当前位置:首页 >> 数学 >>

甘肃省河西五地市2015届高三第一次联考数学理试题


甘肃省河西五地市 2015 届高三第一次联考 数学(理) 试卷
一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1.设集合 M={x|x +3x+2<0},集合
2

,则 M∪N=(



A. {x|x≥﹣2} B. {

x|x>﹣1} C. {x|x<﹣1} D. {x|x≤﹣2} 2 解:∵集合 M={x|x +3x+2<0}={x|﹣2<x<﹣1}, 集合 ∴M∪N={x|x≥﹣2}, 故选 A. 2.下面是关于复数 的四个命题: ={x|2 ≤2 }={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2},
﹣x

2

p1:|z|=2, 2 p2:z =2i, p3:z 的共轭复数为﹣1+i, p4:z 的虚部为 1. 其中真命题为( ) A. p2,p3 B. p1,p2 解:p1:|z|= p2:z =
2

C. p2,p4

D. p3,p4

= =

,故命题为假; =2i,故命题为真;

,∴z 的共轭复数为 1﹣i,故命题 p3 为假; ∵ ,∴p4:z 的虚部为 1,故命题为真.

故真命题为 p2,p4 故选 B. 3.已知平面向量 与 的夹角为 A. 1 B. C. 3 D. 2
2

,且| |=1,| +2 |=2

,则| |=(



解:由已知,| +2 | =12,即

,所以| | +4| || |× +4=12,所以| |=2;

2

故选 D. 4.下列推断错误的是( ) 2 2 A. 命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1 则 x ﹣3x+2≠0” 2 2 B. 命题 p:存在 x0∈R,使得 x0 +x0+1<0,则非 p:任意 x∈R,都有 x +x+1≥0 C. 若 p 且 q 为假命题,则 p,q 均为假命题 2 D. “x<1”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条件

-1-

解:对于 A,命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1 则 x ﹣3x+2≠0”,正确; 2 2 对于 B,命题 p:存在 x0∈R,使得 x0 +x0+1<0,则非 p:任意 x∈R,都有 x +x+1≥0,正确; 对于 C,若 p 且 q 为假命题,则 p,q 至少有一个为假命题,故 C 错误; 2 2 对于 D,x ﹣3x+2>0?x>2 或 x<1,故“x<1”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条件,正确. 综上所述,错误的选项为:C, 故选:C. 5.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积 为( )

2

2

A. B. C. D. 6 解:此几何体为一个三棱柱,棱柱的高是 4,底面正三角形的高是 设底面边长为 a,则 故三棱柱体积 ,∴a=6, .



故选 B 6.等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前 8 项和等于( A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 解:∵数列{an}是等比数列,a4=2,a5=5, ∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10. ∴lga1+lga2+…+lga8 =lg(a1a2?…?a8) = 4lg10 =4. 故选:C.



7.若实数 x、y 满足不等式组

则 z=|x|+2y 的最大值是(



A. 10 B. 11 C. 13 D. 14

解:由约束条件

作出可行域如图,

-2-

当 x≥0 时,z=|x|+2y 化为 y=﹣ x+ z,表示的是斜率为﹣ ,截距为 的平行直线系, 当过点(1,5)时,直线在 y 轴上的截距最大,z 最大,zmax=1+2×5=11; 当 x<0 时,z=|x|+2y 化为 ,表示斜率为 ,截距为 ,的平行直线系,

当直线过点(﹣4,5)时直线在 y 轴上的截距最大,z 最大,zmax=4+2×5=14. ∴z=|x|+2y 的最大值是 14. 故选:D. 8.抛物线 x = y 在第一象限内图象上一点(ai,2ai )处的切线与 x 轴交点的横坐标记为 ai+1, 其中 i∈N ,若 a2=32,则 a2+a4+a6 等于( A. 64 B. 42 C. 32 D. 21 2 解:∵y=2x (x>0) , ∴y′ =4x,
2 2 * 2 2



∴x = y 在第一象限内图象上一点(ai,2ai )处的切线方程是:y﹣2ai =4ai(x﹣ai) , 整理,得 4aix﹣y﹣2ai =0, ∵切线与 x 轴交点的横坐标为 ai+1, ∴ai+1= ai, ∴{a2k}是首项为 a2=32,公比 q= 的等比数列, ∴a2+a4+a6=32+8+2=42. 故选:B. 9.定义行列式运算: .若将函数 的图象 )
2

2

向左平移 m(m>0)个单位后,所得图象对应的函数为奇函数,则 m 的最小值是( A. 解:f(x)= B. C. D. ) ,图象向左平移 m(m>0)个单位,

sinx﹣cosx= sin(x﹣ ) ,

得 f(x+m)= sin(x+m﹣

-3-

则由 m﹣

=kπ,可解得 m=k

,k∈Z,

则当 m 取得最小值 故选:A.

时,函数为奇函数.

10.设 k 是一个正整数, (1+ ) 的展开式中第四项的系数为

k

,记函数 y=x 与 y=kx 的图

2

象所围成的阴影部分为 S,任取 x∈[0,4],y∈[0,16],则点(x,y)恰好落在阴影区域内的 概率为( )

A.

B.

C.

D. ,

解:根据题意得 解得:k=4 或 k= (舍去)

解方程组 解得:x=0 或 4



∴阴影部分的面积为

=



任取 x∈[0,4],y∈[0,16],则点(x,y)对应 区域面积为 4×16=64, 由几何概型概率求法得点(x,y)恰好落在阴影区域内的概率为 故选 C. 11.已知 F2、F1 是双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的上、下焦点,点 F2 关于渐近线的对称 ) ;

点恰好落在以 F1 为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为( A. 3 B. C. 2 D. 解:由题意,F1(0,﹣c) ,F2(0,c) , 一条渐近线方程为 y= x,则 F2 到渐近线的距离为 设 F2 关于渐近线的对称点为 M,F2M 与渐近线交于 A, ∴|MF2|=2b,A 为 F2M 的中点, 又 0 是 F1F2 的中点,∴OA∥F1M,∴∠F1MF2 为直角, ∴△MF1F2 为直角三角形, =b.

-4-

∴由勾股定理得 4c =c +4b 2 2 2 2 2 ∴3c =4(c ﹣a ) ,∴c =4a , ∴c=2a,∴e=2. 故选 C.

2

2

2

12 已知实数 a,b,c,d 满足 ﹣d) 的最小值为( ) A. 4 B. 8 C. 12 D. 18 解:∵实数 a,b,c,d 满足
x 2

=

=1,其中 e 是自然对数的底数,则(a﹣c) +(b

2

=

=1,∴b=a﹣2e ,d=2﹣c,

a

∴点(a,b)在曲线 y=x﹣2e 上,点(c,d)在曲线 y=2﹣x 上, 2 2 x (a﹣c) +(b﹣d) 的几何意义就是曲线 y=x﹣2e 到曲线 y=2﹣x 上点的距离最小值的平方. x 考查曲线 y=x﹣2e 平行于直线 y=2﹣x 的切线, x x ∵y′ =1﹣2e ,令 y′ =1﹣2e =﹣1, 解得 x=0,∴切点为(0,﹣2) , 该切点到直线 y=2﹣x 的距离 d=
2 2 2

=2

就是所要求的两曲线间的最小距离,

故(a﹣c) +(b﹣d) 的最小值为 d =8. 故选:B. 二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答案填写在各小题的横线 上.) 13. (5 分)定义某种运算?,S=a?b 的运算原理如图;则式子 5?3+2?4= 14 .

解:有框图知 S=a?b= ∴5?3+2?4=5×(3﹣1)+4×(2﹣1)=14 故答案为 14 14. (5 分)正四棱锥 P﹣ABCD 的五个顶点在同一球面上,若该正四棱锥的底面边长为 4,侧 棱长为 ,则这个球的表面积为 36π . 解:正四棱锥 P﹣ABCD 的外接球的球心在它的高 PO1 上, 记为 O,PO=AO=R,PO1=4,OO1=R﹣4,或 OO1=4﹣R(此时 O 在 PO1 的延长线上) , 2 2 在 Rt△AO1O 中,R =8+(R﹣4) 得 R=3,∴球的表面积 S=36π

-5-

故答案为:36π

15.从某校数学竞赛小组的 10 名成员中选 3 人参加省级数学竞赛,则甲、乙 2 人至少有 1 人 入选,而丙没有入选的不同选法的种数为 49 (用数字作答) . 3 :丙没有入选相当于从 9 人中选 3 人,共有选法 C9 =84, 3 甲、乙都没入选相当于从 7 人中选 3 人共有 C7 =35, ∴满足条件的事件数是 84﹣35=49, 故答案为:49. 2 2 16. (5 分)在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的方程为 x +y ﹣8x+15=0,若直线 y=kx+2 上至 少存在一点,使得以该点为圆心,半径为 1 的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最小值是 ﹣
2 2 2 2



解:圆 C 的方程为 x +y ﹣8x+15=0 即 圆 C 的方程为(x﹣4) +y =1,即圆 C 是以(4,0) 为圆心,1 为半径的圆; 又直线 y=kx+2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点, ∴只需圆 C′ : (x﹣4) +y =4 与直线 y=kx+2 有公共点即可. 设圆心 C(4,0)到直线 y=kx+2 的距离为 d,则 d= ≤2,即 3k ≤﹣4k,
2 2 2

求得﹣ ≤k≤0,故 k 的最小值是﹣ , 故答案为: .

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明或演算步骤.) 17. (12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bcosC=3acosB﹣ccosB. (Ⅰ)求 cosB 的值; (Ⅱ)若 ,且 ,求 a 和 c 的值.

解: (I)由正弦定理得 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 则 2RsinBcosC=6RsinAcosB﹣2RsinCcosB, 故 sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB, 可得 sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB, 即 sin(B+C)=3sinAcosB, 可得 sinA=3sinAcosB.又 sinA≠0, 因此 (II)解:由 . (6 分) ,可得 accosB=2,

-6-

, 由 b =a +c ﹣2accosB, 2 2 可得 a +c =12, 2 所以(a﹣c) =0,即 a=c, 所以 . (13 分) 18.甲、乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对 方多 2 分或下满 6 局时停止. 设甲在每局中获胜的概率为 p (p> ) , 且各局胜负相互独立. 已 知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 . (1)求 p 的值; (2)设 ξ 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 ξ 的分布列和数学期望 Eξ. 解: (1)当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时, 第二局比赛结束时比赛停止,故 解得 (2)依题意知 ξ 的所有可能取值为 2,4,6, 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为 , 若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分, 此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响,从而有 ,
2 2 2

, 则随机变量 ξ 的分布列为:





19.己知斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形,侧面 A1ACC1 为菱形,∠ A1AC=60°,平面 A1ACC1⊥平面 ABC,N 是 CC1 的中点. (I)求证:A1C⊥BN; (Ⅱ)求二面角 B﹣A1N﹣C 的余弦值.

-7-

(Ⅰ)证明:取 AC 的中点 O,连结 BO,A1O,由题意知 BO⊥AC,A1O⊥AC. 又因为 平面 A1ACC1⊥平面 ABC,所以 A1O⊥平面 ABC 以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz.…(2 分) 则 O(0,0,0) , 0) , 因为 . , , …(4 分) ,所以 A1C⊥BN…(6 分) ,C(0,1,

(Ⅱ)解:取 AC 的中点 O,连结 BO,A1O,由题意知 BO⊥AC,A1O⊥AC. 又因为 平面 A1ACC1⊥平面 ABC,所以 A1O⊥平面 ABC 以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz.…(7 分) 则 O(0,0,0) , , , . , ,

设平面 A1BN 的法向量为 n1=(x,y,z) ,则



令 x=1.所以

.…(9 分)

又平面 A1NC 的法向量 n2=(1,0,0)…(10 分) 设二面角 B﹣A1N﹣C 的平面角为 θ,则 .…(12 分)

20. (12 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1,F2,且|F1F2|=2, 点(1, )在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且△AF2B 的面积为 且与直线 l 相切的圆的方程. 解: (Ⅰ)设椭圆的方程为 ,由题意可得: ,求以 F2 为圆心

-8-

椭圆 C 两焦点坐标分别为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) . ∴ ∴a=2,又 c=1,b =4﹣1=3, 故椭圆的方程为 .
2



(Ⅱ)当直线 l⊥x 轴,计算得到: , 意. 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为:y=k(x+1) ,
2 2 2 2

,不符合题



,消去 y 得(3+4k )x +8k x+4k ﹣12=0

显然△>0 成立,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 又 ,





又圆 F2 的半径



所以 化简,得 17k +k ﹣18=0, 2 2 即(k ﹣1) (17k +18)=0,解得 k=±1 所以, ,
2 2 4 2



故圆 F2 的方程为: (x﹣1) +y =2. 21. (12 分)已知函数 (1)当 时,求 f(x)的单调递减区间;

-9-

(2)若当 x>0 时,f(x)>1 恒成立,求 a 的取值范围; (3)求证: .

1)解:当

时,

(x>﹣1)

令 f′ (x)<0,可得 (2)解:由

,∴f(x)的单调递减区间为 得 a>(x+2)﹣(x+2)ln(x+1)

…(4 分)

记g (x) = (x+2) [1﹣ln (x+1) ], 则 当 x>0 时 g′ (x)<0,∴g(x)在(0,+∞)递减 又 g(0)=2?[1﹣ln1]=2,∴g(x)<2(x>0) ,∴a≥2…(8 分) (3)证明:由(Ⅱ)知 ∴ (x>0)





,即



…(12 分)

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分) 如图所示, PA 为圆 O 的切线, A 为切点, PO 交圆 O 于 B, C 两点, PA=20, PB=10, ∠BAC 的角平分线与 BC 和圆 O 分别交于点 D 和 E. (Ⅰ)求证 AB?PC=PA?AC (Ⅱ)求 AD?AE 的值.

(1)证明:∵PA 为圆 O 的切线, ∴∠PAB=∠ACP,又∠P 为公共角, ∴△PAB∽△PCA, ∴ ,

∴AB?PC=PA?AC.…(4 分) (2)解:∵PA 为圆 O 的切线,BC 是过点 O 的割线, 2 ∴PA =PB?PC, ∴PC=40,BC=30,

- 10 -

又∵∠CAB=90°,∴AC +AB =BC =900, 又由(1)知 ,

2

2

2

∴AC=12 ,AB=6 , 连接 EC,则∠CAE=∠EAB, ∴△ACE∽△ADB,∴ ∴ , . (10 分)

23. (选修 4-4: 坐标系与参数方程) 在直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的参数方程 为参数) .以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ) 直线 l 的极坐标方程是 P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. 解: (I) 利用 cos φ+sin φ=1, 把圆 C 的参数方程 ∴ρ ﹣2ρcosθ=0,即 ρ=2cosθ.
2 2 2

, 射线 OM: θ=

与圆 C 的交点为 O、

为参数) 化为 (x﹣1)+y =1,

2

2

(II)设(ρ1,θ1)为点 P 的极坐标,由

,解得



设(ρ2,θ2)为点 Q 的极坐标,由

,解得



∵θ1=θ2,∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2. ∴|PQ|=2. 24. (选修 4-5:不等式选讲)已知函数 f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a (Ⅰ)当 a=0 时,解不等式 f(x)≥g(x) ; (Ⅱ)若存在 x∈R,使得 f(x)≤g(x)成立,求实数 a 的取值范围. 2 解: (Ⅰ)当 a=0 时,由 f(x)≥g(x)得|2x+1|≥x,两边平方整理得 3x +4x+1≥0, 解得 x≤﹣1 或 x≥﹣ ∴原不等式的解集为 (﹣∞,﹣1]∪[﹣ ,+∞)

- 11 -

(Ⅱ)由 f(x)≤g(x) 得 a≥|2x+1|﹣|x|,令 h(x)=|2x+1|﹣|x|,即 h(x)

=



故 h(x)min=h(﹣ )=﹣ ,故可得到所求实数 a 的范围为(﹣ ,+∞) .

- 12 -


相关文章:
甘肃省河西五地市2015届高三第一次联考数学(理)+试卷
甘肃省河西五地市2015届高三第一次联考数学(理)+试卷_数学_高中教育_教育专区。甘肃省河西五地市 2015 届高三第一次联考 数学(理) 试卷一.选择题(本大题共 ...
甘肃省河西五地市2015届高三第一次联考数学文
甘肃省河西五地市2015届高三第一次联考数学文_数学_高中教育_教育专区。甘肃省河西五地市 2015 届高三第一次联 考 数学(文) 试卷一、选择题:本大题共 12 小...
甘肃省河西五地市2015届高三第一次联考数学理试题 Word版含答案
暂无评价|0人阅读|0次下载 甘肃省河西五地市2015届高三第一次联考数学理试题 Word版含答案_高中教育_教育专区。2015 年 2 月甘肃省部分普通高中高三第一次联考...
甘肃省河西五市地市2015届高三数学第一次联考试题 理(扫描版)
暂无评价|0人阅读|0次下载 甘肃省河西五地市2015届高三数学第一次联考试题 理(扫描版)_数学_高中教育_教育专区。甘肃省河西五地市 2015 届高三数学第一次...
甘肃省河西五地市2015届高三第一次联考数学理试题 扫描版无答案
甘肃省河西五地市2015届高三第一次联考数学理试题 扫描版无答案_数学_高中教育_教育专区。-1- -2- -3- -4- -1- -2- -3- -4- ...
甘肃省河西五地市2015届高三第一次联考数学理试题 扫描版无答案
甘肃省河西五地市2015届高三第一次联考数学理试题 扫描版无答案_高中教育_教育专区。 今日推荐 81份文档 笑话大全集 笑话大全爆笑版 幽默笑话大全 全球冷笑话精选...
【名师解析】甘肃省河西五地市2015届高三第一次联考数学(理) 试卷
【名师解析】甘肃省河西五地市2015届高三第一次联考数学(理) 试卷_高中教育_教育专区。甘肃省河西五地市 2015 届高三第一次联考 数学(理) 试卷一.选择题(本大...
甘肃省河西五地市2015届高三第一次联考数学文试题 Word版含答案)
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 甘肃省河西五地市2015届高三第一次联考数学试题 Word版含答案)_数学_高中教育_教育专区。2015 年 2 月甘肃省部分普通高中...
甘肃省河西五地市2015届第一次联考 (理科) 数学 试卷
甘肃省河西五地市2015届第一次联考 (理科) 数学 试卷_数学_高中教育_教育专区。甘肃省河西五地市2015届第一次联考 (理科) 数学 试卷第...
更多相关标签:
甘肃省第一次代表会议 | 甘肃省第一次代表大会 | 甘肃省联考 | 甘肃省河西走廊地图 | 甘肃省美术联考 | 甘肃省金昌市河西堡镇 | 甘肃省美术联考时间 | 甘肃省美术联考高分卷 |