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2014年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)


2014 年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.
则 1. 若正数 a, b 满足 2 ? log 2 a ? 3 ? log 3 b ? log 6 (a ? b) ,

1 1 ? 的值为 a b





? ? ?3 ? 2. 设集合 ? 则 M ? m 的值 ? ? b 1 ? a ? b ? 2? ? 中的最大元素与最小元素分别为 M , m , ? ? ?a ? ? ? . 3. 若函数 f ( x) ? x 2 ? a x ?1 在 [0, ? ?) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 .
4. 数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an?1 ?

a2014 2(n ? 2) ? . an (n ? N* ) ,则 a1 ? a2 ? ? ? a2013 n ?1 5. 正四棱锥 P ? ABCD 中,侧面是边长为 1 的正三角形,M , N 分别是边 AB, BC 的中 . 点,则异面直线 MN 与 PC 之间的距离是
6. 设椭圆Г的两个焦点是 F1 , F2 ,过点 F1 的直线与Г交于点 P, Q .若 PF2 ? F1 F2 , 且 3 PF1 ? 4 QF1 ,则椭圆Г的短轴与长轴的比值为 .

7. 设等边三角形 ABC 的内切圆半径为 2,圆心为 I .若点 P 满足 PI ? 1 ,则△APB 与 △APC 的面积之比的最大值为 .

1 的概率在每对点之间连一条边, 2 任意两对点之间是否连边是相互独立的,则 A , B 可用(一条边或者若干条边组成的)空 间折线连接的概率为 .
8. 设 A , B , C , D 是空间四个不共面的点,以

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 9. (本题满分 16 分) 平面直角坐标系 xOy 中,P 是不在 x 轴上的一个动点, 满足条件: 2 过 P 可作抛物线 y ? 4 x 的两条切线,两切点连线 lP 与 PO 垂直. 设直线 lP 与直线 PO, x 轴的交点分别为 Q, R .
(1) 证明 R 是一个定点; (2) 求

PQ QR

的最小值.

10. (本题满分 20 分)数列 {an } 满足 a1 ?

? , an?1 ? arctan (sec an ) (n ? N* ) .求正整数 6 1 . 100

m ,使得

sin a1 ? sin a2 ?? ? sin am ?

11.(本题满分 20 分) 确定所有的复数 ? , 使得对任意复数 z1 , z2 ( z1 , z2 ? 1, z1 ≠ z2 ) , 均有

( z1 ? ? ) 2 ? ? z1 ≠ ( z2 ? ? ) 2 ? ? z2 .


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