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2018新课标高考第一轮数学(理)总复习教师用书:同步测试(四) Word版含解析


2018’新课标· 名师导学· 高考第一轮总复习同步测试卷 理科数学(四) 【P283】 (函数的应用) 时间:60 分钟 总分:100 分 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.每小题所给的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.已知 f(x)(x∈R)为奇函数,f(2)=1,f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(3)等于( )

1 A.2

3 B.1 C.2

D.2

【解析】 ∵f(x)为 R 上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x). 令 x=-1, 则 f(1)=f(-1)+f(2), ∴f(1) 1 =-f(1)+1,f(1)=2. 1 3 令 x=1,则 f(3)=f(1)+f(2)=2+1=2,故选 C. 【答案】C 1 2.函数 f(x)=3-的零点所在的区间为( ) 1 A.3 1 B.2

1 C.,1 D.(1,2) 1 11 11 1 11 11 1 1 1 【解析】∵f3=33-32>0,f2=32-22<0,∴f3· f2<0,故零点所在区间为2.故选 B. 【答案】B 3.物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出 四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预测的运输任务 Q0, 各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时 间的运输量)逐步提高的是( )

【解析】由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得,曲线上的点的切线斜率应该逐渐 增大,故函数的图象应一直是下凹的,故选 B. 【答案】B 4. 已知正方形 ABCD 的边长为 4, 动点 P 从 B 点开始沿折线 B-C-D-A 向 A 点运动. 设 点 P 运动的路程为 x,△ABP 的面积为 S,则函数 S=f(x)的图象是( )

【解析】依题意知当 0≤x≤4 时,f(x)=2x;当 4<x≤8 时,f(x)=8;当 8<x≤12 时,f(x) =24-2x.观察四个选项知 D 选项满足条件,故选 D. 【答案】D 5.已知直线 x=2 及 x=4 与函数 y=log2x 图象的交点分别为 A,B,与函数 y=lg x 图象 的交点分别为 C,D,则直线 AB 与 CD( ) A.相交,且交点在第一象限 B.相交,且交点在第二象限 C.相交,且交点在第四象限 D.相交,且交点在坐标原点 1 lg 2 【解析】A(2,1),B(4,2),C(2,lg 2),D(4,lg 4),kAB=2,kCD= 2 ,直线 AB、CD 的方程分别为 x-2y=0,xlg 2-2y=0,显然两直线过原点,选 D. 【答案】D 6.对于函数 f(x)与 g(x)和区间 D,如果存在 x0∈D,使|f(x0)-g(x0)|≤1,则称 x0 是函数 f(x)与 g(x)在区间 D 上的“友好点” .现给出下列四组函数:①f(x)=x2,g(x)=2x-2;②f(x) 1 - =,g(x)=x+2;③f(x)=e x,g(x)=-x;④f(x)=ln x,g(x)=x.则在区间(0,+∞)上存在唯 一“友好点”的是( ) A.①② B.③④ C.②③ D.①④ 【解析】对于①,由|f(x)-g(x)|=|x2-(2x-2)|=|(x-1)2+1|≤1,得 x=1,即为唯一 的“友好点” ; 1 7 对于②,|f(x)-g(x)|=|-(x+2)|=|2+4|≤1 无解,故不存在“友好点” ; 1 1 - - 对于③,|f(x)-g(x)|=|e x+x|,而 e x+x是(0,+∞)上的减函数,且|f(2)-g(2)|=|e
-2

1 +2|<1,故 f(x)与 g(x)在区间(0,+∞)上有无穷多个“友好点” ; 1 对于④, |f(x)-g(x)|=|ln x-x|, x=1 时, |f(1)-g(1)|=1.令 h(x)=ln x-x, h′(x)=x-1,

当 0<x<1 时,h′(x)>0;当 x>1 时,h′(x)<0.∴h(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数, ∴h(x)在 x=1 处取最大值,且 h(1)=-1,从而在(0,+∞)上,h(x)<0 恒成立,∴|h(x)|在(0, 1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,∴|h(x)|在 x=1 处取最小值,且|h(1)|=1,即 f(x) 与 g(x)有唯一的“友好点” .故选 D. 【答案】D 二、 填空题(本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分, 将各小题的结果填在题中横线上. ) 3 7.一个容器装有细沙 a cm ,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min - 后剩余的细沙量为 y=ae bt(cm3),经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子 ,则再经过 ________min,容器中的沙子只有开始时的八分之一. 【解析】当 t=0 时,y=a;当 t=8 时,y=ae 开始时的八分之一时, 即 y=ae
-bt -8b

1 1 - =2a,∴e 8b=2,容器中的沙子只有

1 -bt 1 - - =8a, e =8=(e 8b)3=e 24b, 则 t=24, 所以再经过 16 min,

容器中的沙子只有开始时的八分之一. 【答案】16 8.某驾驶员喝了 500 mL 酒后,血液中的酒精含量 f(x)(mg/mL)随时间 x(h)变化的规律近

1 似满足表达式 f(x)=,x>1.《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定,驾驶员血 液中酒精含量不得超过 0.02 mg/mL, 据此可知, 此驾驶员至少要过________h 后才能开车. (精 确到 1 h) 1 1 31 - 【解析】当 0≤x≤1 时,25≤5x 2≤5,此时不宜开车;由5· 3≤0.02,得 x≥4. 【答案】4 x+1,x≤1, 9.已知函数 f(x)=ln x,x>1,则方程 f(x)=ax 恰有两个不同的实数根时,实数 a 的取 值范围是________. 【解析】 因为方程 f(x)=ax 恰有两个不同的实数根, 所以 y=f(x)与 y=ax 有 2 个交点. 因 1 1 为 a 表示直线 y=ax 的斜率,当 x>1 时,f′(x)=x,设切点坐标为(x0,y0),k=x0,所以切 1 1 1 线方程为 y-y0=x0(x-x0),而切线过原点,所以 y0=1,x0=e,k=e.所以直线 l1 的斜率为e, 1 1 1 直线 l2 与 y=4x+1 平行.所以直线 l2 的斜率为4,所以实数 a 的取值范围是e.

1 【答案】e a 10.定义:如果函数 y=f 在定义域内给定的区间上存在 x0,满足 f=b-a,则称函数 y =f 是上的“平均值函数” ,x0 是它的一个均值点.例如 y=x4 是上的平均值函数,0 就是它 的均值点.现有函数 f=-x3+mx 是上的平均值函数,则实数 m 的取值范围是________. 1-f(-1) -(-1)3+m×(-1) 【解析】由题意知,存在 x0∈,使得 f= 1-(-1) = 2 3 2 2 3 =m-1,即-x0+mx0=m-1,∴m=(x0-1)(x0+x0+1)?m=x0+x0+1∈,3,故实数 3 m 的取值范围是,3. 3 【答案】,3 三、解答题(本大题共 3 小题,共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 11.(16 分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为 40 万美元,每生产 1 万部还需另投入 16 万美元.设公司一年内共生产该款手机 x 万部并全部销售完,每万部 40 000 的销售收入为 R(x)万美元,且 R(x)=,x>40. (1)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万部)的函数解析式; (2)当年产量为多少万部时,公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大 利润. 【解析】(1)当 0<x≤40 时,W=xR(x)-(16x+40)=-6x2+384x-40;

40 000 当 x>40 时,W=xR(x)-(16x+40)=- x -16x+7 360. 40 000 所以 W=-16x+7 360,x>40. (2)①当 0<x≤40 时,W=-6(x-32)2+6 104,所以 Wmax=W(32)=6 104; 40 000 40 000 40 000 ②当 x>40 时,W=- x -16x+7 360,由于 x +16x≥2 ×16x =1 600, 40 000 当且仅当 x =16x,即 x=50∈(40,+∞)时,取等号, 所以 W 取最大值为 5 760. 综合①②知,当 x=32 时,W 取得最大值 6 104 万元. 12.(16 分)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c,函数 F(x)=f(x)-x 的两个零点为 m,n(m<n). (1)若 m=-1,n=2,求不等式 F(x)>0 的解集; 1 (2)若 a>0,且 0<x<m<n<a,比较 f(x)与 m 的大小. 【解析】(1)由题意知 F(x)=f(x)-x=a(x-m)(x-n),当 m=-1,n=2 时,不等式 F(x) >0 即为 a(x+1)(x-2)>0. 当 a>0 时,不等式 F(x)>0 的解集为{x|x<-1 或 x>2}; 当 a<0 时,不等式 F(x)>0 的解集为{x|-1<x<2}. (2)f(x)-m=a(x-m)(x-n)+x-m=(x-m)(ax-an+1), 1 ∵a>0,且 0<x<m<n<a,∴x-m<0,1-an+ax>0, ∴f(x)-m<0,即 f(x)<m. 2x-a 13.(18 分)设常数 a∈R,函数 f(x)=2x+a. (1)当 a=-1 时,判断并证明函数 f(x)在(0,+∞)的单调性; (2)若函数 y=f(x)是奇函数,求实数 a 的值; (3)当 a≠0 时,若存在区间[m,n](m<n),使得函数 f(x)在[m,n]的值域为[2m,2n],求实 数 a 的取值范围. 2x+1 2 【解析】(1)当 a=-1 时,f(x)=2x-1=1+2x-1, f(x)在(0,+∞)上单调递减. 2 2 2(2x2-2x1) 证:设 x1>x2>0,则 f(x1)-f(x2)=2x1-1-2x2-1=(2x1-1) (2x2-1) 因为 x1>x2>0,所以 2x1-1>2x2-1>0,2x2<2x1,故 f(x1)-f(x2)<0, 故函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减. 2x-a (2)因为 f(x)=2x+a为奇函数,所以定义域关于原点对称且 f(-x)=-f(x)恒成立,所以 a =-1 或 a≥0. 2-x+1 1+2x 1+2x 当 a=-1 时,x≠0,f(-x)=2-x-1=1-2x=-2x-1=-f(x)成立, 所以 f(x)为奇函数成立,所以 a=-1. 2-x-a 2x-a 当 a≥0 时,x∈R,f(-x)=-f(x),即2-x+a=-2x+a,

所以(1+a· 2 x-a· 2x-a2)+(1-a· 2 x+a· 2x-a2)=0, 所以 a2=1,得 a=1,综上得 a=±1. 2x-a 2a (3)因为 f(x)=2x+a=1-2x+a, ①当 a<0 时,函数 f(x)在(-∞,log2(-a))和(log2(-a),+∞)上单调递减, 所以 m<n<log2(-a)或 log2(-a)<m<n. 2a 由题意可得=2m,(*) 2a 2a 2a(2m-2n) 上述两式相减得2n+a-2m+a=(2m+a) (2n+a)=2n-2m, -2a 即-2a=(2m+a)(2n+a),故2m+a=2n+a, 代入(*)式得 a=-1,此时(2m-1)(2n-1)=2,且 m<n<0 或 0<m<n, 此时(2m-1)(2n-1)=2 显然有解, 1 如 m=2,n=2log2(+1)满足条件.故此时 a=-1. ②当 a>0 时,函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增. 2a 2a 由题意可得=2n,所以 m,n 是方程 1-2x+a=2x 的两个不等的实根, 即方程+2x+a=0 有两个不等的实根, 令 t=2x>0,则方程 t2+t+a=0 有两个不相等的正实根, 故 -(a-1)>0, a<1, a>0, 解得a>0,





即 0<a<3-2. 综上得实数 a 的取值范围是{-1}∪.


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