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7二次函数与幂函数


2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/7/5

课题:二次函数与幂函数
一、考点梳理: 1.五种常见幂函数的图像与性质 函数 特征 性质 图像 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(

a≠0); (2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0); (3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 3.二次函数的图像和性质 a>0 图像 定义域 值域 x∈R a<0 R R 奇 增 R {y|y≥0} 偶 (-∞,0]减, (0,+∞)增 R R 奇 增 (1,1) {x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非偶 增 {x|x≠0} {y|y≠0} 奇 (-∞,0)和 (0,+∞)减 y=x y=x2 y=x3 y=x
1 2

y=x

-1

?4ac-b ,+∞? ? 4a ?
b? ? b ? 在? ?-∞,-2a?上递减,在?-2a,+∞?上递增 b=0 时为偶函数,b≠0 时既不是奇函数也不是偶函数
2 b b 4ac-b ? ①对称轴:x=- ;②顶点:?- , 2a 4a ? ? 2a

2

?-∞,4ac-b ? 4a ? ?
b? 在? ?-∞,-2a?上递增, b ? 在? ?-2a,+∞?上递减

2

单调性

奇偶性 图像特点

二、基础自测: 1.若 f(x)既是幂函数又是二次函数,则 f(x)可以是( A.f(x)=x2-1 B.f(x)=5x2 ) D.f(x)=x2 C.f(x)=-x2

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备课日期:2015/7/5

2.已知函数 f(x)=ax2+x+5 的图像在 x 轴上方,则 a 的取值范围是( 1 0, ? A.? ? 20? 1 -∞,- ? B.? 20? ? 1 ? C.? ?20,+∞?

) 1 - ,0? D.? ? 20 ? )

3.二次函数 y=-x2+4x+t 的图像的顶点在 x 轴上,则 t 的值是( A.-4 B.4 C.-2 D.2 三、考点突破: 考点一、幂函数的图像与性质 【例 1】1.幂函数 y=f(x)的图像过点(4,2),则幂函数 y=f(x)的图像是(

)

1 2.图中曲线是幂函数 y=xα 在第一象限的图像.已知 n 取± 2,± 四个值,则相应于曲线 C1,C2,C3,C4 的 α 值依 2 次为________.

考点二、求二次函数的解析式 【例 2】1.已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是 8,试确定此二次函数的解析式.

2.如果函数 f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图像关于直线 x=1 对称,则函数 f(x)的最小值为________.

考点三、二次函数的图像与性质 【例 3】角度一 轴定区间定求最值 1.已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6],当 a=-2 时,求 f(x)的最值.

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角度二 轴动区间定求最值 2.已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2,求 a 的值.

角度三 轴定区间动求最值 3.设函数 y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为 g(a),求 g(a).

四、当堂检测 1.下面给出 4 个幂函数的图像,则图像与函数的大致对应是( )

1

1
-1

1

A.①y=x 3 ,②y=x2,③y=x 2 ,④y=x C.①y=x ,②y=x ,③y=x ,④y=x
2 3
1 2

B.①y=x3,②y=x2,③y=x 2 ,④y=x
1 3 1 2

-1

-1

D.①y=x ,②y=x ,③y=x2,④y=x

-1

2.(2013· 张家口模拟)已知函数 h(x)=4x2-kx-8 在[5,20]上是单调函数,则 k 的取值范围是( A.(-∞,40] B.[160,+∞) C.(-∞,40]∪[160,+∞) D.?

)

3.二次函数的图像过点(0,1),对称轴为 x=2,最小值为-1,则它的解析式为________. 4.若二次函数 f(x)=ax2-4x+c 的值域为[0,+∞),则 a,c 满足的条件是________. 5.已知函数 f(x)=(m2-m-1)x
-5m-3

,m 为何值时,f(x)是幂函数,且在(0,+∞)上是增函数?

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五、课后巩固:
1

1.(2014· 济南模拟)函数 y=x-x 3 的图像大致为(

)

2.已知二次函数的图像如图所示,那么此函数的解析式可能是( A.y=-x2+2x+1
1 2

) D.y=x2+2x+1

B.y=-x2-2x-1

C.y=-x2-2x+1 )

3.已知函数 f(x)=x ,若 0<a<b<1,则下列各式中正确的是( 1? ?1? A.f(a)<f(b)<f? ?a?<f?b? 1? ?1? B.f? ?a?<f?b?<f(b)<f(a)

1? ?1? C.f(a)<f(b)<f? ?b?<f?a?

1? ?1? D.f? ?a?<f(a)<f?b?<f(b) )

4.(2013· 浙江高考)已知 a,b,c∈R,函数 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1),则( A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0

D.a<0,2a+b=0

5.关于 x 的二次方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0 的两根异号,且负根的绝对值比正根大,那么实数 m 的取值范 围是( ) B.0<m<3 C.m<-3 或 m>0 D.m<0 或 m>3

A.-3<m<0

6.“a=1”是“函数 f(x)=x2-4ax+3 在区间[2,+∞)上为增函数”的________条件. 7.(2014· 中山一模)若函数 f(x)=x2-ax-a 在区间[0,2]上的最大值为 1,则实数 a 等于________. 8.已知函数 f(x)=x2+bx+1 是 R 上的偶函数,则实数 b=________,不等式 f(x-1)<x 的解集为________. 9.已知幂函数 f(x)=x 的取值范围.
( m2+m )-1

(m∈N*),经过点(2, 2),试确定 m 的值,并求满足条件 f(2-a)>f(a-1)的实数 a

10.已知函数 f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若 f(x)在区间[2,3]上有最大值 5,最小值 2. (1)求 a,b 的值;(2)若 b<1,g(x)=f(x)-mx 在[2,4]上单调,求 m 的取值范围.

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课题:二次函数与幂函数
一、考点梳理: 1.五种常见幂函数的图像与性质 函数 特征 性质 图像 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0);(3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 3.二次函数的图像和性质 a>0 图像 定义域 值域 x∈R a<0 R R 奇 增 R {y|y≥0} 偶 (-∞,0]减, (0,+∞)增 R R 奇 增 (1,1) {x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非偶 增 {x|x≠0} {y|y≠0} 奇 (-∞,0)和 (0,+∞)减 y=x y=x2 y=x3 y=x
1 2

y=x

-1

?4ac-b ,+∞? ? 4a ?
b b -∞,- ?上递减,在?- ,+∞?上递增 在? 2 a 2 ? ? ? a ? b=0 时为偶函数,b≠0 时既不是奇函数也不是偶函数
2 b b 4ac-b ? ①对称轴:x=- ;②顶点:?- , 2a 4a ? ? 2a

2

?-∞,4ac-b ? 4a ? ?
b -∞,- ?上递增, 在? 2 a? ? b ? 在? ?-2a,+∞?上递减

2

单调性

奇偶性

图像特点

二、基础自测: 1.若 f(x)既是幂函数又是二次函数,则 f(x)可以是( A.f(x)=x2-1 B.f(x)=5x2 ) D.f(x)=x2 ) 答案:D C.f(x)=-x2

2.已知函数 f(x)=ax2+x+5 的图像在 x 轴上方,则 a 的取值范围是(

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1 0, ? A.? ? 20?

1 -∞,- ? B.? 20? ?
? ?a>0, 即? ?1-20a<0 ?

1 ? C.? ?20,+∞? 1 得 a> . 20

1 - ,0? D.? ? 20 ?

? ?a>0, 解析:选 C 由题意知? ?Δ<0, ?

3.如果函数 f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图像关于直线 x=1 对称,则函数 f(x)的最小值为________. a+2 ? ?a=-4, ?- =1, ? 2 解析:由题意知? 得? 则 f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5≥5. ? b = 6. ? ? ?a+b=2, 三、考点突破: 考点一、幂函数的图像与性质 【例 1】1.幂函数 y=f(x)的图像过点(4,2),则幂函数 y=f(x)的图像是( )

答案:5

1 1 解析:选 C 令 f(x)=xα,则 4α=2,∴α= ,∴f(x)=x . 2 2 1 2.图中曲线是幂函数 y=xα 在第一象限的图像.已知 n 取± 2,± 2 四个值,则相应于曲线 C1,C2,C3,C4 的 α 值依次为________. 1 1 答案:2, ,- ,-2 2 2 3? 5 ?2? 5 ,c=?2? 5 ,则 a,b,c 的大小关系是________. 3.设 a=? , b = 5 ? ? ?5? ?5? 2?x 解析:∵y=x 5 (x>0)为增函数,∴a>c.∵y=? ?5? (x∈R)为减函数,∴c>b,∴a>c>b. 考点二、求二次函数的解析式 【例 2】已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是 8,试确定此二次函数的解析式. 4a+2b+c=-1, ? ?a-b+c=-1, 法一(利用一般式):设 f(x)=ax +bx+c(a≠0).由题意得? b =8, ?4ac4- ? a
2 2
2 2 3 2

答案:a>c>b

[解]

a=-4, ? ? 解得?b=4, ? ?c=7.

∴所求二次函数为 f(x)=-4x2+4x+7. 2+?-1? 1 1 法二(利用顶点式):设 f(x)=a(x-m)2+n.∵f(2)=f(-1),∴抛物线的对称轴为 x= = .∴m= .又根据题 2 2 2 1?2 ? 1?2 意函数有最大值 8,∴n=8.∴y=f(x)=a? ?x-2? +8.∵f(2)=-1,∴a?2-2? +8=-1,解得 a=-4,∴f(x)=- 1?2 2 4? ?x-2? +8=-4x +4x+7. 法三(利用零点式):由已知 f(x)+1=0 两根为 x1=2,x2=-1,故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1),即 f(x)=ax2-ax 4a?-2a-1?-a2 -2a-1.又函数有最大值 ymax=8,即 =8.解得 a=-4 或 a=0(舍).∴所求函数的解析式为 f(x) 4a =-4x2+4x+7.

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根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,规律如下:

考点三、二次函数的图像与性质 【例 3】角度一 轴定区间定求最值 1.已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6],当 a=-2 时,求 f(x)的最值. 解:当 a=-2 时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于 x∈[-4,6],∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递 增,∴f(x)的最小值是 f(2)=-1,又 f(-4)=35,f(6)=15,故 f(x)的最大值是 35. 角度二 轴动区间定求最值 2.已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2,求 a 的值. 解:函数 f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1,对称轴方程为 x=a. (1)当 a<0 时,f(x)max=f(0)=1-a,∴1-a=2,∴a=-1. 1± 5 (2)当 0≤a≤1 时,f(x)max=a2-a+1,∴a2-a+1=2,∴a2-a-1=0,∴a= (舍). 2 (3)当 a>1 时,f(x)max=f(1)=a,∴a=2. 角度三 轴定区间动求最值 3.设函数 y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为 g(a),求 g(a). 解:∵函数 y=x2-2x=(x-1)2-1,∴对称轴为直线 x=1,∵x=1 不一定在区间[-2,a]内,∴应进行讨论. 当-2<a≤1 时,函数在[-2,a]上单调递减,则当 x=a 时,y 取得最小值,即 ymin=a2-2a; 当 a>1 时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当 x=1 时,y 取得最小值,即 ymin=-1.
2 ? ?a -2a,-2<a≤1, 综上,g(a)=? ?-1,a>1. ?

综上可知,a=-1 或 a=2.

四、当堂检测 1.下面给出 4 个幂函数的图像,则图像与函数的大致对应是( )

1

1
-1

1

A.①y=x 3 ,②y=x2,③y=x 2 ,④y=x
1

B.①y=x3,②y=x2,③y=x 2 ,④y=x
1 1

-1

C.①y=x2,②y=x3,③y=x 2 ,④y=x

-1

D.①y=x 3 ,②y=x 2 ,③y=x2,④y=x

-1

解析:选 B 图像①对应的幂函数的幂指数必然大于 1,排除 A,D.图像②中幂函数是偶函数,幂指数必为正偶 数,排除 C.故选 B.

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2.(2013· 张家口模拟)已知函数 h(x)=4x2-kx-8 在[5,20]上是单调函数,则 k 的取值范围是( A.(-∞,40] B.[160,+∞) C.(-∞,40]∪[160,+∞) D.?

)

k k k 解析: 选 C 函数 h(x)的对称轴为 x= , 要使 h(x)在[5,20]上是单调函数, 应有 ≤5 或 ≥20, 即 k≤40 或 k≥160, 8 8 8 3.二次函数的图像过点(0,1),对称轴为 x=2,最小值为-1,则它的解析式为________. 1 1 解析:依题意可设 f(x)=a(x-2)2-1,又其图像过点(0,1),∴4a-1=1,∴a= .∴f(x)= (x-2)2-1. 2 2 4.若二次函数 f(x)=ax2-4x+c 的值域为[0,+∞),则 a,c 满足的条件是________. a>0, ? ?a>0, ? ? 解析:由已知得?4ac-16 ?? 答案:a>0,ac=4 ?ac-4=0. ? =0, ? ? 4a 5.已知函数 f(x)=(m2-m-1)x 解:∵函数 f(x)=(m -m-1)x
2
-5m-3

,m 为何值时,f(x)是幂函数,且在(0,+∞)上是增函数?

-5m-3

是幂函数,∴m2-m-1=1,解得 m=2 或 m=-1.
-13

当 m=2 时,-5m-3=-13,函数 y=x

在(0,+∞)上是减函数;

当 m=-1 时,-5m-3=2,函数 y=x2 在(0,+∞)上是增函数.∴m=-1. 五、课后巩固: 1.(2014· 济南模拟)函数 y=x-x 的图像大致为(
1 3

)

1

1

解析:选 A 函数 y=x-x 3 为奇函数.当 x>0 时,由 x-x 3 >0,即 x3>x 可得 x2>1,即 x>1,结合选项,选 A. 2.已知二次函数的图像如图所示,那么此函数的解析式可能是( A.y=-x2+2x+1 B.y=-x2-2x-1 C.y=-x2-2x+1 D.y=x2+2x+1 解析:选 C 设二次函数的解析式为 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由题图像得:a<0,b<0,c>0.选 C.
1

)

3.已知函数 f(x)=x 2 ,若 0<a<b<1,则下列各式中正确的是( 1? ?1? A.f(a)<f(b)<f? ?a?<f?b? 1? ?1? B.f? ?a?<f?b?<f(b)<f(a)
1

) 1? ?1? D.f? ?a?<f(a)<f?b?<f(b)

1? ?1? C.f(a)<f(b)<f? ?b?<f?a?

1? ?1? 1 1 解析:选 C 因为函数 f(x)=x 2 在(0,+∞)上是增函数,又 0<a<b< < ,故 f(a)<f(b)<f? ?b?<f?a?. b a 4.(2013· 浙江高考)已知 a,b,c∈R,函数 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1),则( A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 )

D.a<0,2a+b=0

b 解析: 选 A 由 f(0)=f(4)得 f(x)=ax2+bx+c 的对称轴为 x=- =2, ∴4a+b=0, 又 f(0)>f(1), ∴f(x)先减后增, 2a 于是 a>0. 5.关于 x 的二次方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0 的两根异号,且负根的绝对值比正根大,那么实数 m 的取值范 围是( )

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A.-3<m<0

B.0<m<3

C.m<-3 或 m>0

D.m<0 或 m>3 ① 由①②③得-3<m<0,故选 A.

?x +x = 4m <0, m+3 解析:由题意知? 2m-1 ?x ·x = m+3 <0,
1 2 1 2

Δ=16m2-4?m+3??2m-1?>0, ② ③

6.“a=1”是“函数 f(x)=x2-4ax+3 在区间[2,+∞)上为增函数”的________条件. -4a 解析:函数 f(x)=x2-4ax+3 在区间[2,+∞)上为增函数,则满足对称轴- =2a≤2,即 a≤1,所以“a=1” 2 是“函数 f(x)=x2-4ax+3 在区间[2,+∞)上为增函数”的充分不必要条件.答案:充分不必要 7.(2014· 中山一模)若函数 f(x)=x2-ax-a 在区间[0,2]上的最大值为 1,则实数 a 等于________. 解析:函数 f(x)=x2-ax-a 的图像为开口向上的抛物线,∴函数的最大值在区间的端点取得,∵f(0)=-a,f(2)
? ? ?-a>4-3a, ?-a≤4-3a, =4-3a,∴? 或? 解得 a=1.答案:1 ?-a=1 ? ? ?4-3a=1,

8.已知函数 f(x)=x2+bx+1 是 R 上的偶函数,则实数 b=________,不等式 f(x-1)<x 的解集为________. 解析:因为 f(x)=x2+bx+1 是 R 上的偶函数,所以 b=0,则 f(x)=x2+1,解不等式(x-1)2+1<x,即 x2-3x+2<0 得 1<x<2.答案:0 {x|1<x<2} 9.已知幂函数 f(x)=x 的取值范围. 解:∵幂函数 f(x)经过点(2, 2),∴ 2=2
1

( m2+m )-1

(m∈N*),经过点(2, 2),试确定 m 的值,并求满足条件 f(2-a)>f(a-1)的实数 a

( m2+m )-1

,即 2 =2

1 2

( m2+m )-1

.∴m2+m=2.解得 m=1 或 m=-2.

又∵m∈N*,∴m=1.∴f(x)=x 2 ,则函数的定义域为[0,+∞),并且在定义域上为增函数.由 f(2-a)>f(a-1) 2-a≥0, ? ? 3? 3 得?a-1≥0, 解得 1≤a< . ∴a 的取值范围为? ?1,2?. 2 ? ?2-a>a-1, 10.已知函数 f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若 f(x)在区间[2,3]上有最大值 5,最小值 2. (1)求 a,b 的值;(2)若 b<1,g(x)=f(x)-mx 在[2,4]上单调,求 m 的取值范围. 解:(1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a.
? ? ?f?3?=5, ?9a-6a+2+b=5, 当 a>0 时,f(x)在[2,3]上为增函数,故? ?? ? ?f?2?=2, ? ? ?4a-4a+2+b=2,

? ? ? ? ?a=1, ?f?3?=2, ?9a-6a+2+b=2, ?a=-1, ? 当 a<0 时,f(x)在[2,3]上为减函数,故? ?? ?? ?b=0. ?f?2?=5, ? ? ? ? ?4a-4a+2+b=5, ?b=3.

2+m (2)∵b<1, ∴a=1, b=0, 即 f(x)=x2-2x+2.g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2, ∵g(x)在[2,4]上单调, ∴ 2 m+2 ≤2 或 ≥4.∴m≤2 或 m≥6. 故 m 的取值范围为(-∞,2]∪[6,+∞). 2

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