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全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题(高二) Word版含答案


2012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题 (高二年级) 说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设 8 分和 0 分两档;解答题的评阅,只 要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接 将答案写在横线上。 ) 1.函数 f ( x) ? 2 . 已 知 c x ?1 的值域为________________. x ? 4x ? 7 2 3s 2 i? ? n 2s 2 i? n ?1 , 3(sin? ? cos? ) 2 ? 2(sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 , 则 o 2(? s? ? ) ? _______________. ? n , 3.已知数列 {a n } 满足: a 1 为正整数, a n ?1 ? ? 2 a1 ? ?a a n 为偶数, ? ?3a n ? 1, a n 为奇数, 如果 a1 ? a 2 ? a 3 ? 29 ,则 . 4.设集合 S ? {1,2,3, ? ,12} , A ? {a1 , a 2 , a 3 } 是 S 的子集,且满足 a1 ? a 2 ? a 3 , a 3 ? a 2 ? 5 , . y2 x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 交于 M , N 两点, P 是椭圆 C 上异 2 a b 2 那么满足条件的子集 A 的个数为 5.过原点 O 的直线 l 与椭圆 C : 1 于 M , N 的任一点.若直线 PM , PN 的斜率之积为 ? ,则椭圆 C 的离心率为_______________. 3 6.在△ ABC 中, AB ? BC ? 2 , AC ? 3 .设 O 是△ ABC 的内心,若 AO ? p AB ? q AC , 则 p 的值为_______________. q 7. 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 已知 AC ? 1, B1C ? 2 , AB1 ? p , 则长方体的体积最大时, p 为_______________. 2012 8.设 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,则 ?[ k ?0 2012 ? 2k ]? 2k ?1 . 二、解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分) 9 . 已知正项数 列 {a n } 满足 2 an an ?1 ? an an ? 2 ? 4 an an ? 1 ? an ? 1 ? 3 an an ? 1 且 a1 ? 1 , a2 ? 8 ,求 {a n } 的通项 公式. [来源:学科网 ZXXK] 10.已知正实数 a , b 满足 a 2 ? b 2 ? 1 ,且 a 3 ? b 3 ? 1 ? m(a ? b ? 1) 3 ,求 m 的取值范围. [来源:学科网] 11.已知点 E (m, n) 为抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 内一定点,过 E 作斜率分别为 k1 , k 2 的两条直 线交抛物线于 A, B , C , D ,且 M , N 分别是线段 AB , CD 的中点. (1)当 n ? 0 且 k1 ? k 2 ? ?1 时,求△ EMN 的面积的最小值; (2)若 k1 ? k 2 ? ? ( ? ? 0, ? 为常数) ,证明:直线 MN 过定点. [来源:学_科_网] 2012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案 (高二年级

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