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湖北省武汉市二十六中215-2016学年高二上学期10月月考数学理试卷


武汉市二十六中高二年级 10 月考数学(理科)试卷
2015.10.22 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请将答案填在答题卡对应题号的位置上。 1.点 B 是点 A(1, 2,3) 在坐标平面 yoz 内的投影,则 OB 等于( A. 14 B. 13 C. 2 3 ) D. 11<

br />
2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石,验 得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为( A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石 ) )

3.两条直线 3x ? y ? 3 ? 0 与 6 x ? my ? 1 ? 0 平行,则它们间的距离为(

A.4

B.

2 13 13

C.

5 13 26

D.

7 10 20

4.圆 C1 : x2 ? y 2 ? 6x ? 6 y ? 48 ? 0 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? 4x ? 8 y ? 44 ? 0 公切线的条数是 A.0条 B.1条 C.2条 D.3条

5.一个正方体被一个平面截去一部分后, 剩余部分的三视图如右图, 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A.

1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5

6.右图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》 中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入 a,b 分别为 14,18, 则输出的 a=( )

A.0 B.2 C.4 D.14 2 2 7.过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x +y ≤4}分两部分,使得这两部分的面积之

差最大,则该直线的方程为 A.x+y-2=0 B.y-1=0 C.x-y=0 D.x+3y-4=0 8.过点 ? 3,1? 作圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 的两条公切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程为 A.2x+y-3=0 9.若方程 B. 2x-y-3=0 C. 4x-y-3=0 D.4x+y-3=0

1 ? x2 ? x ? m

无实数解,则实数 m 的取值范围是 C. ? ??, ?1? ?

A. ? ??, ?1?

B. ?0,1?

?

2, ??

?

D. ? 2, ??

?

?

10.某商店对每天进店人数 x 与某种商品成交量 y(单位:件)进行了统计,得到如下对应数 据: x 10 15 20 25 30 35 40 y 5 6 12 14 20 23 25 由表中数据,得线性回归方程为 .如果某天进店人数是 75 人,预测这一天该商

品销售的件数为( ) A.47 B.52 C.55 D.38 2 2 2 11.已知点 M(a,b)(ab≠0)是圆 x +y =r 内一点,直线 m 是以点 M 为中点的弦所在直线, 2 直线 n 的方程是 ax+by=r ,那么( ) A、m∥n 且 n 与圆 O 相交 B、m∥n 且 n 与圆 O 相交 C、m 与 n 重合且 n 与圆 O 相离 D、m⊥n 且 n 与圆 O 相离 12.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 O 为线段 BD 的中点。设点 P 在线段 CC1 上,直线 OP 与平面 A1 BD 所成的角为 ? ,则 sin ? 的取值范围是 A.[

3 ,1] 3

B. [

6 ,1] 3

C.[

6 2 2 , ] 3 3

D.[

2 2 ,1] 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡上。 13.从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶 图如图,其中甲班学生的平均分是 85,乙班学生成绩的中位数是 83.则 x+y 的值为_________. 14.某程序框图如图所示,则输出的结果是__________.

15.不论 k 为何值,直线 (2k ? 1) x ? (k ? 2) y ? (k ? 4) ? 0 恒过的一个定点是__________. 16.从圆 C:x2+y2 -6x-8y+24 = O 外一点 P 向该圆引切线 PT,T 为切点,且|PT|=|PO|(0 为 坐标原点),则 ⑴|PT|的最小值为______; (II) |PT| 取得最小值时点 P 的坐标为_________. 三、解答题:本大题共 6 个题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本题满分 10 分)如图是调查某地某公司 1000 名员工的月收入后制作的直方图.根据直方 图估计: (1)该公司月收入在 1000 元到 1500 元之间的人数; (2)该公司员工收入的众数; (3)该公司员工月收入的中位数; (4)该公司员工的月平均收入.

18.(本题满分 12 分)已知△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A 是锐角, 且 b=2asinB. ,求 a 的最小值.

(1)求 A; (2)若△ ABC 的面积为 10

19.(本题满分 12 分)已知曲线 C:x +y ﹣2x﹣4y+m=0,O 为坐标原点 (Ⅰ)当 m 为何值时,曲线 C 表示圆; (Ⅱ)若曲线 C 与直线 x+2y﹣3=0 交于 M、N 两点,且 OM⊥ON,求 m 的值.

2

2

20.(本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ?

an , ? n ? N * ?. an ? 3

(1)求证 ?

? 1 1? ? ? 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式 an ; ? an 2 ?

(2)若数列 ?bn ? 满足 bn ? 3 ? 1
n

?

? 2n a , 数列 ?b ? 的前 n 项和为 T , 若对一切 n ? N
n n

*

n

n

不等式

n ? ?1? ? ? Tn ?

n 2n ?1 恒成立,求 ? 的取值范围。

21.(本题满分 12 分)在四棱锥 P﹣ABCD 中,侧面 PCD⊥底面 ABCD,PD⊥CD,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2. (1)求证:BC⊥平面 PBD; (2)设 Q 为侧棱 PC 的中点,求三棱锥 Q﹣PBD 的体积; (3)若 N 是棱 BC 的中点,则棱 PC 上是否存在点 M,使 MN 平行于平面 PDA?若存在,求 PM 的长;若不存在请说明理由.

22.(本题满分 12 分)已知圆 O:x +y =4,点 P 为直线 l:x=4 上的动点, (1)若从 P 到圆 O 的切线长为 2 3 ,求 P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长; (2)若点 A(-2,0),B(2,0),直线 PA,PB 与圆 O 的另一个交点分别为 M,N,问直线 MN 是否 经过一个定点,若是,请求出定点坐标,若不是,请说明理由。 (3)若直线 PR,PS 分别与圆 O 相切于点 R,S,求 ?PRS 的垂心所在曲线的方程。

2

2

武汉市二十六中高二年级 10 月考数学试卷参考答案
一、 选择题 1-5BBDCD 二、 填空题
13. 8 14. 15. (2,3) 16.

6-10BAACB

11-12AB

12 36 48 ;( , ) 5 25 25

三、 解答题
17 解:(1)[1﹣(0.0004+0.0005+0.0005+0.0003+0.0001)×500]×1000=100 人, (2)众数为 2500 元; (3)中位数为 2400 元(面积分为相等的两部分; (4)0.1×1250+0.2×1750+0.25×2250+0.25×2750+0.15×3250+0.05×3750=2400 元 18 解:(1)由正弦定理,可得, 3 sin B ? 2sin A sin B

即为 3 ? 2sin A ,即有 sinA=

? 3 ,由于 A 是锐角,则 A= ; 3 2

(2)由面积公式可得, S ?

1 bc sin A ? 10 3 ,即 bc=40, 2
2 2 2

由余弦定理,可得, a ? b ? c ? 2b cos A ? b ? c ? 2bc cos
2 2

?
3

? b 2 ? c 2 ? bc ,

b2 ? c2 ? bc ? 2bc ? bc ? bc ? 40 ,即有 a2 ? 40, a ? 2 10

? a 的最小值为 2 10 .
19 解: (Ⅰ)由题意可知:D +E ﹣4F=(﹣2) +(﹣4) ﹣4m=20﹣4m>0, 解得:m<5; (Ⅱ)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 由题意 OM⊥ON,得到 ? =0,即 x1x2+y1y2=0①, ,
2 2 2 2 2

联立直线方程和圆的方程:

消去 x 得到关于 y 的一元二次方程:5y ﹣12y+3+m=0, ∵直线与圆有两个交点,

∴△=b ﹣4ac=12 ﹣4×5×m>0,即 m+3< 又由(Ⅰ)m<5,∴m< 由韦达定理:y1+y2= , ②,

2

2

,即 m<



,y1y2=

又点 M(x1,y1) ,N(x2,y2)在直线 x+2y﹣3=0 上, ∴x1=3﹣2y1,x2=3﹣2y2, 代入①式得: (3﹣2y1) (3﹣2y2)+y1y2=0,即 5y1y2﹣6(y1+y2)+9=0, 将②式代入上式得到:3+m﹣ 解得:m= < ,则 m= . +9=0,

20.(1)由题知,?

? 1 1? a ?3 3 1 1 1 ? n ? ? 1,? ? ? 3? ? ? , an ?1 an an an ?1 2 ? an 2 ?

? 1 1? 1 1 ? 1 1? 3n ? ? ? ? ? ? 3n ?1 ? , ? ? ? ? 为公比为 3 的等比数列,? an ?1 2 ? a1 2 ? 2 ? an 2 ?
? an ? 2 . 3n ? 1

(4 分)
n 2 ?1? ? ? n?? ? 2n ? 3n ? 1? ?2?
n ?1

(2)

bn ? ? 3n ? 1? ?
2

n ?1

,

?1? ?1? ?1? Tn ? 1 ?1 ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? ?2? ?2? ?2?
n

1

2

n ?1

,

1 1 ?1? ?1? Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? n ? 1? ? ? 2 2 ?2? ?2?

?1? ? n? ? , ?2?
n

两式相减得,

?1? 1? ? ? 1 1 1 1 n n n?2 n?2 2 Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? ? ? ? n ? 2 ? n ,? Tn ? 4 ? n ?1 , (8 分) , 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1? 2

Tn ?

n 2
n ?1

= 4?

n?2 n 2 ? ? 4 ? n ?1 2n ?1 2n ?1 2

2 ? ?Tn ?1 ? Tn ? ? 4 ? n 2 ?

2 ? 2 ? ? ①当 n 为正奇数时, ? ? ? 4 ? n?1 ? ? n ? 0,??Tn ? 为单增数列, 2 ? 2 ? ?

?? ? Tn ?

n 2n ?1

对一切正奇数成立,

n ? ? ? ? Tn ? n?1 ? ? 2 ?? , ?? 2 ? , ? ? ? ;2 ②当 n 为正偶数时, ? ? Tn 2 ?m i n ?

n ? ? ? ? Tn ? n?1 ? ? 3 ? , ? ? 3; 对一切正偶数成立, 综合①,②知, ?2 ? ? ? 3. 2 ?m i n ?
分)

(12

21(1)证明:∵面 PCD⊥底面 ABCD, 面 PCD∩底面 ABCD=CD,PD? 面 PCD,且 PD⊥CD, ∴PD⊥面 ABCD,又 BC? 面 ABCD,∴BC⊥PD,① 取 CD 中点 E,连结 BE,则 BE⊥CD,且 BE=1, 在 Rt△ ABD 中,BD= ∵BD +BC =( ∵PD∩BD=D
2 2 2

,在 Rt△ BCE 中,BC=
2 2 2



) +(

) =2 =CD ,∴BC⊥BD,②

∴BC⊥面 PBD.…(4 分) (2)解:∵Q 为侧棱 PC 的中点,取 BC 中点 N,连结 QN, 则 QN∥PB,BC⊥面 PBD, ∴三棱锥 Q﹣PBD 的高 BN= ,

∵PD⊥CD,AB=AD=PD=1,CD=2, ∴ ∴三棱锥 Q﹣PBD 的体积 V= = , = = .…(8 分)

(3)解:存在,M 是 PC 的四等分点,靠近 C 点,理由如下: 取 PC 的中点 Q,由题意知 BQ 平行于平面 PDA, 又 BQ 平行 MN,所以 MN 平行与平面 PDA.…(12 分)

22 解 (1) 设 两 切 点 为 C , D , 则 OC ⊥ PC , OD ⊥ PD , 由 题 意 可 知 |PO|2=|OC|2+|PC|2 , 即 ,(2 分)解得 t=0,所以点 P 坐标为(4,0).(2 分) 在 Rt △ POC 中 , 易 得 ∠ POC=60 ° , 所 以 ∠ DOC=120 ° . 所 以 两 切 线 所 夹 劣 弧 长 为 .(3 分) (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),Q(1,0),依题意,直线 PA 经过点 A(-2,0),P(4, t) , 可以设 x2+4t2x+4t2-144=0,(4 分) 因为直线 AP 经过点 A (-2, 0) , (x1, M y1) , 所以-2, x1 是方程的两个根, 所以有 ,代入直线方程 得, , .同理,设 , 和圆 x +y =4 联立, 得到
2 2

, 代入消元得到, (t +36)

2

,联立方程有

,代入消元得到(4+t2)x2-4t2x+4t2-16=0,因为

直线 BP 经过点 B (2, 0) , N (x2, y2) , 所以 2, x2 是方程的两个根, 代入 得到 .





若 x1=1,则 t =12,此时

2

显然 M,Q,N 三点在直线 x=1 上,即直线 MN 经过定

点Q (1, 0) (12 分) 若 x1≠1, 则 t2≠12, x2≠1, 所以有



所以 kMQ=kNQ,所以 M,N,Q 三点共线,即直线 MN 经过 定点 Q(1,0). ? 直线 MN 经过定点 Q(1,0).(7 分) (3)设 R(x1,y1),S(x2,y2)垂心 H ( x0 , y0 ) ,R,S 为圆 O 的切线,则切线 PR,PS 方程 分别为 xx1 ? yy1 ? 4, xx2 ? yy2 ? 4 ,设 P (4, a ) ,则直线 PR , PS 均过点 P (4, a ) ,代入得

4 x1 ? ay1 ? 4, 4 x2 ? ay2 ? 4 ,则直线 RS 的方程为 4 x ? ay ? 4 .
? H 为 ?PRS 的垂心, OR ? PR, OS ? PS ,? HO ? RS , k HO ? kRS ?

y0 4 ? (? ) ? ?1 ( 10 x0 a

分)? a ?

4 y0 ; x0

又 ? HS ? PR, RH ? PS ,?OR / / HS , OS / / RH . OR=OS , ? 四 边 形 ORHS 为 菱 形 ,

??? ? ??? ? ?OR ? SH 即, ( x1 , y1 ) ? ( x0 ? x2 , y0 ? y2 ), x1 ? x2 ? x0 , y1 ? y2 ? y0

4 x1 ? ay1 ? 4, 4 x2 ? ay2 ? 4 ,相加可得, 4( x1 ? x2 ) ? a( y1 ? y2 ) ? 8,?4 x0 ? ay0 ? 8
即 4 x0 ?

4 y0 ? y0 ? 8 ,化简可得 x02 ? y02 ? 2x0 ,即 ( x0 ?1)2 ? y02 ? 1( x0 ? 0) 。 x0
2 2

综上所述: ?PRS 的垂心所在曲线的方程为 ( x ?1) ? y ? 1( x ? 0) 。(12 分)


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