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2.1.1曲线与方程教案


2.1.1 曲线与方程教案 课题:2.1.1 曲线与方程 教学目标: 1 知识与技能: ①了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系。 ②领会在平面直角坐标系中“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念及其关系,并能作简单 的判断与推理。 ③进一步渗透数形结合的数学思想。 2 过程与方法: ①通过曲线和方程概念的知识形成过程,进一步明白坐标系是沟通曲线与方程的基本工 具,坐标法是解析几何的基本方法。 ②在师生活动过程中,培养学生思维能力的严密性品质。 3 情感、态度、价值观:渗透联系的辩证唯物主义观点。 第 1 课时 课型:新授

教学重点: “曲线的方程”与“方程的曲线”的概念. 教学难点:对“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念的理解. 教学过程: 一、知识回顾: 1、曲线是由什么构成的?____点______ 2、二元方程 f(x,y)=0 的实数解是什么?_一对有序实数对__ 3、 “点”与“解”在直角坐标系中可以建立一一对应关系。 二、新知探究: 1、设曲线 C 表示直角坐标系中平分第一、三象限的直线.解答下列问题: 1.1 如果点 M(x0,y0)是曲线 C 上任意一点,点 M 的坐标是方程 x-y=0 的解吗?( 可以从集合观点找出它们之间的关系吗? ________________________ 1.2 如果 x0,y0 是方程 x-y=0 的解, 那么点 M(x0,y0)一定在曲线 C 上吗?( 可以从集合观点找出它们之间的关系吗?__________________________ ) )

图1 图2 图3 结论:方程 x-y=0 是曲线 C 的方程; 曲线 C 是方程 x-y=0 的曲线. 1.3 曲线 C 上的点的坐标都是方程|x|=|y|的解吗?( ) 可以从集合观点找出它们之间的关系吗?__________________________

以方程|x|=|y|的解为坐标的点都在曲线 C 上吗?( ) 可以从集合观点找出它们之间的关系吗?__________________________ 结论:方程|x|=|y|不是曲线 C 的方程; 曲线 C 不是方程|x|=|y|的曲线. 1.4 曲线 C 上的点的坐标都是方程

x ? y 的解吗?(



可以从集合观点找出它们之间的关系吗?__________________________ 以方程 x ?

y 的解为坐标的点都在曲线 C 上吗?

可以从集合观点找出它们之间的关系吗?__________________________ 结论:方程

x ? y 不是曲线 C 的方程; y 的曲线.

曲线 C 不是方程 x ? 三、形成新知: 1、曲线的方程与方程的曲线:

一般地,在直角坐标系中,如果其曲线 c 上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如 下的关系: (1) (2) 那么,方程 f(x,y)=0 叫做曲线 C 的方程;曲线 C 叫做方程 f(x,y)=0 的曲线. 2、理解概念: ①曲线 C 的方程是 f(x,y)=0,点 P0(x0,y0)在曲线 C 上的充要条件是. ②只有曲线上的点集与此曲线的方程的解集______________, 才说曲线是方程的曲线, 方程 是曲线的方程。 ③曲线的方程与方程的曲线是等价的。 四、新知应用: 例 1:解答下列问题: 1.判断下列结论的正误并说明理由 (1) 过点 A(3,0)且垂直于 x 轴的直线方程为 x=3; (2) 到 x 轴距离为 2 的点的轨迹方程为 y=2; (3) 到两坐标轴距离乘积等于 1 的点的轨迹方程为 xy=1.

练习:判断下列命题是否正确, 并说明理由:   (1)方程 y = 1表示斜率为1,在y 轴上的 截距为-2的直线; x - 2 (2)已知A (- 3, 0), B (3, 0), C (0, 3), 则D A B C 的中线CO的方程是x = 0; x 2 + 2x + 1表示两条射线.

(3)方程y =

2.判断图中曲线的方程是否正确 (1)曲线 C 为过点 A(1,1),B(-1,1),顶点在原点的折线,方程为(x-y)(x+y)=0; (2)曲线 C 是顶点在原点,过点(1,1)的抛物线,方程为 x+ y =0;

图4

图5

3、如果曲线 C 上的点坐标(x,y)都是方程 F(x,y)=0 的解,那么() A、以方程 F(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上 B、以方程 F(x,y)=0 的解为坐标的点,有些不在曲线上. C、不在曲线 C 上的点的坐标都不是方程 F(x,y)=0 的解. D、坐标不满足 F(x,y)=0 的点不在曲线 C 上. 例 2:画出下列方程表示的曲线:

y () 1 ?1 ? 0 x (2)x= 4 ? ( y ? 1)2
练习:画出下列方程的曲线. (1) x ? | y |? 0 (2) ( x 2 ? y 2 ? 4) x ? y ? 0
例 3:证明:与两条坐标轴的距离的积是常数 k(k ? 0) 的点的轨迹方程是 xy ? ?k . 五:新知总结: 1、 曲 线 的 方 程 , 方 程 的 曲 线 的 概 念 . 其 中 的 关 系 如 下 图 。

{点}={解} 2、 概念的本质:曲线的方程 ? 方程的曲线,即:
六、课后反思:______________________________________________________________ 七、板书设计

八、新知巩固:课后作业 1.如果命题“坐标满足方程 f ( x, y) ? 0 的点都在曲线 C 上”是不正确的,那么下列命题正确的 是( )

A. 坐标满足方程 f ( x, y) ? 0 的点都不在曲线 C 上; B. 曲线 C 上的点不都满足方程 f ( x, y) ? 0 ; C. 坐标满足方程 f ( x, y) ? 0 的点有些在曲线 C 上,有些不在曲线 C 上; D. 至少有一个点不在曲线 C 上,其坐标满足方程 f ( x, y) ? 0 .
2.如果曲线 C 上的点满足方程 f ( x, y) ? 0 ,则以下说法正确的是:( )

A. 曲线 C 的方程是 f ( x, y) ? 0 ; B. 方程 f ( x, y) ? 0 的曲线是 C ;
C. 坐标满足方程 f ( x, y) ? 0 的点在曲线 C 上; D. 坐标不满足方程 f ( x, y) ? 0 的点不在曲线 C 上;
3.方程 x ? 4
2

?

? ??y
2

2

? 4 ? ? 0 表的图形是
2

A. 两个点 B. 四个点 C. 两条直线 D. 四条直线
4.下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个?

① x - y =0

② |x|-|y|=0

③ x-|y|=0

(A)

(B)

(C)

(D) )

5.设曲线 C 是到两坐标轴距离相等点的轨迹,那么 C 的方程是 (

A. x ? y ? 0 B.

x ? y ? 0 C. | x | ? | y |? 0 D. y ?| x | 和 x ?| y |
2

6.若两直线 x ? y ? 5a ? 0 与 x ? y ? a ? 0 交点在曲线 y ? x ? a 上,则 a ? 7.若曲线 y ? xy ? 2 x ? k ? 0 通过点 (a, ?a)(a ? R) ,则 k 的取值范围是
2

8.画出以下方程的曲线
2 2 (1) x ? y ? 4 ? x ? y ? 1 ? 0 (2) y ?

?

?

x2 ? 2 x ? 1


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