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解析几何复习中的最优解法


解析几何复习中最优解法
-------探究几何图形的特征

复习中要引导学生优选解题方法
? 学生感到解析几何难,一是难于没方法, 二是难于选出好的方法,三是难于计算. ? 普遍的问题是“不择手段”盲目地做, ? 方法选择得不合理,导致计算繁琐,再由 于计算不合理导致算不出或算错。 ? 复习中,要提倡“多想一点,少算一点”, 有了方法以后

要能够“预想几步结果”, 避免解题的盲目性和过分的模式化

(四)复习中要引导学生优选解题方法
例 1(2010 北京卷理 19) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,P 是动

1 ? 点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 . 3
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在点 P 使得 △PAB 与△PMN 的面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理 由

(四)复习中要引导学生优选解题方法
(I)解:因为点 B 与 A (?1,1) 关于原点 O 对称,所以点 B 得坐标为 (1, ?1) . 设点 P 的坐标为 ( x, y ) 由题意得 化简得

y ?1 y ?1 1 ? ?? x ? 1 x ?1 3

x2 ? 3 y 2 ? 4 ( x ? ?1) .
2 2

故动点 P 的轨迹方程为 x ? 3 y ? 4 ( x ? ?1) .

x2 y2 ? 1 ( x ? ?1) ) (即 2 ? 2 ( 2 )2 3

(四)复习中要引导学生优选解题方法
(I)学生问题: (1)

y ?1 y ?1 1 x ? 1 x ?1 1 ? ? ? 写成 ? ?? , x ? 1 x ?1 3 y ?1 y ? 1 3
斜率公式没记牢.

(2) x ? 3 y ? 4( x ? ?1) 后面 x ? ?1 绝大部分学生没考虑.
2 2

(3)对轨迹不理解.

(四)复习中要引导学生优选解题方法
(II)分析一:将点 P 坐标设出,写出直线 AP、BP 方程,利用 A、 P、M 和 B、P、N 三点共线,用 P 点坐标表示点 M、N 坐标;然后 能够把两个三角形的面积都用点 P 的坐标表示,利用面积相等求出 点 P 的坐标. 在表示三角形面积时,都是利用两点间 距离公式求出底边长,利用点到直线的距 离公式求出高. 这是常规方法,但计算量 很大. 写出直线 AP 的方程,利用 A,P, M 三点共线

(四)复习中要引导学生优选解题方法
解法一:设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,点 M , N 的坐标分别为 (3, yM ) , (3, yN ) .

y0 ? 1 则直线 AP 的方程为 y ? 1 ? ( x ? 1) , x0 ? 1
直线 BP 的方程为 y ? 1 ?

y0 ? 1 ( x ? 1) x0 ? 1

令 x ? 3 得 yM ?

4 y0 ? x0 ? 3 2 y0 ? x0 ? 3 , yN ? . x0 ? 1 x0 ? 1

(四)复习中要引导学生优选解题方法
于是 ? PMN 得面积 S? PMN

| x0 ? y0 | (3 ? x0 )2 1 . ? | yM ? yN | (3 ? x0 ) ? 2 2 | x0 ? 1|

又直线 AB 的方程为 x ? y ? 0 ,且 | AB |? 2 2 , 所以点 P 到直线 AB 的距离 d ? 于是 ? PAB 的面积 S? PAB ? 当 S? PAB

| x0 ? y0 | 2

.

1 | AB | ?d ?| x0 ? y0 | . 2

| x0 ? y0 | (3 ? x0 )2 ? S? PMN 时,得 | x0 ? y0 |? | x0 2 ? 1|

(四)复习中要引导学生优选解题方法
又 | x0 ? y0 |? 0 , 所以 (3 ? x0 ) = | x0 ?1| ,解得 x0 ?
2 2
2 2

5 . 3

33 因为 x0 ? 3 y0 ? 4 ,所以 y0 ? ? . 9
故 存 在 点 P 使 得 ? PAB 与 ? PMN 的 面 积相 等 , 此 时 点 P 的 坐 标 为

5 33 ( , ? ). 3 9

(四)复习中要引导学生优选解题方法
分析二:分析思路:利用已知条件,将直线 AP 的斜率(设为 k)作 为参数,写出直线 AP,BP 的方程,用 k 表示点 M,N 坐标,联立 AP,BP 的方程得 P 坐标(用 k 表示) ,以下同方法一.

(四)复习中要引导学生优选解题方法
1 解法二:设直线 AP 的斜率为 k,则直线 BP 的斜率为 ? . 3k 1 ( x ? 1) . 3k 3k ? 2 ). 与直线 x=3 交点 M,N 的坐标分别为 (3, 4k ? 1) , (3, ? 3k 1 将 y ? 1 ? k ( x ? 1)与y ? 1 ? ? ( x ? 1) 联 立 得 P 点 坐 标 为 3k
于是直线 AP,BP 的方程分别为 y ? 1 ? k ( x ? 1) , y ? 1 ? ?

?3k 2 ? 6k ? 1 ?3k 2 ? 2k ? 1 3k ? 2 ( , ) MN ? y ? y ? 4 k ? 1 ? , 所以 M N 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 3k ?3k 2 ? 6k ? 1 12k 2 ? 6k ? 2 ? 点 P 到 MN 的距离为 3 ? xP ? 3 ? 2 3k ? 1 3k 2 ? 1

(四)复习中要引导学生优选解题方法
于是 ? PMN 的面积为

S? PMN

1 1 3k ? 2 12k 2 ? 6k ? 2 ? yM ? y N ? (3 ? x p ) = 4k ? 1 ? 2 2 3k 2 ? 1 3k

?6k 2 ? 4k ? 2 直线 AB 的方程为 x+y=0,所以点 P 到 AB 的距离为 d= ,且 2 2(3k ? 1)

AB ? 2 2 .
于是 ? PAB 的面积为 S? PAB 当 S? PAB ? S? PMN 时,

1 1 ?6k 2 ? 4k ? 2 ? AB ? d ? ? 2 2 ? 2 2 2(3k 2 ? 1)

(四)复习中要引导学生优选解题方法
1 3k ? 2 12k 2 ? 6k ? 2 ?6k 2 ? 4k ? 2 1 ?2 2? = 4k ? 1 ? 2 2 3k 2 ? 1 3k 2(3k ? 1) 2
整理得 36k ? 27k ? 15k ? 9k ? 1 ? 0 ? (12k ? 9k ? 1)(3k ? 1) ? 0 .
4 3 2 2 2

(3k 2 ? 1) ? 0, 所以 12k 2 ? 9k ? 1 ? 0 ? k ?

?9 ? 33 . 24

所以 x p ?

5 33 2 2 y ? ? ,因为 x p ? 3 y p ? 4 ,所以 p . 3 9

故存在点 P 使得 ? PAB 和 ? PMN 的面积相等,

5 33 ) 此时点 P 的坐标为 ( , ? 3 9

(四)复习中要引导学生优选解题方法
分析三:利用平面图形的性质,两个三角形有一对对顶角,因此选 用
S?APB 1 1 ? | PA | ? | PB | sin ?APB , S?MPN | PM | ? | PN | sin ?MPN 2 2

来表示两个三角形的面积,利用对顶角 相等,使得面积等转化为边长的比相等. 接下来也是关键的一步,将两点间的距 离转化为轴上两点间距离,大大简化了 计算的过程.

(四)复习中要引导学生优选解题方法
解法三:若存在点 P 使得 ? PAB 与 ? PMN 的面积相等,设点 P 的坐标为

( x0 , y0 ) ,
1 1 则 | PA | ? | PB | sin ?APB ? | PM | ? | PN | sin ?MPN . 2 2
(抓住图形特点,对顶角相等,巧妙的利用三角形面积公式)

| PA | | PN | ? 因为 sin ?APB ? sin ?MPN , 所以 . | PM | | PB |

| x0 ? 1| | 3 ? x0 | ? 所以 . | 3 ? x0 | | x ? 1|

(四)复习中要引导学生优选解题方法
(若用两点距离公式,依然很繁琐. 将线段都投影到 x 轴上,用轴上两点 间距离公式,计算简单)

5 即 (3 ? x0 ) ?| x0 ?1| ,解得 x0 ? 3
2 2

33 因为 x0 ? 3 y0 ? 4 ,所以 y0 ? ? 9
2 2

故 存 在 点 P 使 得 ? PAB 与 ? PMN 的 面 积 相 等 , 此 时 点 P 的 坐 标 为

5 33 ( , ? ) 3 9

(四)复习中要引导学生优选解题方法
分析四:充分挖掘平面图形的几何特征,
y

延长 AB 交直线 MN 于点 C,发现 B 是 AC 中点;有已知两三角形面积相等, 找到两个同底等高的三角形,发现 M 为 NC 中点,从而点 P 为三角形 ANC 的重 心,计算很简单.
A(-1,1) P

N

M O B(1,-1) x

C(3,-3)

(四)复习中要引导学生优选解题方法
解法四: 利用平面图形的性质 设直线 AB 交直线 x=3 于点 C,则点 C(3,-3). 若存在点 P 使得 ? PAB 与 ? PMN 的面积相等, 则 ?ABM 与 ?NMB 面积相等. 又 ?ABM 与 ?NMB 同底,则他们的高相等. ∴AN∥BM 又点 B 为 AC 的中点,因此点 M 为 CN 的中点. ∴点 P 为 ?ANC 的重心.
y N

A(-1,1)

P M O B(1,-1) x

C(3,-3)

5 根据重心坐标公式,得点 P 的横坐标为 . 3
以下同上面的解法.


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