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数学解题技巧4


数学解题技巧 4

列表法解应用题
————徐昌华

大家知道,列方程解应题主要存在两个方面的问题: (1)等量关系的建立; (2)等量关系中相应代数式的获取。 在这两个问题中,代数式的获取是分析问题的基础,特别是我们民族地方初中学生在语 言交流的差异和大脑思维逻辑性不严密的情况下, 难度是很大的。 究竟需要什么样的代数式? 怎样列出这此代数式?是我们解决问题的关键所在。当捋清楚了这些相应的代数式之后,问 题就迎刃而解了。 这里我给大家介绍用列表的形式来分析问题的方法,它能减少大脑存储的量,减少分析 问题中思考的难度,同时也能给学生指明方向,及时找到解决问题的途径。

一、 劳力调配问题
列表格式: 甲处 乙处 原来 现在 1、 有两个工程队,甲队有 32(272)人,乙队有 19(196)人,从乙队调多少人到甲队, 1 才能使乙队的人数是甲队的一半( ) 。 3 分析: 甲队 乙队 原来 32 19 现在 32+x 19-x 解:设乙队调 x 人到甲队。由题意列方程: 1 19 ? x ? ?32 ? x ? 2 2、 两个水缸共有水 48 桶,若甲缸给乙缸加水一倍后,乙缸又给甲缸加水一倍,此时两缸 的水一样多,最初两缸各有水多少桶? 分析: 甲缸 乙缸 最 初 x 48-x 第一次 x-(48-x)=2x-48 2(48-x) 第二次 2(2x-48) 2(48-x)-(2x-48) 解:设最初甲缸有 x 桶水,由题意列方程:

2 ? 2x ? 48? ? 2 ? 48 ? x ? ? ? 2x ? 48?
3、 有甲、乙两个牧童,甲对乙说: “把你的羊给我一只,我的羊就是你的 2 倍” 。 乙对甲 说:“最好还是把你的羊给我一只,我们的羊一样多” 。问两个牧童各有多少只羊。 (人教版新教 材:义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级上册 P103) 分析: (从乙的说话中知道甲比乙多两只羊) 甲 乙 原 来 x+2 x 按甲所说 x+2+1 x-1 解:设乙原来有 x 只羊,由题意列方程: x+2+1=2( x-1)

1

(练习)甲队人数是乙队人数的 2 倍,若从甲队调 12 人到乙队,这时甲队的人数比乙队的一 半多 3 人,求甲队原来的人数。

二、 行程问题
列表格式 时间 速度 路程 甲 乙 1、某人步行的速度是 10 千米/时,骑车的速度是步行的 3 倍。他从甲地去乙地,一半路程步 行,一半路程骑车。然后沿途返回时,一半时间步行,一半时间骑车。结果返回时比去时少 用 40 分钟。求甲乙两地的距离。 分析: 时间 速度 路程 x 1 x 10 去的总时间为 : 去程 步行 x 15 20 2 x 2 1 x 30 回的总时间为 : ? x 骑车 15 3 2 60 返程 步行

1? x 2? ? ? ? 2 ? 15 3 ? 1? x 2? ? ? ? 2 ? 15 3 ?

10 30

1? x 2? 10 ? ? ? ? 2 ? 15 3 ?

骑车

1? x 2? 30 ? ? ? ? 2 ? 15 3 ?

解:设甲乙两地的距离为 x 千米。由题意列方程:

1? x 2? 1? x 2? 10? ? ? ? ? 30? ? ? ? ? x 2 ? 15 3 ? 2 ? 15 3 ?
2、一轮船在顺水中航行 46 千米,与逆水中航行 34 千米共用的时间恰好等于轮船在静水中航 行 80 千米的时间。已知水流速度是 3 千米/时,求该船在静水中的速度。

数学小常识:
分析: 顺水 逆水 静水 时间
46 x?3

?V顺 ? V静 ? V水 ? ?V逆 ? V静 ? V水
速度 x+3 x-3 x 路程 46 34 80

34 x?3 80 x

解:设轮船在静水中的速度是 x 千米/时,由题意列方程:

46 34 80 ? ? x?3 x?3 x
3、甲、乙两船顺流而下,从 A 码头到达 B 码头,到 B 码头时,乙船接到通知要返回到达 C 码头,甲船继续下行。乙船到达 C 码头时,共用了 4(3)小时。已知两船在静水中的速度均 为 7.5(8)千米/时,水流速度为 2.5(2)千米/时,A、C 两码头间的距离是 10(2)千米,求 A、 B 两码头 之间的航程。当乙船到达 C 码头时,甲船离 B 码头多远?√

2

A

C B

C

A B

行程图示 分析:①如果 C 在 A、B 之间,设 A、B 相距 x 千米 时间 速度 路程 x 顺水 7.5+2.5 x 10 x ? 10 逆水 7.5-2.5 x-10 5 解:设 A、B 相距 x 千米,C 在 A、B 之间。由题意列方程。
x x ? 10 ? ?4 10 5

解之得 x=20

20 ? 10 ? 2?小时 ? 5 甲船离 B 码头:2×(7.5+2.5)=20(千米) ②如果 C 在 A 的上游,设 A、B 相距 x 千米 时间 速度 x 顺水 7.5+2.5 10 x ? 10 逆水 7.5-2.5 5 解:设 A、B 相距 x 千米,C 在 A、B 之间。 由题意列方程。 x x ? 10 20 ? ?4 解之得 x ? 10 5 3 20 ? 10 10 3 则乙船从 B 返回到 C 用了: ? ?小时? 5 3

则乙船从 B 返回到 C 用了:

路程 x x+10

甲船离 B 码头:

10 100 ?千米 ? ? ?7.5 ? 2.5? ? 3 3

(练习)1、飞机在甲、乙两城之间飞行,顺风要 2 小时 50 分(5 小时 30 分) ,逆风要 3 小 时(6 小时) ,风速为 24 千米/时,求两城之间的距离。 (人教版新教材:义务教育课程标准实 验教科书《数学》七年级上册 P102)√ 2、甲骑自行车从 A 地到 B 地,乙骑自行车从 B 地到 A 地,甲比乙快 2 千米/时,两人在上午 8:00 同时出发,到上午 10:00 两人相距 36 千米;到中午 12:00 两人又相距 36 千米。求 A、 B 两地的距离。 (人教版新教材:义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级上册 P103) 分析: 时间 速度 路程 甲 2 x+2 2(x+2) 乙 2 x 2x 甲 4 x+2 4(x+2) 乙 4 x 4x 到 10:00 统计 A、B 两地的距离为:2(x+2)+2x+36 到 12:00 统计 A、B 两地的距离为:4(x+2)+4x-36

3

解:设乙的速度为 x 千米/时,由题意列方程。 2(x+2)+2x+36=4(x+2)+4x-36 5、一辆汽车从甲地去乙地,如果速度提高 20%,可提前 1 小时到达乙地;由于情况紧急,要 求必须提前 2 小时到达乙地,速度需要提高百分之几? 分析: 时间 速度 路程 计划

s x
s ?1 ? 20%?x

x

s s

设想

?1 ? 20%?x
?1 ? p%?x

需要

s ?1 ? p% ?x

s

解:设汽车的速度为 x 千米/时,甲乙两地相距 s 千米,为达到要求,速度需要提高 p%。由 题意列方程组:

s ?s ? ?1 ? ? x ?1 ? 20% ?x ?s s ? ? ?2 ? ? x ?1 ? p% ?x
练习:甲、乙两地相距 24 千米,某人从甲地到乙地,步行一半后改骑自行车,共经 4 小时到 达乙地,回来时,一半步行,一半骑摩托车,已知回来步行的速度是原步行速度的
3 ,摩托 4

车的速度是自行车的 2 倍,结果比去时多用了 30 分钟才回到甲地,求原来步行的速度和骑自 行车的速度。 分析:设原来步行速度为:x 千米/时 则骑自行车的速度为:
3x x?3

时间 步行:
12 x 4? 12 x

速度

路程 12 12

x
12 3x ? 12 x ? 3 4? x
3 x 4



自行车:

步行:


12 16 ? 3 x x 4
16 x

12

摩托车: 4.5 ?

12 16 4 .5 ? x

?

24 x 9 x ? 32

12

由题意列方程:

24 x 3x ? 2? 9 x ? 32 x?3

解之得 x=4

3x =12 x?3

答:原来步行的速度和骑自行车的速度分别是 4、12 千米/时。

4

6、有一队伍,共 120 米长,一通讯员从队伍尾部开始传令,追到部队前面后,再返回,队 伍一直向前行,通讯员又到达部队尾部。这时,部队一共前进了 288 米。在行进过程中,通 讯员和部队的速度一直不变,求:通讯远一共走了好多米? 分析: 时间 速度 路程 120 追击 a-b 120 a?b 120 相遇 a+b 120 a?b 288 队伍 b 288 b 解:设通讯员的速度为 a 米/秒,队伍的速度为 b 米/秒。 120 120 288 ? ? 由题意列方程: , 化简得: 6b 2 ? 5ab ? 6a 2 ? 0 , a?b a?b b

b1 ?

2 3 a, b2 ? ? a?舍去 ? , 队伍行的总时间为 : 3 2
通讯员所走的路程为 :

2 432 288 ? a? 3 a

432 ×a=432(米) a 7、列车过桥问题: 全通过 路程=桥长+车长 在桥上 路程=桥长 -车长 (1) 、某铁路桥长 500 米,现有一列火车从桥上通过,测得火车从上桥到全部通过,共用 30 秒,整列火车在桥上的时间为 20 秒。求火车的速度和长度。 分析: 时间 速度 路程 全通过 30 x 500+y 在桥上 20 x 500-y 解:设火车的速度为 x 米/秒,火车长 y 米。由题意列方程组:

?500 ? y ? 30x ? ?500 ? y ? 20x
(2) 、一匀速前进的火车,从它进入 300m(600 米)长的遂道到离开,共用 20s(30 秒) 。 又知遂道顶部的一电灯,垂直照射火车的时间为 10s(5 秒) ,你能否求出火车的长度?若能, 火车的长度是多少?若不能, 请说明理由。 (人教版新教材: 义务教育课程标准实验教科书 《数 学》七年级上册 P94) 分析:方法一: 时间 速度 路程 x 照火车 10 x 10 x 全通过 20 300+x 10 解:设火车的长度为 x 米,由题意列方程。 x 20× = 300+x 10 方法二: 时间 速度 路程 照火车 10 x y 全通过 20 x 300+y 解:设火车的速度为 x 米/秒,长度为 y 米, 由题意列方程组:

5

? 10x ? y ? ?20x ? 300 ? y
(练习)1、甲、乙二人同时从 A 地出发去距离 60 千米的 B 地,甲比乙早 5/3 小时到达,已 知甲的速度是乙的 1.5 倍,求两人的速度。 2、甲、乙二人同时从相距 20 千米的 A、B 两地相向而行,2 小时后相遇,相遇后甲立 即以同样的速度返回 A 地,乙继续前进,当甲回到 A 地时,乙离 A 地还有 2 千米,求二人 的速度。 2x A B 2 2(10-x) 2(10-x) 3、 某队伍长 S 米,在行进中,队尾的一通讯员把一通知传到排头,然后立即返回,当通讯员回 到排尾时,队伍也刚好前进了 S(4S)米,求通讯员所走过的路程。 4、甲乙两人分别从 A、B 两地同时相向而行于 E 处相遇,相遇后甲继续向 B 地行走, 乙则休息 14 分钟后再继续向 A 地行走,甲乙分别到达 B、A 后立即返回他们又在 E 处相遇, 知甲、乙的速度分别是 60 米/分和 80 米/分,求 AB 两地的距离。 4 x 分析:设 AE=x 米 , x 3 B A E x 4 甲从 A 到 E(乙从 B 到 E)用 分钟,那么 BE= x 米 3 60 时间 速度 路程 8 x 8 3 x 甲 60 3 60 2x 2x 乙 80 80 解:设从 A 到 E 的距离为 x 米,由题意列方程 8 x 2x 3 +14= 80 60

三、工程问题
工作时间 列表格式: 工作效率 工作量 甲独 乙独 合做 在分析工作效率时,没有具体工作量的工作问题,首先要考虑工作量为“1”的思路, 以吃饼为例: 一个饼,大人 a 口可以吃完,小孩 b 口可以吃完。大人、小孩各吃一口,分别 1 1 1 1 吃掉 、 。大人、小孩同时吃一口,饼被吃掉 ? 。这就是独做、合做的工作效率。 b a b a 1、某工程,甲队独做 18 天可以完成,乙队独做要比甲队多用 9 天完成,现在甲队先独做 3 天,然后由甲、乙共同完成余下的工程,需要合做多少天才能完成。 分析: 工作时间 工作效率 工作量 1 1 甲 独 3 ?3 18 18 甲乙合 x
1 1 ? 18 27
?1 1 ? ? ? ?x ? 18 27 ?

6

解:设甲乙合做还需 x 天完成,由题意列方程:
1 ?3? 18
?1 1 ? ? ? ?x ? 1 ? 18 27 ?

2、某项工程,甲、乙两队合做 12 天可以完成。已知甲做 4 天后,乙队又加入合做了 7 天, 然后甲队离开,又由乙队独做了 7 天完成了全部工程。问甲、乙两队单独做这项工程各需几 天完成? 分析: 工作时间 工作效率 工作量 1 1 ?1 1? 理论 合 12 ? ? ?1 12 ? ?
x y
?x ? y? ?

实际

甲 乙

11 14

1 x
1 y

11 x
14 y

=1

解:设甲、乙独做各需 x、y 天完成, 由题意列方程组:

? ?1 1? 12? ? ? ?1 ? ? ? x y? ? ? ? ? 11 ? 14 ? 1 ? y ? x

3、某工地有若干个人,一部分人挖土,一部分人运土。每人每天能挖土 5m3,若 6 人挖土,其 余的人运土,则当天挖出的土恰好运完;若 8 人运土,其余的人挖土,则当天挖出的土有 16m3 运不出去。问每人每天能运土多少 m3?工地上有多少工人? 分析:设有 x 人。 人数 工作效率 工作量 挖土 6 5 30 运土 挖土 运土
x?6 x ?8
30 x?6
5 30

5?x ? 8?
30 ?8 x?6

8
30 ? 8 ? 16 x?6

30 x?6

解:设工地上有 x 个工人,由题意列方程。
5? x ? 8? ?

4、整理一些数据,一个人做 80 小时能完成,现计划先由一些人去做 2 小时,再增加 5 人做 3 8 小时,能完成工作的 ,是怎样安排参与整理数据的人数的?(人教版新教材:义务教育 4 课程标准实验教科书《数学》七年级上册 P92) 分析: 人数 每人的工作效率 工作时间 工作量 先派 后派 x x+5
1 80
1 80

2 8

2?
8?

1 x 80

1 ? x ? 5? 80

解:先派 x 人去整理数据,由题意列方程。
2? 1 1 3 x ? 8 ? ? x ? 5? ? 80 80 4

(练习)1、一个水池有甲、乙两个进水管,甲管单独注满水池比乙管单独注满水池要快 4 小 时,如果单独开放甲管 5 小时,再单独开放乙管 6 小时,就可以注满水池的一半。单独开放 甲、乙管各需要几小时能注满水池?

7

2、

一件工作,甲独作的时间是乙独作所用时间的 2 倍,若合作 4 天完成了工作的

2 ,求 3

甲、乙独作各需要多少天完成?√

四、 配套问题
列表格式: 人数 每人件数 零件总数 甲种零件 乙种零件 1.某车间 22 名工人参加生产一种螺丝和螺帽,每人每天能生产螺丝 120 个或螺帽 200 个。 一个螺丝配两个螺帽,应怎样安排生产螺丝和螺帽的人数,才能使每天生产的零件刚好配套。 分析: 人数 每人件数 零件总数 螺丝 x 120 120x 螺帽 22-x 200 200(22-x) 解:设安排生产螺丝 x 人,由题意列方程:

120x 1 ? 200?22 ? x ? 2
2.某种机器需要甲、乙、丙三种零件各 1、2、3 个,某工人每天能生产甲种零件 50 个或者 乙种零件 80 个或者丙种零件 100 个,现在要在 30 天内生产成套的零件,应怎样安排生产甲、 乙、丙三种零件的天数? 分析: 时间 每天件数 零件总数 甲 x 50 50x 乙 y 80 80y 丙 z 100 100z 解:设生产甲、乙、丙三种零件各用 x、y、z 天,由题意列方程组:

x ? y ? z ? 30 ? ? ?50x : 80y : 100z ? 1 : 2 : 3
(练习)某车间共有 28 名工人,每人每天能生产螺栓 12 个或者螺母 18 个,怎样安排生产螺 栓和螺母的人数,才能使每天生产的螺栓与螺母按 1:2 配套 ?

五、 盈余问题
列表格式 人数 每人个数 总个数(不变数) 方案一 方案二 1、若干个梨分给若干个学生,如每人分 5 个,还剩 3 个;如果每人分 7 个,还差 5 个梨。有 多少个学生?多少个梨? 分析: 人数 每人个数 总个数 方案一 x 5 5x+3 方案二 x 7 7x-5 解:有 x 个学生,由题意列方程: 5x+3=7x-5 2、一个工人接到加工一批零件的任务,限期完成。他计算每小时加工 10 个,就可以超过任 务 3 个零件;若每小时加工 11 个,就可以提前 1 小时完成任务。有多少个零件的任务?限期 几小时完成?

8

分析:

时间 每小时个数 总零件个数(不变数) 方案一 x 10 10x-3 方案二 x-1 11 11(x-1) 解:设限期 x 小时完成,由题意列方程: 10x-3=11(x-1) 3、有一群鸽子和一些鸽笼,如果每个鸽笼住 6 只鸽子,则有 3 鸽子无鸽笼可住;如果再飞来 5 只鸽子,连同原来的鸽子,则每个鸽笼刚好住 8 只鸽子。求原来有多少只鸽子和多少个鸽 笼?(人教版新教材:义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级上册 P102) 分析: 鸽笼 每个鸽笼住的只数 鸽子总数 原来 x 6 6x+3 现在 x 8 8x-5 解:设有 x 个鸽笼,由题意列方程。 8x-5= 6x+3 4、一段公路的两旁种树,如果每隔 3 米栽一棵还剩 3(6)棵 ;如果每隔 2.5 米栽一棵,则要缺 77(154)棵,这批树有多少棵,这段公路有多长?√ 方法一 解:设这批树的 x 棵 每半边棵数 每半边段数 公路长 方案一、
x?3 2 x ? 77 2 x?3 ?1 2 x ? 77 ?1 2

? x ?3 ? ? 1? ? 3 米 ? ? 2 ? ? x ? 77 ? ? 1? ? 2.5 米 ? ? 2 ?

方案二、

? x ?3 ? ? x ? 77 ? 由题意列方程: ? ? 1? ? 3 = ? ? 1? ? 2.5 ? 2 ? ? 2 ?

方法二 解:设公路长为 x 米 每半边段数 方案一: :
x 3 x 2.5

每半边棵数
x ?1 3 x ?1 2.5

总棵数
?x ? 2 ? ? 1? ? 3 ?3 ? ? x ? 2? ? 1? ? 77 ? 2.5 ?

方案一:

? x ? ?x ? 由题意列方程: 2 ? ? 1? ? 3 = 2 ? ? 1? ? 77 ? 2.5 ? ?3 ?

练习 1、张三要从甲村到乙村,如果每小时走 4 千米,那么到预定时间离乙村还有 0.5 千米; 如果每小时走 5 千米,可提前半小时到达乙村。求甲乙两村的距离。 2.某班举行了一次“捐资助学”的活动,捐出的钱比平均每人 3 元多 24 元;比平均每人 4 元少 26 元。这个班有多少学生?共捐了多少钱? 3、种一批树苗,如果每人种 10 棵,则剩 6 棵;如果每人种 12 棵,则缺 6 棵,有多少人种树? 这批树苗有多少棵?

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六、浓度问题
列表格式 浓度 总重量 纯质 甲 乙 混 基本等量关系: ①甲总+乙总=混总 ②甲纯+乙纯=混纯 ③浓度×总重量=纯质 1、 甲种盐水的浓度是乙种盐水浓度的 1.5 倍,现在取甲种盐水 5 千克,乙种盐水 3 千克, 混合后的盐水浓度是 52.5%。求甲、乙两种盐水的浓度。 分析: 浓度 总重量 纯质 甲 1.5x 5 7.5x 乙 x 3 3x 混 52.5% 8 8×52.5% 解:设乙种盐水的浓度为 x(百分率),由是意方程: 7.5x+3x= 8×52.5% 2、某市有人口 480 万人,预测一年后城镇人口增长 0.8%,农村人口增长 1.1%,这样全市人 口将增长 1%。全市现在农村、城镇人口各有多少万人? 分析: 今年 增长率 明年增长人数 农村 x 1.1% 1.1%x 城镇 480-x 0.8% 0.8%(480-x) 总 480 1% 1%×480 解:设现在农村有 x 万人,由题意列方程: 1. 1%x+0.8%(480-x)=1%×480 3、在某浓度的盐水中,加入“一杯水”后,得到新盐水的浓度为 20%,又在新盐水中加入与 1 前“一杯水”重量相等的纯盐,此时盐水的浓度为 33 % ,求原盐水的浓度。 3 分析:设原盐水的重量为 x,浓度为 y,一杯水的重量为 m。 浓度 总重量 纯质 原来 y x xy 加水 20% x+m xy 加盐
1 33 % 3

x+2m

xy+m

解 : 设原盐水的重量为 x, 浓度为y, 一杯水的重量为 m

? xy ? 20%?x ? m? ?5xy ? x ? m ? , ? xy ? m ? 33 1 %?x ? 2m? , ? 3xy ? x ? m ? ? 3 ?

y?

1 4

(练习)甲、乙两厂去年的产值共 10 万元,今年甲厂的产值增长 10%,乙厂增长 15%,两 厂共增长 12%,求去年两厂的生产总值。

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七、数字问题
列表格式 百 十 个 数 原 新 1、一个两位数,个位数字比十位数字大 5,如果把个位数字与十位数字交换位置,所得到的 新数与原数的和是 143。求这个两位数。 分析: 十 个 数 原 x x+5 10x+(x+5) 新 x+5 x 10(x+5)+x 解:设原十位数字为 x,由题意列方程: 10x+(x+5)+10(x+5)+x=143 2、 有一个三位数,百位数字是 1,如果把 1 移到最后所得的三位数比原数的 2 倍少 7,求 原三位数。 分析: 百 十个 数 原 1 x 100+x
(百十 个 数)

新 x 1 10x+1 解:原十位与个位组成的数为 x,由题意列方程: 10x+1=2(100+x)-7

3、 有一个六位数 1abcde,乘以 3 后得 abcde1,求这个六位数。 分析: 十万位 后五位 数 原 1 x 100000+x
(前五位 个 数)

新 x 1 解:后五位数是 x,由题意列方程: 3(100000+x)=10x+1

10x+1

(练习)一个三位数,从百位到个位依次由三个连续奇数排列而成,交换个位与百位所得的 新数比原数的确 2 倍多 39。求原三位数。

八、 购物问题
列表格式 单价 数量 金额 一 二 1、某市居民生活用电的基本价格为 0.4 元/度,由于我国电力资源丰富,鼓励居民用电, 利于环保,规定每月用电量超过 a 度,其超出部分按七折收费。 ①某居民 10 月份用电 84 度,共交电费 30.72 元,求规定的用电量 a。 ②该居民 11 月份的平均电费为 0.36 元,该居民 11 月份用电多少度?应交多少电费?√ ①分析: 单价 数量 金额 规定 0.4 a 0.4a 超出 0.4×70% 84-a 0.4×70%(84-a)

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解:由题意列方程: 0.4a +0.4×70%(84-a)=30.72 解之得:a=60 ②分析: 单价 数量 金额 规定 0.4 60 0.4×60 超出 0.4×70% x-60 0.4×70%( x-60) 总 0.36 x 0.36x 解:设 11 月份用电 x 度,由题意列方程: 0.4×60+ 0.4×70%( x-60)= 0.36x 2、某顾客第一次在商店买某一若干件小商品花去 5 元,第二次再去买该小商品时,发现 每一打(一打 12 件)优惠 0.8 元,他比第一次多买 10 件,正巧成打,第二次共花去 2 元。 他第一次买了多少件小商品? 分析: 第一次 第二次 单价
5 x
5 x

数量

金额

打数

优惠

x
x ? 10

5
5? x ? 10 ? x
x ? 10 12

x ? 10 ? 0.8 12

解:设第一次买了 x 件小商品,由题意列方程: 5? x ? 10 ? x ? 10 ? ? 0.8 ? 2 x 12 3、某产品由 A、B 两种原料合成,A 的单价 50 元/千克,B 的单价 40 元/千克。具原料厂家 通知,A 要涨价 10%,B 要降价 15%。生产产品的厂家经过核算,只生产 11000 千克这种产 品,并不影响产品的成本。问需要 A、B 两种原料各多少千克? 分析: 单价 数量 金额 原来:A 50 x 50x B 40 11000-x 40(11000-x ) 现在:A 50(1+10%) x 50(1+10%)x B 40(1-15%) 11000-x 40(1-15%) (11000-x) 解:设需要 A 原料 x 千克,由题意列方程。 50x+40(11000-x )= 50(1+10%)x+40(1-15%) (11000-x)

九、 结余问题
列表格式 收入 支出 结余 甲 乙 1、甲、乙两人一年的收入之比为 8:7,支出之比为 18:17,已知甲一年结余了 1200 元, 乙一年结余了 800 元,求甲、乙这一年的收入和支出。 分析:设收入的每一份为 x,支出的每一份为y 收入 支出 结余 甲 8x 18y 8x-18y 乙 7x 17y 7x-17y

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解:设收入的每一份为 x,支出的每一份为y。

?8 x ? 18y ? 1200 ? ? 7 x ? 17 y ? 800
2.小红家去年结余 500 元,估计今年可结余 950 元,而且今年的收入比去年高 15%,支 出比去年低 10%,求今年的收入和支出。 分析: 收入 支出 结余 甲 x y x-y 乙 (1+15%)x (1-10%)y 解:设去年的收入为 x 元,支出为 y 元, 。由题意列方程式组:

x ? y ? 500 ? ? ??1 ? 15%?x ? ?1 ? 10%? y ? 950

十、其他问题
①比例问题:设每一份为k ②盈亏问题; 成本(1+p%)=售价 成本(1-p%)=售价 某商贩同时 150(135)元的售价卖出两套衣服,以成本计算,其中一套盈利 25%,另 一套亏 25%,这次出售商贩是亏损还是盈利?金额是多少? 解:设甲商品盈利,成本为x元,由题意列方程: (1+25%)x=150 设乙商品亏本,成本为y元,由题意列程: (1-25%)y=150 ③利率问题:利息=本金×利率×时间 ④增长问题:a(1+x%) =b ⑤利润率问题: 利润率 ?
售价-进价 进价
n

1、某商品若进价降低 8%,而售价不变,那么利润率将增加 10 个百分点。求该商品原来 的利润率。 分析: 进价 利润率 售价 原来 1 p% 1+p% 现在 1-8% (p+10)% 1+p% 解:设原来的利润率为p%,进价为“1”


?1 ? p% ? ? ?1 ? 8% ? ? ? p ? 10 ?%
1 ? 8%

2、 某商品降价 10%促销, 为了使销售总金额不变, 销售量要比按原价销售增加百分之几? (人教版新教材:义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级上册 P103) 分析: 单价 销售量 总金额 原来 a b ab 现在 (1-10%)a (1+x)b (1-10%)a×(1+x)b 解:设原来的单价为 a,销售量为 b,增加的百分率为 x,由题意列方程: (1-10%)a×(1+x)b =ab
解之得 x ? 1 9

13

⑥年龄问题: (年龄推算主要同时前进年数或后退年数) 父亲和女儿的年龄和是 91 岁,当父的年龄是女儿现在年龄的 2 倍时,女儿的年龄是父亲 现在年龄的三分之一,求女儿现在的年龄。 分析: 女儿 父亲 现在 x 91-x 原来
x ? ?91? 3x ?

2x

父亲退回年数(91-x)-2x

解:设女儿现地的年龄是x岁,由题意列方程: 1 x ? ?91 ? 3x ? ? ?91 ? x ? 3 ⑦杂类问题: 1、 有一些房间要粉刷墙面,一天 3 个一级工去粉刷 8 个房间,结果有 50m2 的墙面未来得 2 及粉刷。同样的时间 5 名二级工粉刷了 10 个房间外,还多粉刷了 40m 的墙面。知一级工每人 每天比二级工多粉刷 10m2。求每个房间粉刷的面积。 (人教版新教材:义务教育课程标准实验 教科书《数学》七年级上册 P103) 分析: 人数 每人工效 工作量 总面积 间数 每间面积 一级工 二级工 3 5 x x-10 3x 3x+50 8 10

3x ? 50 8
5? x ? 10 ? ? 40 10

5?x ? 10? 5?x ? 10? ? 40

解:设一级工每人每天粉刷 x m2 的墙面,由题意列方程: 3x ? 50 5?x ? 10 ? ? 40 ? 8 10 解之得:x=122 ∴每间房屋粉刷面积为:
3 ? 122 ? 50 ? 52 8

2、甲组 4 名工人 3 月份完成的总工作量比此月人均定额的 4 倍多 20 件;乙组 5 名工人 3 月份完成的总工作量比此月人均定额的 6 倍少 20 件。 (1)如果两组工人实际完成的此月人均工作量相等,那么此月的人均定额是多少件? (2)如果甲组工人此月实际完成的人均工作量比乙组多 2 件,那么此月的人均定额是多少 件? (3)如果甲组工人此月实际完成的人均工作量比乙组少 2 件,那么此月的人均定额是多少 件?(人教版新教材:义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级上册 P108) 分析: 甲组 乙组 人数 4 5 人均定额 x x 总任务 4x 5x 实际件数 4x+20 6x-20 实际人均件数
4 x ? 20 4 6 x - 20 5

解:设此月人均定额为 x 件,由题意列方程: 4 x ? 20 6 x - 20 ? (1) 4 5 4 x ? 20 6 x - 20 ? ?2 (2) 4 5

14

(3)

6 x - 20 4 x ? 20 ? ?2 5 4

1 又 100 棵,第二个班级又取走了 10 1 1 余下的 又 200 棵,第三个班级又取走了第二个班级余下的 又 300 棵??,如此下去,直 10 10 至取完,恰好每个班级的树苗相同,有多少个班级?共多少个树苗? 解:设每个班取 x 棵树苗,共有 y 棵树苗?

3、现有若干个班参加植树活动,第一个班级取走了树苗的

1 ? x? y ? 100 ? ? 10 由题意列方程组: ? 1? 1 ? ? x ? ? y ? y ? 100? ? 200 ? 10 ? 10 ? ?

? x ? 1000 解之得: ? ? y ? 9000

共有 9 个班,9000 棵树苗。
1 ,第二个班级取走 10

4、现有若干个班参加植树活动,第一个班级取走了 100 棵又余下树苗的 了第一个班余下的 200 棵又余下的树苗的 又余下的

1 ,第三个班级又取走了第二个班级余下的 300 棵 10

1 ??,如此下去,直至取完,恰好每个班级的树苗相同,有多少个班级?共多少 10

个树苗? 解:设每个班取 x 棵树苗,共有 y 棵树苗? 由题意列方程组:
1 ? x ? 100 ? ? y ? 100? ? ? 10 ? 1 ? 1 ? ?? ? x ? 200 ? ? y ? 200 ? ?100 ? ? y ? 100?? ? ? 10 ? 10 ? ?? ?

? x ? 900 解之得: ? ? y ? 8100
答:共有 9 个班,8100 棵树苗。 列方程解应用题有时候看起来很繁杂,难以思考,但是只要我们通过列成表格的形式, 把一个个相应的量,通过思考,顺藤摸瓜的逻列在表中,往往能大大的减轻难度,从而很容 易的建立等量关系。

黑水县中学教师 徐昌华 2005 年 10 月

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