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【步步高】2014-2015学年高中数学 第二章 2.2等差数列(一)导学案新人教A版必修5


§2.2
课时目标 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式.

等差数列(一)

1.如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个 数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示. a+b 2.若三个数 a,A,b 构成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,并且 A= . 2 3.若等差数列的首项为 a1,公差为 d,则其通项 an=a1+(n-1)d. 4.等差数列{an}中,若公差 d>0,则数列{an}为递增数列;若公差 d<0,则数列{an}为 递减数列.

一、选择题 1.已知等差数列{an}的通项公式 an=3-2n,则它的公差 d 为( A.2 B.3 C.-2 D.-3 答案 C 2.△ABC 中,三内角 A、B、C 成等差数列,则角 B 等于( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 答案 B * 3.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1(n∈N ),则 a101 的值为( A.49 B.50 C.51 D.52 答案 D 4.一个等差数列的前 4 项是 a,x,b,2x,则 等于( 1 4 1 C. 3 答案 C A. 1 B. 2 2 D. 3

)

)

a b

)

? ?2x=a+b, x 3 解析 ? ∴a= ,b= x. 2 2 ?2b=x+2x, ? a 1 ∴ = . b 3 5.设{an}是递增等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,则它的首项是( ) A.1 B.2 C.4 D.6 答案 B 解析 设前三项分别为 a-d,a,a+d,则 a-d+a+a+d=12 且 a(a-d)(a+d)=48, 解得 a=4 且 d=±2,又{an}递增,∴d>0,即 d=2,∴a1=2. 6. 等差数列{an}的公差 d<0, 且 a2?a4=12, a2+a4=8, 则数列{an}的通项公式是( ) * A.an=2n-2 (n∈N )

B.an=2n+4 (n∈N ) * C.an=-2n+12 (n∈N ) * D.an=-2n+10 (n∈N ) 答案 D

*

a2?a4=12, ? ? 解析 由?a2+a4=8, ? ?d<0,

??

?a2=6, ? ? ?a4=2,

??

?a1=8, ? ? ?d=-2,

所以 an=a1+(n-1)d,即 an=8+(n-1)?(-2), 得 an=-2n+10. 二、填空题 1 1 7.已知 a= ,b= ,则 a、b 的等差中项是 3+ 2 3- 2 ________________________________________________________________________. 答案 3 8.一个等差数列的前三项为:a,2a-1,3-a.则这个数列的通项公式为________. 1 答案 an= n+1 4 5 解析 ∵a+(3-a)=2(2a-1),∴a= . 4 5 3 7 ∴这个等差数列的前三项依次为 , , . 4 2 4 1 5 1 n ∴d= ,an= +(n-1)? = +1. 4 4 4 4 9.若 m≠n,两个等差数列 m、a1、a2、n 与 m、b1、b2、b3、n 的公差为 d1 和 d2,则 的 值为________. 4 答案 3 解析

d1 d2

n-m=3d1,d1= (n-m).

1 3

1 又 n-m=4d2,d2= (n-m). 4 1 ?n-m? d1 3 4 ∴ = = . d2 1 3 ?n-m? 4 10. 首项为-24 的等差数列, 从第 10 项起开始为正数, 则公差的取值范围是________. 8 答案 <d≤3 3 解析 设 an=-24+(n-1)d, ?a9=-24+8d≤0 ? 8 由? 解得: <d≤3. 3 ? ?a10=-24+9d>0 三、解答题 11.已知成等差数列的四个数之和为 26,第二个数与第三个数之积为 40,求这四个数. 解 设这四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d,则由题设得 ??a-3d?+?a-d?+?a+d?+?a+3d?=26, ?
? ? ??a-d??a+d?=40,

?4a=26, ? ∴? 2 2 ? ?a -d =40.

13 a= , ? ? 2 解得? 3 d= ? ? 2 4

13 a= , ? ? 2 或? 3 d=- . ? ? 2

所以这四个数为 2,5,8,11

或 11,8,5,2. 12.已知数列{an}满足 a1=4,an=4- (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 4 (1)证明 ∵an=4- (n≥2),

an-1

(n≥2),令 bn=

1

an-2

.

an-1
*

∴an+1=4-

4

an

(n∈N ). 1 - 1 = 1 2- 4 - 1 an 1 an-2 1 = - = = . an-2 2?an-2? an-2 2?an-2? 2

∴bn+1-bn=

an+1-2 an-2

an

1 * ∴bn+1-bn= ,n∈N . 2 1 1 ∴{bn}是等差数列,首项为 ,公差为 . 2 2 1 1 1 (2)解 b1= = ,d= . a1-2 2 2 1 1 n ∴bn=b1+(n-1)d= + (n-1)= . 2 2 2 1 n 2 ∴ = ,∴an=2+ . an-2 2 n 能力提升 13.一个等差数列的首项为 a1=1,末项 an=41 (n≥3)且公差为整数,那么项数 n 的取 值个数是( ) A.6 B.7 C.8 D.不确定 答案 B 解析 由 an=a1+(n-1)d,得 41=1+(n-1)d, 40 d= 为整数,且 n≥3. n-1 则 n=3,5,6,9,11,21,41 共 7 个. 1 an-1 2an-1+1 1 * 14.已知数列{an}满足 a1= ,且当 n>1,n∈N 时,有 = ,设 bn= , 5 an 1-2an an n∈N*. (1)求证:数列{bn}为等差数列. (2)试问 a1a2 是否是数列{an}中的项?如果是,是第几项; 如果不是,请说明理由. an-1 2an-1+1 1-2an 2an-1+1 * (1)证明 当 n>1,n∈N 时, = ? = an 1-2an an an-1 1 1 1 1 1 ? -2=2+ ? - =4?bn-bn-1=4,且 b1= =5.

an

an-1 an an-1

a1

∴{bn}是等差数列,且公差为 4,首项为 5. (2)解 由(1)知 bn=b1+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1. 1 1 * ∴an= = ,n∈N . bn 4n+1

1 1 1 1 1 ∴a1= ,a2= ,∴a1a2= .令 an= = , 5 9 45 4n+1 45 ∴n=11. 即 a1a2=a11,∴a1a2 是数列{an}中的项,是第 11 项.

1.判断一个数列{an}是否是等差数列,关键是看 an+1-an 是否是一个与 n 无关的常数. 2.由等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 可以看出,只要知道首项 a1 和公差 d,就可 以求出通项公式,反过来,在 a1、d、n、an 四个量中,只要知道其中任意三个量,就可 以求出另一个量. 3.三个数成等差数列可设为:a-d,a,a+d 或 a,a+d,a+2d;四个数成等差数列 可设为:a-3d,a-d,a+d,a+3d 或 a,a+d,a+2d,a+3d.


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