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【数学】1.3三角函数的诱导公式 第二课时 课件(人教A版必修4)


1.3 三角函数的诱导公式
第二课时

复习引入

函数名不变,符号看象限. 公式二:
sin( ? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? tan ?

1、四组诱导公式
sin( ? ? k ? 2? ) ? sin ?

cos(? ? k ? 2? ) ? cos ? tan( ? ? k ? 2? ) ? tan ?

公式一:

公式三: sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?

公式四:
sin( ? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? ? tan ?

2.对形如π-α、π+α的角的 三角函数可以转化为α角的三角 函数。
? ? 对形如 ? ?、 ? ? 2 2

的角的三角函数与

α角的三角函数,是否也存在着某种关 系,需要我们作进一步的探究.

? 知识探究(一): ? ? 的诱导公式
sin( ? ) 思考1: 2 3

?

?

相反吗?

? 的值相等吗? 与 sin 3
?
?

2

? ? ? ? 与 cos cos( ? ) 与 sin sin( ? ) 思考2: , 2 3 3 3 2 3 的值分别有什么关系?据此,你有什 么猜想? ?
sin ( ? ? ) ? cos? 2 cos(

?

2

? ? ) ? sin ?

思考3:如果α为锐角, sin(
cos( ? ? ) ? sin ? 2
? ?? 2

?
2

? ? ) ? cos ?

是否成立? 若成立,你有什么办法证明? a

?

c
α b

? cos ?
? sin ?

a cos( ? ? ) ? 2 c

?

思考4:若α为一个任意给定的角,那么 ? ? ? 的终边与角α的终边有什么对称关 2 ? y 系? ? ?的终边
?3 2

y?x

O

?2 x ?1 ? ?的终边

?的终边

思考5:设角α的终边与单位圆的交点 ? 为P1(x,y),则 2 ? ? 的终边与单 位圆的交点为P2,则P2为多少?根据三 角函数的定义,你能获得哪些结论?
y
?
2 ? ?的终边

M2
O

P2 (y , x) α 的终边

公式五:
sin(

?
2

P1(x,y)

? ? ) ? cos? ? ? ) ? sin ?

M1

x

cos(

?
2

? 知识探究(二): ? ? 的诱导公式 2 ? ? 与 cos ? cos( ? ? ? ) 与 sin ? sin( ? ) 思考1: , 2 3 3 3 2 3 的值分别有什么关系?据此,你有什 么猜想?
sin(

?
2

? ? ) ? cos?

cos( ? ? ) ? ? sin ? 2

?

? ? 思考2: ? ? 与 ? ? 有什么内在联系? 2 2 ? ? ? ? ? ? (?? )
2 2

思考3:根据相关诱导公式推导, ? ? sin( ? ? ) , cos( ? ? ) 分别等于什么?
2 2
sin(

?
2

? ? ) ? cos?

公式六:

cos( ? ? ) ? ? sin ? 2

?

思考4:你能概括一下公式五、六的共同 特点和规律吗?
sin(

?
2

公式五:

? ? ) ? cos? ? ? ) ? sin ?

cos(

?
2

sin(

?
2

? ? ) ? cos?

公式六:

cos( ? ? ) ? ? sin ? 2

?

sin( ? ? k ? 2? ) ? sin ? cos(? ? k ? 2? ) ? cos ? tan( ? ? k ? 2? ) ? tan ?

公式一:

sin( ? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? tan ?

公式二:

sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?

公式三:

sin( ? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? ? tan ?

公式四:

公式五:
sin(

公式六:
sin(

?

2

? ? ) ? cos? ? ? ) ? sin ?

?

2

? ? ) ? cos?

cos(

?
2

cos( ? ? ) ? ? sin ? 2

?

k 思考5:诱导公式可统一为

?
2

? ? (k ? Z)

的三角函数与α的三角函数之间的关系, 你有什么办法记住这些公式?

奇变偶不变,符号看象限.

例题讲解 3? 例1 证明: ( 1 ) sin( ? ? ) ? ? cos ?

? ? ? 3? ? ? ) ? sin ?? ? ( ? ? )? (1)证明:左边 ? sin( 2 ? ? 2 ? ? ? sin( ? ? ) 2

2 3? (2) cos( ? ? ) ? ? sin ? 2

? ? cos ?

? 右边

3? (2) cos( ? ? ) ? ? sin ? 2

证明:左边=

? ? ? cos ?? ? ( ? ? )? 2 ? ?

? ? cos( ? ? ) 2

?

? ? sin ?
? 右边

练习:证明
3? ( 1 ) sin( ? ? ) ? ? cos ? 2 3? (2) cos( ? ? ) ? sin ? 2

例2 : 化简:

sin( 2? ? ? ) ?? sin ? 解:
?

11? sin(2 ? - ? )cos(? ? ? )cos( ? ? )cos( -? ) 2 2 9? cos(? - ? )sin(3 ? - ? )sin(- ? - ? )sin( ?? ) 2

?

cos( ? ? ) ? ? sin ? 2 11? ? ? ? cos( ? ? ) ? cos ?6? ? ( ? ? )? 2 2 ? ? ? ? cos[ ?( ? ? )] ? ? sin ?
2

cos(? ? ? ) ? ? cos ?

? cos ? sin( 3? ? ? ) ? sin ? sin( ?? ? ? ) ? sin ?
cos(? ? ? ) ?
9? sin( ??) ? 2

11? sin(2 ? - ? )cos(? ? ? )cos( ? ? )cos( -? ) 2 2 9? cos(? - ? )sin(3 ? - ? )sin(- ? - ? )sin( ?? ) 2

?

cos ?

(? sin ? )( ? cos ? )( ? sin ? )( ? sin ? ) 原式? ? ? tan ? (? cos ? ) sin ? sin ? cos ?

课堂小结
1 诱导公式五及诱导公式六。 2 诱导公式一至六记忆:奇变 偶不变,符号看象限。

课后作业
作业:P29B组第2题。
思考:已知 的值
2 cos( ? ? ) ? 6 3

?

,求

2? sin (? ? ) 3

练习:化简 ( 1)
sin( ? ? 5? ) cos( ?

?
2

? ? ) cos(8? ? ? )

3 sin( ? ? ? ) sin( ?? ? 4? ) 2

cos(? ? ) 2 ? sin( ? ? 2? ) ? cos( 2? ? ? ) (2) 5? sin( ??) 2

?


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