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【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数单元同步测试(含解析)北师大版必修4


阶段性检测卷(一)
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.下列说法中,正确的是( A.第一象限的角都是锐角 B.第三象限的角必大于第二象限的角 C.-831°是第二象限角 D.-95°20′,984°40′,264°40′是终边相同的角 解析 对于 A 项来说,如 390°是第一象限角,但它不是锐角; 对于 B 项来说,-170°是第三象限角,120°是第二象限角,但 120°>-170°; 对于 C 项来说, -831°=-2?360°-111°, 因为-111°是第三象限角, 所以-831° 是第三象限角; 对于 D 项来说,984°40′=3?360°-95°20′,264°40′=360°-95°20′. 所以角 984°40′,264°40′都与-95°20′角的终边相同. 答案 D π? ? 2.函数 y=2tan?3x+ ?的最小正周期是( 4? ? A. C. π 6 π 2 ) B. π 3 )

2 D. π 3

π 解析 T= . 3 答案 B 3 ? ? 3 3. 已知点 P?sin π ,cos π ?落在角 θ 的终边上, 且 θ ∈[0,2π ), 则 θ 的值为( 4 ? ? 4 A. C. π 4 5π 4 B. D. 3π 4 7π 4 )

3 7 3 7 解析 sin π =cos π ,cos π =sin π . 4 4 4 4 答案 D π 4.把 y=sinx 的图像向右平移 后,再把各点横坐标伸长到原来的 2 倍,得到的函数 8
1

的解析式为(

)

?x π ? A.y=sin? - ? ?2 8 ?
π? ? C.y=sin?2x- ? 8? ? 答案 A

?x π ? B.y=sin? + ? ?2 8 ?
π? ? D.y=sin?2x- ? 4? ?

π? ? ? π ? 5.函数 y=sin?2x- ?在区间?- ,π ?的简图是( 3 2 ? ? ? ?

)

π ?π ? ? π π? ? π? 解析 ∵f? ?=sin?2? - ?=0, 故 C, D 不正确, 又 f(0)=sin?- ?=-sin = 6 3? 3 ?6? ? ? 3? - 3 <0. 2 ∴B 不正确. 答案 A 6.函数 y= sinx+lgcosx 的定义域为( 2 lg?x +2? )

? ? π A.?x|2kπ ≤x<2kπ + ,k∈Z? 2 ? ? ? ? π B.?x|2kπ <x<2kπ + ,k∈Z? 2 ? ?

C.{x|2kπ <x<?2k+1?π ,k∈Z}
? ? π π D.?x|2kπ - <x<2kπ + ,k∈Z? 2 2 ? ? ? ?sinx≥0, 解析 由? ? ?cosx>0,



2

2kπ ≤x≤2kπ +π ,k∈Z, ? ? ? π 3π 2kπ ≤x<2kπ + 或2kπ + <x≤2kπ +2π ,k∈Z, ? 2 2 ? π 即 2kπ ≤x<2kπ + ,k∈Z, 2 所以选 A. 答案 A

? π? 7.已知函数 f(x)=sin?x- ?(x∈R),下面结论错误的是( 2? ?
A.函数 f(x)的最小正周期为 2π

)

? π? B.函数 f(x)在区间?0, ?上是增函数 2? ?
C.函数 f(x)的图像关于 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数

? π? ?π ? 解析 f(x)=sin?x- ?=-sin? -x?=-cosx,显然 f(x)为偶函数,不是奇函数. 2 2 ? ? ? ?
答案 D

?π ? 8.y=cos? -x?在( ?4 ?
A.[-π ,0]上是增加的

)

? 3π π ? B.?- , ?上是增加的 4? ? 4 ? π π? C.?- , ?上是增加的 ? 2 2?
D.?

?π ,5π ?上是增加的 ? 4 ? ?4

?π ? ? π ? 当 2kπ -π ≤x-π ≤2kπ (k∈Z)时,函数是增加 解析 y=cos? -x?=cos?x- ?, 4 4? 4 ? ? ?
3π π 3π π ? 3π π ? 的,解得 2kπ - ≤x≤2kπ + (k∈Z).当 k=0 时,- ≤x≤ ,∴x∈?- , ? 4? 4 4 4 4 ? 4 时,函数是增加的. 答案 B 9.设 a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),则有( A.a<b<c C.c<a<b 解析 a=-sin1,b=cos1,c=-tan1, ∵a<0,c<0,b>0,又 sin1<tan1,
3

)

B.b<a<c D.a<c<b

∴-sin1>-tan1,故选 C. 答案 C πx 10.已知函数 f(x)= 3sin 的图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆

k

x2+y2=k2 上,则 f(x)的最小正周期是(
A.1 B.2 C.3 D.4

)

? ? ? ?2 2 2 2 2 2 解析 由题意可知点? , 3?在圆 x +y =k 上,所以? ? +( 3) =k ,解得 k=±2. ?2 ? ?2?
k k
2π 此时,函数的最小正周期是 T= =2|k|=4. π |k| 答案 D 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知角 α 的终边过点 P(-4m,3m),(m≠0),则 2sinα +cosα =________. 解析 当 m>0 时, |OP| = 5m,2sinα + cosα = 6m -4m 2 + =- . -5m -5m 5 6m -4m 2 + = ;当 m<0 时, |OP| =- 5m 5m 5

5m,2sinα +cosα = 答案 2 2 或- 5 5

3 5 12.sin4π +cos π +tan3π -sin π +cos5π =________. 2 2 3 5 解析 sin4π +cos π +tan3π -sin π +cos5π 2 2 π π =sin0+cos +tanπ -sin +cosπ 2 2 =0+0+0-1-1=-2. 答案 -2 13.已知半径为 2 的扇形的面积为 4,则这个扇形的圆心角为________. 1 l 解析 设这个扇形的弧长为 l,则 4= ?2?l,∴l=4,∴这个扇形的圆心角 θ = = 2 r 4 =2. 2 答案 2 14.若函数 f(x)=sinx+mcosx 图像的一条对称轴方程为 x= ________.
4

π ,则实数 m 的值为 6

3 m ?π ? 解析 由题意得 f(0)=f? ?,即 m= + ,得 m= 3. 2 2 ?3? 答案 3

3 ? 2 ? 15.若函数 f(x)=2sin?3x- π ?,有下列命题:①其最小正周期为 π ;②其图像由 y 4 3 ? ? = 2sin3x 向左平移 3 ? π ? 个单位得到;③其表达式可写成 f(x) = 2cos ?3x+ π ? ;④在 x ∈ 4 ? 4 ?

?π , 5 π ?为单调增函数.则其中真命题为________. ?12 12 ? ? ?
2π 解析 由 T= ,故①正确; 3 3 ? π ? π? ? 将 y=2sin3x 的图像向左平移 个单位得到 y=2sin3?x+ ?=2sin?3x+ π ?, 故②不 4? 4 ? 4 ? ? 正确;

? ? ? ? y=2cos?3x+ π ?=2cos?-3x- π ? ?
3 4 ?

?

3 4 ?

=2sin?

?π -?-3x-3π ??=2sin?3x+5π ? ? ? ? 4 ? 4 ? ?? ? ?2 ? ?

5 3 ? ? ? ? =2sin?3x+ π -2π ?=2sin?3x- π ?,故③正确; 4 4 ? ? ? ? 当 π 5π π 3 π ?π 5 ? <x< 时,- <3x- π < ,故 f(x)在? , π ?上单调递增,故④正确. 12 12 2 4 2 ?12 12 ?

答案 ①③④ 三、解答题(本大题共 6 道题,共 75 分) 16.(12 分)化简: (1)sin420°cos330°+sin(-690°)?cos(-660°);

?π ? ?π sin? +α ?cos? -α 2 ? ? ?2 (2) cos?π +α ?


? sin?π -α ?cos?π +α ? ? ?2 ? ? ? ?
+ sin?π +α ?

.

(1)sin420°cos330° + sin( - 690°)?cos( - 660°) = sin60°cos30° +

sin30°cos60°=1. cosα sinα sinα ?-sinα ? (2)原式= + -cosα -sinα =-sinα +sinα =0. π 17.(12 分)已知扇形的圆心角 θ = ,它所对的弦长为 2,求扇形的弧长和面积. 3

5



π ∵扇形的圆心角 θ = (如图),∴△AOB 为等边三角形,∴R=AB=2,∴扇形的弧 3

π 2 长 l=Rθ =2? = π . 3 3

S 扇= Rl= ?2? π = π .

1 2

1 2

2 3

2 3

18.(12 分)如图,点 P 是半径为 r cm 的砂轮边缘上的一个质点, 它从初始位置 P0 开始, 按逆时针方向以角速度 ω rad/s 做匀速圆周运动,求点 P 的纵坐标 y 关于时间 t 的函数关 系式,并求点 P 的运动周期和频率. 解 当质点 P 从位置 P0 开始转动 t s 时,点 P 转过的角度为 ω t.设此时点 P 所在的位

置为 P′, 则∠P′Ox=ω t+φ .由任意角的三角函数得点 P 的纵坐标为 y=rsin(ω t+φ ), 此即为所求的函数关系式. 2π 1 ω 点 P 的运动周期为 T= ,频率为 f= = . ω T 2π

6

19.(13 分)如图所示,是函数 y=Asin(ω x+φ )+k(A>0,ω >0)的一段图像. (1)求此函数解析式; (2)分析该函数是如何通过 y=sinx 变换得来的? 1 ? 3? - -?- ? 2 ? 2? 1 解 (1)由图像知 A= = , 2 2 1 ? 3? - +?- ? 2 ? 2? k= =-1, 2

T=2??

?2π -π ?=π , 6? ? 3 ?
T

2π ∴ω = =2. 1 ∴y= sin(2x+φ )-1. 2 π π π π 当 x= 时,2? +φ = ,∴φ = . 6 6 2 6 π? 1 ? ∴所求函数解析式为 y= sin?2x+ ?-1. 6? 2 ? π ? π? (2)把 y=sinx 向左平移 个单位,得到 y=sin?x+ ?,然后纵坐标保持不变、横坐 6? 6 ? π? 1 1 ? 标缩短为原来的 ,得到 y=sin?2x+ ?,再横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 得到 y 6 2 2 ? ? π? 1 ? = sin?2x+ ?, 6? 2 ? π? π? 1 ? 1 ? 最后把函数 y= sin?2x+ ?的图像向下平移 1 个单位, 得到 y= sin?2x+ ?-1 的图 6? 6? 2 ? 2 ? 像.

? π 5π ? 2 20.(13 分)如果关于 x 的方程 sin x-(2+a)sinx+2a=0 在 x∈?- , ?上有两个 6 ? ? 6

7

实数根,求实数 a 的取值范围. 解 sin x-(2+a)sinx+2a=0,
2

即(sinx-2)(sinx-a)=0.

? π 5π ? ∵sinx-2≠0,∴sinx=a,即求在 x∈?- , ?上 sinx=a 有两根时 a 的范围. 6 ? ? 6
1 ? π 5π ? 由 y=sinx,x∈?- , ?与 y=a 的图像知 ≤a<1. 6 ? 2 ? 6

?1 ? 故实数 a 的取值范围是? ,1?. ?2 ?
21.(13 分)设函数 f(x)=sin(2x+φ )(-π <φ <0),f(x)图像的一条对称轴是直线 x π = , 8 (1) 求 φ ; (2) 求函数 y=f(x)的单调增区间; (3) 画出函数 y=f(x)在区间[0,π ]上的图像. 解 π (1)∵x= 是函数 y=f(x)的图像的对称轴, 8

? π ? ∴sin?2? +φ ?=±1. 8 ? ?
∴ π π π +φ =kπ + ,(k∈Z),φ =kπ + ,(k∈Z). 4 2 4

3π ∵-π <φ <0,∴φ =- . 4 3π ? 3π ? (2)由(1)知 φ =- ,∴y=sin?2x- ?. 4 ? 4 ? π 3π π 由题意得 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + (k∈Z), 2 4 2 π 5π ∴kπ + ≤x≤kπ + ,(k∈Z). 8 8 3π ? ? 即函数 y=sin?2x- ?的单调增区间为 4 ? ?

?kπ +π ,kπ +5π ?,(k∈Z). ? 8 8 ? ? ?
3π ? ? (3)由 y=sin?2x- ?知, 4 ? ?

x

0

π 8

3π 8

5π 8

7π 8

π

8

y



2 2

-1

0

1

0



2 2

故函数 y=f(x)在区间[0,π ]上图像是

9


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