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第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类-2015)


第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类,2015)
一、填空题(每小题 6 分,共 5 小题,满分 30 分)

? 2? ? ? ? sin n sin n sin ? ? (1)极限 lim n ? 2 ? 2 ?? ? 2 ?? n ?? n ?n? ? n ?1 n ? 2 ? ?
(2)设函数 z ? z ? x, y ? 由方程 F ? x ?

.

? ?

z z? , y ? ? ? 0 所决定,其中 F ?u, v ? 具有连续偏导 y x?
.

数,且 xFu ? yFv ? 0 。则 x

?z ?z ?y ? ?x ?y

( 3 ) 曲 面 z ? x2 ? y 2 ? 1 在 点 M ?1 , 的切平面与曲面所围区域的体积 ? 1, ?3 是 ( 4 ) 函 数 f ? x? ? ? 是 .

? , 0 ?3 ,x ? ? ? 5 ? 在 ? ?5,5? 的 傅 立 叶 级 数 在 x ? 0 收 敛 的 值 0 x . ? 0 , 5 ? ? ? ?
.

(3)设区间 ? 0, ??? 上的函数 u ? x ? 定义域为的 u ? x ? ?

?

??

0

e? xt dt ,则 u ? x ? 的初等函数表
2

达式是 . 二、 (12 分)设 M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面,求其方程。

三、 (12 分)设 f ? x ? 在 ? a, b ? 内二次可导,且存在常数 ? , ? ,使得对于 ?x ? ? a, b? ,有

f ? ? x ? ? ? f ? x? ? ? f ? x? ,则 f ? x ? 在 ? a, b ? 内无穷次可导。

四、 (14 分)求幂级数

n3 ? 2 n ? x ? 1? 的收敛域,及其和函数。 ? n ?0 ? n ? 1? !
?

五、 (16 分)设函数 f ? x ? 在 ?0,1? 上连续,且 (1) ?x0 ??0,1? 使 f ? x0 ? ? 4 (2) ?x1 ??0,1? 使 f ? x1 ? ? 4

? f ? x ? dx ? 0,? xf ? x ? dx ? 1 。试证:
0 0

1

1

六、 (16 分)设 f ? x, y ? 在 x 2 ? y 2 ? 1上有连续的二阶偏导数,且 f xx ? 2 fxy ? fyy ? M 。若
2 2 2

f ? 0,0? ? 0, f x ? 0,0? ? f y ?0,0? ? 0, 证明:
2

x ? y ?1

??

f ? x, y ? dxdy ?

? M
4



2


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