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2012-2013学年度第二学期高二数学期中考试试题及答答案


2012--2013 学年第二学期期中考试 高二年级数学(理科)试卷
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. 1-i 的虚部为( ) A.1 B. i C.-1 D. ?i 2 2.一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒, 那么物体在 3 秒

末的瞬时速度是( ) A. 7 米/秒 B. 6 米/秒 3. 若 f ( x) ? sin ? ? cos x ,则 A
sin ?
5

红色,三个涂白色,求恰好有三个连续的小球涂红色,则涂法共有____种. 10. 由三角形的性质通过类比推理,得到四面体的如下性质:四面体的六个二面角的平 分面交于一点,且这个点是四面体内切球的球心,那么原来三角形的性质为 11. 设平面 ? 内两个向量的坐标分别为(1,0,0) 、 (0,-1,0) ,则平面 ? 的一个单位法 向量是 12.若 a , b ? { 0,1,2,3,4,5,6}则复数 a ? bi 中不同的虚数有 13. 函数 y=x3-3x 的极大值为 m,极小值为 n,则 m-n 为 14. 已 知 函 数 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? d (b, c, d为常数),当 k ? (??,0) ? (4,??) 时 , 个.

C. 5 米/秒 ) D
2 s i? n

D. 8 米/秒

f (? ) 等于(
'

f ( x) ? k ? 0 只有一个实根;当 k ∈(0,4)时, f ( x) ? k ? 0 有 3 个相异实根,

B
3

cos?

C sin ? ? cos ? ) C. (??,??)

现给出下列四个命题: ① f ( x) ? 4 ? 0 和 f ?( x) ? 0 有一个相同的实根;

4.函数 y = x + x 的递增区间是( A. (0,??) 5.复数 B. (??,1)

D. (1,??)

② f ( x) ? 0 和 f ?( x) ? 0 有一个相同的实根; ③ f ( x) ? 3 ? 0 的任一实根大于 f ( x) ? 1 ? 0 的任一实根;

1? i 对应的点落在 ( ) i A.第一象限 (B)第二象限

C.第三象限

D.第四象限

④ f ( x) ? 5 ? 0 的任一实根小于 f ( x) ? 2 ? 0 的任一实根. 其中正确命题的序号是 三.解答题(共六个答题,满分为 80 分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

6.

函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示, 则函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点( A 1个 B
2个


a

y

y ? f ?( x)

C 3个

D 4个

b

O

x

15.(本题满分 12 分)设复数 z,满足 z ? z ? 2iz

? 9 ? 2i ,求复数 z.

7.曲江区决定从去年招考的 12 名大学生村官中挑选 3 个人担任村长助理,则甲、丙至少 有 1 人入选,乙没有入选的不同选法的种数为 ( ) (A)220 (B) 165 (C)84 (D).81 8. 用反证法证明命题:若整系数方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理根,那么 a , b , c 中至少 有一个是偶数,下列假设中正确的是( A、假设 a , b , c 都是偶数 ). 16. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 6 ln x( x ? 0) 和 g ( x) = a x2 + 8 x ( a 为常数)的图
象在 x = 3 处有平行切线. (1)求 a 的值;


B、假设 a , b , c 都不是偶数 D、假设 a , b , c 中至多有两个偶数

C、假设 a , b , c 中至多有一个偶数 二.填空题

9.编号为 1 ~8 的八个小球按编号从小到大顺序排成一排,涂上红、白两种颜色,5 个涂

(2)求函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的极大值和极小值.

线 x=2 所围成的面积分别记为 S1 S 2 。 (Ⅰ)当 S1 ? S 2 时,求点 P 的坐标; (Ⅱ)当 S1 ? S 2 有最小值时,求点 P 的坐标和最小值。

17. (本题满分 14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 1 ? nan (n ? N* ) . (1)计算 a1 , a2 , a3 , a4 ; (2)猜想 an 的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.

20. (本题满分 14 分)设函数 f ( x) ?
(Ⅰ)讨论函数 h( x ) ?

a ? x ln x , g ( x) ? x3 ? x2 ? 3 . x

f ( x) 的单调性; x

18. (本题满分 14 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 的底面为正方形, 侧棱 PA ? 底面 ABCD , 且 PA ? AD ? 2 , E, F , H 分别是线段 PA, PD, AB 的中点. (Ⅰ)求证: PB //平面 EFH ; (Ⅱ)求证: PD ? 平面 AHF ; (Ⅲ)求二面角 H ? EF ? A 的大小.

(Ⅱ)如果存在 x1 , x2 ?[0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,求满足上述条件的最大整数 M ; (Ⅲ)如果对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f (s) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围.

1 2

19. (本题满分 14 分) 如图所示, 设点 P 在曲线 y ? x 2 上, 从原点向 A(2,4)移动,如果直线 OP,曲线 y ? x 2 及直


高二(理科)数学期中考试答题卷
一、选择题(每小题 5 分) 题号 答案 二、填空题(每小题 5 分) 班级 9、 11、 ;10、 ; 12、 ;13、 ; 14、 。 ; 1 2 3 4 5 6 7 8

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15、 (本题满分 12 分) 姓名

18、 (本题满分 14 分)

考号

16(本题满分 12 分) 座位号 试室号

17、 (本题满分 14 分)


19、 (本题满分 14 分)

20、 (本题满分 14 分)


2012~2013 学年第二学期期中考试 高二年级数学(理科)试卷答案 一、选择题(每小题 5 分) 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 C 5 D 6 A 7 D 8 B 17.

∴ F ( x) 的极大值为 F (1) = -7,-------------------------11 分

F ( x) 的极小值为 F (3) = -15 + 6ln 3-----------------------12 分
1 1 1 1 1 1 ? , a2 ? ? , a3 ? ? , 2 1? 2 6 2?3 12 3 ? 4

解 :( 1 ) 依 题 设 可 得 a1 ?
a4 ? 1 1 ? ; 20 4 ? 5

…………………4 分(每个 1 分)
1 . n(n ? 1)

二、填空题(每小题 5 分共 30 分) 9、24; 10、三角形的三个内角平分线交于一点,且这个点是该三角形内切圆的圆心; 11、 (0,0,1)或(0,0,-1) (注:写对一个给就可以了,给 5 分) ; 12、42; 13、4;14、 (1),(2),(4) 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. 解:设 z=a+bi(a,b∈ R),则 z =a-bi,-------1 分

(2)猜想: an ?

…………………6 分 …………………7 分

证明:①当 n ? 1 时,猜想显然成立. ②假设 n ? k (k ? N* ) 时,猜想成立, 即 ak ?
1 . k (k ? 1)

…………………8 分

∵z· z +2iz=9+2i, ∴(a+bi)(a-bi)+2i(a+bi)=9+2i, 2 2 即 a +b -2b+2ai=9+2i,-------------------4 分 2 2 ① ?a +b -2b=9, ∴? -------------8 分 ?2a=2. ② 由②得 a=1 代 入①得 b2-2b-8=0 解得 b=-2 或 b=4.---------------------------10 分 ∴z=1-2i 或 z=1+4i.------------------------12 分 16.
解:(I) f ' ( x ) ?

那么,当 n ? k ? 1 时, Sk ?1 ? 1 ? (k ? 1)ak ?1 ,…………………9 分 即 Sk ? ak ?1 ? 1 ? (k ? 1)ak ?1 . 又 S k ? 1 ? kak ? 所以
k , k ?1

k ? ak ?1 ? 1 ? (k ? 1)ak ?1 , k ?1

6 , g ' ( x) ? 2ax ? 8 ,------------------2 分 x
解得 a ? ?1 ---------------------.-------4 分
2

从而 ak ?1 ?

1 1 ? .…………………13 分 (k ? 1)(k ? 2) (k ? 1)[(k ? 1) ? 1]

根据题意,得 f ' (3) ? g ' (3)

即 n ? k ? 1 时,猜想也成立. 故由①和②,可知猜想成立.

…………………14 分

(II) F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 6 ln x ? x ? 8x -------------------5 分 令 F ' ( x) ?

6 ? 2 x ? 8 ? 0 ,------------5 分 x

得 x ? 1,3 -------------7 分

∵ 0 ? x ? 1 时, F ' ( x) > 0, F ( x) 单调递增;--------------8 分

18. 解:建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz , ? A(0,0,0), B(2,0,0), C(2, 2,0), D(0, 2,0) , P(0,0,2) , E (0,0,1) , F (0,1,1) , H (1,0,0) .……2 分 (Ⅰ)证明:∵ PB ? (2,0, ?2) , EH ? (1,0, ?1) , ∴ PB ? 2EH , ∵ PB ? 平面 EFH ,且 EH ? 平面 EFH ,


1 ? x ? 3 时, F ' ( x) < 0, F ( x) 单调递减;------------------9 分 x ? 3 时, F ' ( x) > 0, F ( x) 单调递增.----------------------10 分

∴ PB //平面 EFH .……5 分 (Ⅱ)解: PD ? (0, 2, ?2) , AH ? (1,0,0) , AF ? (0,1,1) ,
PD ? AF ? 0 ? 0 ? 2 ? 1 ? (?2) ? 1 ? 0, PD ? AH ? 0 ? 1 ? 2 ? 0 ? (?2) ? 0 ? 0. ? PD ? AF , PD ? AH , 又 AF AH ? A , ? PD ? 平面 AHF .……9 分

20.

(Ⅲ)设平面 HEF 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 因为 EF ? (0,1,0) , EH ? (1,0, ?1) ,
?n ? EF ? y ? 0, ? 则? 取 n ? (1,0,1). n ? EH ? x ? z ? 0, ? ?

又因为平面 AEF 的法向量为 m ? (1,0,0), ---------10 分 所以 cos ? m, n ??

m?n | m || n |

?

1? 0 ? 0 2 ?1

?

1 2

?

2 , ……12 分 2

?? m, n ?? 45 , 所以二面角 H ? EF ? A 的大小为 45? .……14 分
19. 解: (Ⅰ)设点 P 的横坐标为 t(0<t<2),则 P 点的坐标为

(t , t 2 ) ,
直线 OP 的方程为 y ? tx
S1 ? ? (tx ? x 2 )dx ?
0 t

…………2 分 ,
[ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? g ( x) max ? g ( x) min ?
所以 满足条件的最大整数 M ? 4 ;

1 3 t 6

8 1 ? 2t ? t 3 …………6 分 t 3 6 4 4 16 因为 S1 ? S 2 ,所以 t ? ,点 P 的坐标为 ( , ) 3 9 3 1 8 1 1 8 (Ⅱ) S ? S1 ? S 2 ? t 3 ? ? 2t ? t 2 ? t 3 ? 2t ? 6 3 6 3 3 S 2 ? ? ( x 2 ? tx)dx ?
2

112 , 27

. . . . . . . . . . . . . . . .9 分 . . . . . . . . . . . . . . . .10 分

。 。

…………8 分

…。………9 分 ….………11 分 …….……12 分 …….……14 分


S ? ? t 2 ? 2 ,令 S'=0 得 t 2 ? 2 ? 0 , t ? 2

因为 0 ? t ? 2 时,S'<0; 2 ? t ? 2 时,S'>0 所以,当 t ? 2 时, S min ?
8?4 2 ,P 点的坐标为 ( 2 ,2) 3

即 函 数

h( x) ? ? x

2

1 在区间 xl n x [ ,1) 上递增, 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 分 . ... . . . .14 分

在区间 (1, 2] 上递减, 所以 h( x)max ? h(1) ? 1,所以 a ? 1 。




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