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高三数学 导数的概念及运算


第十单元 导数及其应用 10.1 导数的概念及运算 知识梳理 ? 1 ? 5730 p?? ? ?2? t 1.函数的平均变化率: f (x 2 ) - f (x 1 ) 代数式 称为函数y=f(x)从 x 2 - x1 x1到x2的平均变化率. 2.导数的概念: 函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率叫做函 数f(x)在x=x0处导数,记作 f ′(x0)或 Vy f (x 0 + Vx ) - f (x 0 ) y′|x=x0,即 f ? (x 0 ) = lim = lim Vx ?0 Vx Vx 0 Vx 3.导数的几何意义: 导数f ′(x0)表示函数f(x)的图象在x=x0 处的切线的斜率. 4.导函数的概念: f (x + Vx ) - f (x ) (x ) = lim 函数 f ? 称为 f (x) 的 Vx ? 0 Vx 导函数(简称导数). 5.基本导数公式: n- 1 ? (1)c ?= 0 ; (2)(x ) = nx ; n (3)(sinx)′=cosx; (4)(cosx)′=-sinx; (5)(a )?= a ln a ;(6)(e )?= e ; x x x x 1 (loga x )?= (7 ) ; x ln a 1 (ln x )?= (8 ) . x 6.导数的四则运算法则: (x ) ; (1)[f (x ) ? g(x )]ⅱ f (x ) ? g ? f (x ) fⅱ (x )g(x ) - f (x )g (x ) ]?= (g(x ) ? 0) . (3)[ 2 g(x ) [g(x )] [f (x ) ?g(x )]ⅱ f (x )g(x ) + f (x )g ? (x ); (2 ) 7.复合函数的求导法则: 设函数y=f(u),u=g(x),则 [f (g(x ))]ⅱ = f (u ) ?g ? (x ) 拓展延伸 1.函数的平均变化率记作 ,其几何 意义是连结点(x1,f(x1))和(x2,f(x2)) f (x 0 + Vx ) - f (x 0 ) 的直线的斜率,代数式 Vx Vy Vx 表示函数f(x)从x0到x0+△x的平均变化 率. 2.利用导数定义求函数f(x)在x= x0处的导数的基本步骤: 第一步,求函数值增量: △y=f(x0+△x)-f(x0); 第二步,求平均变化率: Vy f (x 0 + Vx ) - f (x 0 ) = Vx Vx 第三步,取极限,求导数: Vy f? (x 0 ) = lim Vx ? 0 Vx 3.由导数定义可知: f (x ) - f (x 0 ) lim = f? (x 0 ) x ? x0 x - x0 f (x 0 - Vx ) - f (x 0 ) lim = - f? (x 0 ) Vx ? 0 Vx f (x 0 + 2Vx ) - f (x 0 ) lim = 2f ? (x 0 ) Vx ? 0 Vx 4.函数y=f(x)在其图象上一点P(x0, (x 0 )(x - x 0 ) y0)处的切线方程是 y - y 0 = f ? 5.当x变化时,f ′(x)也是一个函数, 其值域是函数f(x)图象上各点的切线的 斜率组成的集合. y 6.函数y=c,y=x,y=x2, 1 = , x y= n x 都是幂函数,其导数可利用 n- 1 (x )?= nx 求得. 7.若c为常数,则 [cf (x )]ⅱ = cf (x

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