ? 底面 ABCD ? AD ,

6 . 6
z P

所以 PA ? 底面 ABCD . 又因为 ?BAD ? 90? , 所以 AB , AD , AP 两两垂直. 分别以 AB , AD , AP 为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,如图.

A B x

D C

y

设 AD ? 2 ,则 A(0, 0, 0) , B(1, 0, 0) , C (1, 1, 0) , D(0, 2, 0) , P(0, 0, 1) . (Ⅰ) AP ? (0, 0, 1) , AC ? (1, 1, 0) , CD ? (?1, 1, 0) , 所以 AP ? CD ? 0 , AC ? CD ? 0 ,所以 AP ? CD , AC ? CD . 又因为 AP ? AC ? A , 所以 CD ? 平面 PAC . (Ⅱ)设侧棱 PA 的中点是 E , 则 E (0, 0,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? 1 1 ) , BE ? (?1, 0, ) . 2 2 ??? ? ? ?n ? CD ? 0, 设平面 PCD 的一个法向量是 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ??? ? ? ? n ? PD ? 0. ??? ? ??? ? 因为 CD ? (?1, 1, 0) , PD ? (0, 2, ?1) ,
所以 ?

?? x ? y ? 0, ? 2 y ? z ? 0.
??? ?

取 x ? 1 ,则 n ? (1, 1, 2) .

所以 n ? BE ? (1, 1, 2) ? (?1, 0,

??? ? 1 ) ? 0 , 所以 n ? BE . 2

因为 BE ? 平面 PCD ,所以 BE ? 平面 PCD .

20

耐心 细心 责任心

Date Time 稳定持久赢高分 ??? ? (Ⅲ)由已知, AB ? 平面 PAD ,所以 AB ? (1, 0, 0) 为平面 PAD 的一个法向量. No. 由(Ⅱ)知, n ? (1, 1, 2) 为平面 PCD 的一个法向量. 设二面角 A ? PD ? C 的大小为 ? ,由图可知, ? 为锐角,

??? ? n ? AB (1, 1, 2) ? (1, 0, 0) 6 所以 cos ? ? . ? ??? ? ? 6 6 ?1 n AB
即二面角 A ? PD ? C 的余弦值为

6 . 6

9.证明: (Ⅰ)连接 AC,交 BQ 于 N,连接 MN. ∵BC∥AD 且 BC=

1 AD,即 BC // AQ. 2

∴四边形 BCQA 为平行四边形,且 N 为 AC 中点, 又∵点 M 在是棱 PC 的中点, ∴ MN // PA ∵ MN ? 平面 MQB,PA ? 平面 MQB, ∴ PA // 平面 MBQ. (Ⅱ)∵AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2

∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD. ∵BQ ? 平面 PQB, ∴平面 PQB⊥平面 PAD. 另证:AD // BC,BC=

z P M

D ∴ BC // DQ 且 BC= DQ, ∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . Q C ∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. N ∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD. A B ∵ PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面 PBQ. y x ∵ AD ? 平面 PAD, ∴平面 PQB⊥平面 PAD. (Ⅲ)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD. 10 分 (不证明 PQ⊥平面 ABCD 直接建系扣 1 分) 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系. 则平面 BQC 的法向量为 n ? (0,0,1) ;
21 耐心 细心 责任心

1 AD,Q 为 AD 的中点 2

?

No.

Date

Time

稳定持久赢高分

Q(0,0,0) , P(0,0, 3) , B(0, 3,0) , C(?1, 3,0) .
设 M ( x, y, z ) , 则 PM ? ( x, y, z ? 3) , MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ? z) , ∵ PM ? tMC ,

???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

? x ? t (?1 ? x) ? ∴ ? y ? t ( 3 ? y) , ? ? z ? 3 ? t (? z)

t ? ?x ? ? 1? t ? 3t ? ∴ ?y ? 1? t ? ? 3 ?z ? ? 1? t
???? ? t 3t 3 , , ), 1? t 1? t 1? t

在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3,0) , QM ? (? ∴ 平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3,0, t ) . ∵二面角 M-BQ-C 为 30° , ∴ t ? 3.

??? ?

??

? ?? n ?m t 3 , c o s 3? 0 ? ? ?? ? ? 2 n m 3 ? 0 ? t2

10.解:(Ⅰ)证明:∵ AD / / EF , EF / / BC , ∴ AD / / BC . 又∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点, ∴ AD/ /BG , ∴四边形 ADGB 是平行四边形, ∴ AB / / DG . ∵ AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG , ∴ AB / / 平面 DEG . (Ⅱ) 解法 1 证明:∵ EF ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB , ∴ EF ? AE , 又 AE ? EB, EB ? EF ? E , EB, EF ? 平面 BCFE , ∴ AE ? 平面 BCFE . 过 D 作 DH / / AE 交 EF 于 H ,则 DH ? 平面 BCFE . ∵ EG ? 平面 BCFE , ∴ DH ? EG .

22

耐心 细心 责任心

No.

Date

Time

稳定持久赢高分

∵ AD / / EF , DH / / AE ,∴四边形 AEHD 平行四边形, ∴ EH ? AD ? 2 , ∴ EH ? BG ? 2 ,又 EH / / BG, EH ? BE , ∴四边形 BGHE 为正方形, ∴ BH ? EG , 又 BH ? DH ? H , BH ? 平面 BHD , DH ? 平面 BHD , ∴ EG ⊥平面 BHD . ∵ BD ? 平面 BHD , ∴ BD ? EG . 解法 2 ∵ EF ? 平面 AEB ,AE ? 平面 AEB ,BE ? 平 面 AEB ,∴ EF ? AE , EF ? BE , 又 AE ? EB , ∴ EB, EF , EA 两两垂直. 以点 E 为坐标原点, EB, EF , EA 分别为 x, y, z 轴 建立如图的空间直角坐标系. 由已知得, A (0,0,2) , B (2,0,0) , C (2,4,0) , F (0,3,0) , D (0,2,2) , G (2,2,0). ∴ EG ? (2,2,0) , BD ? (?2,2,2) , ∴ BD ? EG ? ?2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 , ∴ BD ? EG . (Ⅲ)由已知得 EB ? (2,0,0) 是平面 EFDA 的法向量. 设平面 DCF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,∵ FD ? (0, ?1,2), FC ? (2,1,0) ,

A

z

D

E

F

y

x B

G

C

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ? ? FD ? n ? 0 ?? y ? 2 z ? 0 ? ∴ ? ??? ,即 ? ,令 z ? 1 ,得 n ? (?1, 2,1) ? ? 2 x ? y ? 0 FC ? n ? 0 ? ? ?
设二面角 C ? DF ? E 的大小为 ? , 则 cos ? ? cos ? n, EB ??

??? ?

?2 6 , ?? 6 2 6
6 . 6

∴二面角 C ? DF ? E 的余弦值为 ?

23

耐心 细心 责任心


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