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【课堂新坐标,同步教学参考】2013-2014学年高中北师大版数学必修四 第二章课时作业11]


一、选择题 1.如图 2-1-5,在正方形 ABCD 中,可以用同一条有向线段表示的向量 是( )

图 2-1-5 → → A.DA与BC → → B.AB与DC → → C.DC与DA → → D.BC与AB 【解析】 【答案】 → → → → ∵AB=DC,∴AB与DC可用同一条有向线段表示. B

图 2-1-6 → → 2. 如图

2-1-6 所示, 梯形 ABCD 为等腰梯形,则两腰上的向量AB与DC的 关系是( )

→ → A.AB=DC → → B.|AB|=|DC| → → C.AB>DC → → D.AB<DC 【解析】 【答案】 → → |AB|与|DC|表示等腰梯形两腰的长度,故相等. B

图 2-1-7 3.如图所示,△ABC 的三边均不相等,E、F、D 分别是 AC、AB、BC 的 → 中点,则与EF的模相等的向量共有( A.6 个 C.4 个 【解析】 ) B.5 个 D.3 个 ∵E、F、D 分别是边 AC、AB 和 BC 的中点,

1 1 ∴EF=2BC,BD=DC=2BC. → → → → 又∵AB,BC,AC 均不相等,从而与EF的模相等的向量是:FE,BD,DB, → → DC,CD. 【答案】 B

图 2-1-8 4.如图,点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,则以图中 A,B,C,D,E, → F,O 中任意一点为始点,与始点不同的另一点为终点的所有向量中,除向量OA → 外,与向量OA共线的向量共有( A.6 个 C.8 个 【解析】 ) B.7 个 D.9 个 → 由共线向量的定义及正六边形的性质,与向量OA共线的向量有

→ → → → → → → → → AO,OD,DO,AD,DA,EF,FE,BC,CB,共有 9 个.故选 D. 【答案】 D )

5.下列说法中,不正确的是( A.0 与任意一个向量都平行

B.任何一个非零向量都可以平行移动 C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 D.两个有共同起点且共线的向量其终点必相同 【解析】 D. 【答案】 二、填空题 → 6. 已知边长为 3 的等边△ABC, 则 BC 边上的中线向量AD的模等于________. 【解析】 【答案】 3 3 3 → 3 3 由于 AD= 2 AB= 2 .∴|AD|= 2 . 3 2 3 D 易知 A、B、C 均正确,D 不正确,它们的终点可能相同,故选

图 2-1-9 → → → → → 7.如图,设 O 是正方形 ABCD 的中心,则:①AO=OC;②AO∥AC;③AB → → → 与CD共线;④AO=BO.其中,所有正确的序号为________. 【解析】 根据正方形的几何性质以及向量的相等和共线的条件知①②③正 → → 确,AO与BO的方向不相同,故④不正确. 【答案】 ①②③

图 2-1-10 8.如图 2-1-10 所示,四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形,把各边三等 → 分后,连接相应分点,共有 16 个交点,从中选取 2 个交点组成向量,则与AC平 行且长度为 2 2的向量个数是________.

【解析】 图中共有 4 个边长为 2 的正方形,每个正方形中有符合条件的向

量 2 个(它们分别是连接左下和右上顶点的向量,方向相反),故满足条件的向量 共有 8 个. 【答案】 三、解答题 9.已知 O 是正方形 ABCD 对角线的交点,在以 O,A,B,C,D 这 5 点中 任意一点为起点,另一点为终点的所有向量中,写出: → (1)与BC相等的向量; → (2)与OB长度相等的向量; → (3)与DA共线的向量. 8

【解】

→ → 如图可知,(1)易知 BC=AD,所以与BC相等的向量为AD.

→ (2)由 O 是正方形 ABCD 对角线的交点可知 OB=OD=OA=OC, 所以与OB长 → → → → → → → 度相等的向量有BO,OC,CO,OA,AO,OD,DO. → → → → (3)与DA共线的向量有AD,BC,CB.

图 2-1-11 → → 10.如图 2-1-11 所示,四边形 ABCD 中AB=DC,N、M 分别是 AD、BC → → 上的点,且CN=MA. → → 求证:DN=MB. 【证明】 → → → → ∵AB=DC,∴|AB|=|DC|且 AB∥CD,

∴四边形 ABCD 是平行四边形, → → ∴|DA|=|CB|,且 DA∥CB.

→ → → → 又∵DA与CB的方向相同,∴CB=DA. → → 同理可证,四边形 CNAM 是平行四边形,∴CM=NA. → → → → → → ∵|CB|=|DA|,|CM|=|NA|,∴|MB|=|DN|, → → → → 又∵DN与MB的方向相同,∴DN=MB.

图 2-1-12 11.如图 2-1-12,A、B、C 三点的坐标依次是(-1,0)、(0,1)、(x,y),其 → → 中 x、y∈R.当 x、y 满足什么条件时,向量OC与AB共线(其中 O 为坐标原点)? 【解】 由已知,A、B 的坐标是(-1,0)、(0,1),所以∠BAO=45° .

→ 当点 C(x,y)的坐标满足 x=y=0 时,OC=0, → → 这时OC与AB共线(零向量与任意向量都共线); 当 xy≠0,且 x=y, 即点 C 在一、三象限角平分线上时, → → 有 AB∥OC,这时OC与AB共线. → → 综上,当 x=y 时,OC与AB共线.


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